2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——7.函数与导数

1、20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编7函数与导数一、选择题(2018 新课标，文exe x的图象大致为（）3)函数 f xx2(2018 新课标，文10)若 f (x)cos xsin x 在 0, a 是减函数，则a 的最大值是（）A B C 3D 424(2018 新课标，文12)已知 f ( x) 是定义域为 ( ,) 的奇函数，满足f (1 x)f (1x) 若 f (1)2 ，则 f (1)f (2) f(3)f (50)（）A 50B 0C 2D 50（ 20178）函数 f (x)ln( x22x8) 的单调递增区间是（）A. (-，- 2)B. (- ，-

2、1)C. (1， +)D. (4， +)（ 201610）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（）A y=xB y=lg xCy=2xD y1x（ 201612）已知函数f( x)（ xR）满足 f(x)=f(2- x)，若函数 y=|x2- 2x- 3|与 y=f(x) 图像的交点为 (x , y ) ，11m( x2 , y2 ) ， ， ( xm , ym ) ，则xi（）i1A 0BmC 2mD 4m（ 201511）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2， BC=1，O 是 AB BOP=x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为x 的函数

3、的中点，点P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动，f（ x），则 f（ x）的图像大致为（）ABCD（ 201512）设函数 f ( x) ln(1 | x |)1，则使得f ( x)f (2x 1)成立的 x 的取值范围是（）x21A. (1 ,1)B.(, 1)(1,) C. ( 1,1)D.(,1)( 1 ,)333333（ 201411）若函数 f(x) = kx- lnx 在区间 (1， +)单调递增，则k 的取值范围是（）A , 2B , 1C 2,D 1,（ 20138）设 alog3 2 ， blog5 2 ， clog2 3，则（）A a c bB b c aC c b a

4、D c a b（ 201311）已知函数 f ( x)x3ax2bxc ，下列结论中错误的是（）A x0R ， f ( x0 ) 0B 函数 yf ( x) 的图象是中心对称图形C若 x0 是 f (x) 的极小值点，则f ( x) 在区间 (, x0 ) 单调递减D 若 x0 是 f (x) 的极值点，则f(x0 )0（ 201312）若存在正数 x 使 2x ( xa)1成立，则 a 的取值范围是（）A (,)B (2,)C (0,)D (1,)（ 201211）当 00，求 a 的取值范围 .（ 201521）已知函数 f (x) = ln x +a(1- x).（）讨论 f (x)的单

5、调性；（）当f (x)有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求 a 的取值范围 .（ 201421）已知函数f (x) = x3- 3x2+ax+2 ，曲线 y = f (x)在点 (0， 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为- 2（）求a；（）证明：当k0 时， (x- k) f (x)+x+10 ，求 k 的最大值（ 201121）已知函数 f ( x)a ln xb ，曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为 x 2 y 3 0 .（）求 a、 b 的值；x 1x（）证明：当 x 0 ，且 x1 时， f ( x)ln x .x 120112018 年新课标全国卷2

6、文科数学试题分类汇编7函数与导数一、选择题(2018 新课标，文exe x的图象大致为（）3)函数 f xx2【答案】 B 解析：解法一：排除法 该函数为奇函数，奇函数关于原点对称，故排除选项A 中的图像； 当 x 0 时， exe x0 ， fx0，故排除选项D 中的图像； 取特殊值，当x1 时， e12，而不接近函数值1，故排除选项C 中的图像；exx2xxxxx x 2 e xx 2 e2 x1解法二： fxe e x 2 x e ex x 2 e x x 2 ex 2444xxx从导函数上看：导函数为偶函数，原函数为奇函数，当x 0 时，原函数先减后增，故选择选项B 中的图像 .(20

7、18 新课标，文10)若 f ( x)cos xsin x 在 0, a 是减函数，则 a 的最大值是（）A B C 3D 424【答案】 C解析：解法一：常规解法因为 f (x)cos xsin x ，所以 f (x)2sinx ，若 f ( x)cos xsin x 在 0, a 是减函数，40a所以 sin x在 0, a 是增函数，所以a42，解得 034a.442解法二：导数法因为 f (x)cos xsin x ，所以f( )sinxcosxsinxcosx2 sinx，x4所以 sin x0，所以 0a4，解得0 a3 .44(2018 新课标，文12)已知f (x) 是定义域为

