2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——9.数列

1、20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编9数列一、选择题（ 20155）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5（）A. 5B. 7C. 9D. 11（ 20159）已知等比数列 an 满足 a11， a3a5 4( a41) ，则 a2（）411A. 2B. 1D.C.82（ 20145）等差数列 an 的公差为 2，若 a2， a4， a8 成等比数列，则 an 的前 n 项 Sn=（）A n(n1)B n(n1)C n( n 1)D n( n1)22（ 201212）数列 an 满足 an 1(1)n an2n 1 ，则 an 的前 60

2、项和为（）A 3690B 3660C1845D 1830二、填空题（ 201416）数列 an 满足 a n 11， a2 = 2，则 a1=_.1a n（ 201214）等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S2=0，则公比 q =.三、解答题(2018 17)记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，已知 a17， S315 （ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值（ 201717）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，a1=- 1 ，b 1=1，a 2 + b2 = 2.（ 1）若 a3 + b3 =

3、5 ，求 bn 的通项公式；（