8、(,) 的奇函数，满足f (1x)f (1x) 若 f (1) 2，则 f (1) f (2)f (3)f (50)（）A 50B 0C 2D 50【答案】 C 解析： 因为 函数 fx为定义域 R 上的奇函数， f1xf1x，所以f00 ，T4由题意可知： f 4f 2f 00， f 3f12 ，所以f 1f2f 3f40所以 2 50mod 4 ，所以 f 1f2f3f50f 1f2202 .（ 2017新课标，文8）函数 f (x)ln( x22x8) 的单调递增区间是（）A. (- ，- 2)B. (- ，- 1)C. (1， +)D. (4， +)【答案】 D 解析： 函数有意义，则

9、x2- 2x- 80，解得 x4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为(4， + )，故选 D.（ 2016新课标， 文 10）下列函数中， 其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（）A y=xB y=lg xCy=2xD y1x【答案】 D 解析： y10lg xx ，定义域与值域均为0,，只有 D 满足，故选 D（ 2016新课标，文12）已知函数f(x) （ x R）满足 f(x)=f(2- x)，若函数 y=|x2- 2x- 3|与 y=f(x)图像的交m点为 ( x , y ) ， ( x , y) ， ，

10、( x, ym) ，则xi（）1122mi 1A 0BmC 2mD 4m【答案】 B 解析： 因为y f ( x)，y | x22x3| 都关于 x1 对称，所以它们交点也关于x1 对称，当 m 为mm ，当 m 为奇数时，其和为m1m ，因此选 B.偶数时，其和为 22212（ 2015新课标，文11）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD与 DA 运动， BOP=x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为x 的函数 （f x），则（f x）的图像大致为 （）AB CD 【答案】 B 解析： f ( ) 2 2 ， f ()51

11、， f ()f( )，由此可排除 C，D ，当 3x时，242441，可排除 A.f ( x)tan xcos x（ 2015新课标，文12）设函数 f ( x)ln(1| x|)1，则使得f ( x) f (2x 1) 成立的 x 的取值范围是1 x2（）A.(1 ,1)B.(, 1) (1,) C. ( 1,1) D.( ,1)( 1,)333333【答案】 A 解析： f (x) 是偶函数，且在 0, + )是增函数，所以f ( x)f (2x1)f (| x|) f (|2x 1|)| x | | 2x 1|11.x3（ 2014新课标，文 11）若函数 f (x) = kx- lnx

12、 在区间 (1 ， +) 单调递增，则k 的取值范围是（）A , 2B , 1C 2,D 1,【答案】 D 解析： 函数 f ( x) 在区间（ 1， +）单调递增，当 x1 时， f ( x)0 恒成立，f ( x)kx ln xf ( x)k110 ， k 1，故选 D.xx（ 2013新课标，文8）设 alog32 ， blog5 2 ， clog2 3，则（）A a c bB b c aC c b aD c a b【答案】 D 解析： 因为 log 3 211， log 5 211，又log 2 31 ，所以 c 最大 .log 2 3log 2 5又 1 log 2 3log2 5

13、，所以11，即 ab ，所以 cab ，故选 D.log2 3log 2 5（ 2013新课标，文11）已知函数 f (x)x3ax2 bx c ，下列结论中错误的是（）A x0R ， f ( x0 ) 0B 函数 yf ( x) 的图象是中心对称图形C若 x0 是 f (x) 的极小值点，则f ( x) 在区间 (, x0 ) 单调递减D 若 x0 是 f (x) 的极值点，则f (x0 )0【答案】 C 解析： 若 c 0 则有 f (0)0，所以 A 正确 . 由 f ( x)x3ax2bx c 得 f (x)c x3 ax2 bx ，因为函数 yx3ax2bx 的对称中心为（0,0），

14、所以 f (x)x3ax2bxc 的对称中心为 (0, c) ，所以 B 正确 . 由三次函数的图象可知，若x0 是 f (x)的极小值点， 则极大值点在x0 的左侧，所以函数在区间（ - ,x0 ）单调递减是错误的，D正确.故选 C.（ 2013新课标，文12）若存在正数 x 使 2x ( xa)1 成立，则 a 的取值范围是（）A (,)B( 2,)C (0,)D( 1,)【答案】 D 解析： 因为 2x0 ，所以由2x(xa)1得 xa12 x ，在坐标2x系中，作出函数f ( x)xa, g(x)2x 的图象，当 x0 时， g(x)2 x 1，所以如果存在 x0 ，使2x(x)1，则

15、有a1 ，即 a1，故选 D.a（ 2012新课标， 文 11）当 0 x 1 时， 4xlog a x，则 a 的取值范围是 （）2A (0，2 )B( 2 ，1)C(1， 2 )D( 2 ，2)220a12【答案】 A 解析： 由指数函数与对数函数的图像知11，故选 A.2 ，解得 0 aloga 242（ 2011新课标，文3）下列函数中，既是偶函数又在（0，+ ）单调递增的函数是（A y x3B y | x | 1C yx21D y 2 |x|【答案】 B 解析： 可以直接判断： A 是奇函数，B 是偶函数，又是（0， +）的增函数，故选 B.（ 2011新课标，文10）在下列区间中，

16、函数f ( x) = ex + 4x -3 的零点所在的区间为（）A( 1,0)B (0, 1)C(1,1)D (1,3)444224【答案】 C 解析： 只需验证端点值，凡端点值异号就是答案.故选C.（ 2011新课标，文12）已知函数 y = f (x)的周期为 2，当 x -1,1时 f (x) = x2，那么函数 y = f (x)的图像与函数 y = |lg x|的图像的交点共有（）A10 个B9 个C8 个D1 个【答案】 A 解析： 本题可用图像法解，易知共10 个交点，故选A.19二、填空题(2018 课标，文新13)曲线 y2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 _【答案】

17、 y 2 x 2解析： y2y22 ，直线为 y 2x2xx11（201714）已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数， 当x(0)时，f ( x)=2 xx ，则 f (2) =新课标， 文，32【答案】 12 解析： f (2)f (2)2( 8)412（ 2015新课标，文13）已知函数f ( x) = ax3- 2x 的图象过点 (- 1, 4)，则 a =.【答案】- 2 解析： f1a 24a2 .（ 2015新课标，文16）已知曲线yxln x在点 (1, 1) 处的切线与曲线2(a 2)yaxx相切，则a1.y=2x- 1，与 y= ax2+(a+2)x+1 联【答案】8 解

18、析： 曲线 y=x+ln x 在点 (1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为立得 ax2+ax+2=0 ，显然 a0，所以由 =a2- 8a=0，得 a=8 .（ 2014新课标，文15）偶函数 y = f (x)的图象关于直线x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (- 1) = _.【答案】 3 解析： f ( x) 为偶函数，f ( 1)f (1) ，f ( x) 的图像关于 x2 对称， f (1)f (3) 3 ， f ( 1) 3 .（ 2012新课标，文13）曲线 yx(3ln x1) 在点 (1, 1) 处的切线方程为.【答案】 4 x y 30 解析： y3ln x

19、4 ，切线斜率为4，则切线方程为： 4xy 3 0.（ 2012新课标，文16）设函数 f ( x)( x1)2sin x 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m =.x 21【答案】 2 解析： f ( x) =12xsin x ，设 g ( x) = f (x) 1=2xsin x ，则 g (x) 是奇函数，x21x21 f (x) 最大值为 M，最小值为 m ， g( x) 的最大值为 M- 1，最小值为 m -1 ， M 1 m 10 ， Mm =2.三、解答题(2018 新课标，文21)已知函数 f x1 x3a x2x 1 3（ 1）若 a 3 ，求 f ( x) 的单调区间；

20、（ 2）证明： f ( x) 只有一个零点【 基本解法 】解法一：常规方法（ 1）函数 fx1332x1xx3fxx26x3令 f x0 ； x13 2 3 ， x2 3 2 3所以，函数fx的单调增区间为,3 233 23,；单调减区间为 3 2 3,3 2 3 .（ 2）解法一：分离参数法和方程与函数的数学思想设 g xx3x 11， h x 3ax2x1x2x12 x 1x42x2 x 122 x 1 x42 x2 x 1 x2gx1x 1x2x 12x22x22x 1x 1gxx2 x22x30，所以，函数g x 在定义域内单调递增x22x1因为110,4， x 1Rx2x3所以 gx

21、R所以当 a 变化时，函数g x 与函数 h x 总有一个交点.解法二：分离参数法和零点思想设 g xx33ax 113ax2x1x2x 12 x 1x42x2 x 1242 x2 x 1 x2gx 1x 12 x 1 xx2x2x22x221x 1x 1x2x22x3g x 在定义域内单调递增gxx220 ，所以，函数x 1因为10,4x13x2所以 g 3a 110 ； g 3a 112 0223a13a113a13a11所以当 a 变化时，函数g x 与函数 h x 总有一个交点.2 x（ 2017新课标，文 21）设函数 f (x) = (1- x )e .（ 1）讨论 f (x)的单

22、调性；（ 2）当 x0 时， f (x)ax+1，求 a 的取值范围 .（ 201721）解析： f (x) = (1 2xx2 )ex ，令 f ()=0x得 x12 ，x12 ，当 x(，12)时， f( x) 0 ；当 x( 12+， )时， f ( x) 0 ；所以 f (x)在 (， 12)， (12，+) 上单调递减，在(12， 12)上单调递增 .（ 2）( )=(1)(1)xxxf，当a1时，设函数h( x) = (1x)e，h (x) =xe 0(x0)，因此h( x)在xxx e0，+) 单调递减，而h(0)=1 ，故h(x)1 ，所以 f ( x) = (1x)h( x)

23、x1ax1 ；当 0a1 时，设函数 g( ) =xx1，x10(x0)，所以g( x)在，)在单调递增， 而g(0)=0，故 x.当xeg ( x) = e0 +ex 10x ax0 +1；当a0 时，取x051，2f (x0 ) (1x0 )(1x0)21ax01；综上所述， a 的取值范围是 1，+) .（ 2016新课标，文20）已知函数f ( x)( x1)ln xa( x1) .（）当a=4 时，求曲线y=f(x)在(1， f(1)处的切线方程；（）若当x(1,+)时， f(x)0，求 a 的取值范围 .（ 201620）（I） f ( x) 的定义域为 (0,) .当 a4 时，

24、 f (x) ( x1)ln x4( x1)， f(x)ln x13 ，xf (1)2, f (1)0. 曲线 yf ( x) 在 (1, f (1) 处的切线方程为 2xy 20.（II）当x(1,)时 ，f ( x )等 价 于ln xa( x 1)ln xa(x 1)， 则0x0. 令 g ( x)x11g (x)1(x2ax22(1a)x1 , g(1)0 ，x1)2x(x 1)2（ i）当 a2 ， x(1,) 时， x22(1a)x 1x22x10 ，故 g(x)0,g( x)在 x(1,) 上单调递增，因此g( x)0 ；（ ii）当 a2 时，令 g ( x)0 得 x1a1(

25、a1)21, x2a1( a1)21 ，由 x21和 x1x2 1得 x11 ，故当 x(1, x2 ) 时， g ( x)0 ， g(x) 在 x(1, x2 ) 单调递减，因此g( x)0 .综上， a 的取值范围是,2 .（ 2015新课标，文21）已知函数f ( x) = ln x +a(1- x).（）讨论f (x)的单调性；（）当f (x)有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求a 的取值范围.（ 201521 ） 解 析 ：（ ） f ( x)的定义域为(0,)f,x()1a， 若 a0, 则 f( x)0,所以(0, 1) 时，x( 1 ,在单调递增.若 a0 ，则当 xf ( x)0,当 x) 时，f (x)0,所以f ( x ) ( 0 ,)aaf ( x) 在 (0, 1 ) 单调递增，在 ( 1 ,) 单调递减 .aa（）由（）知，当 a0 时， f ( x) 在(0,) 无最大值；当a0 时，1取得最大值，f ( x) 在 x1111a最大值为ln aa1 0.f ()ln()a (1)lnaa1 因此 f ()2a 2等价于令aaa.ag( a ) ln aa1 ，则g ( a ) 在 (0,) 单调递增， g (1)0 .于是，当 0a1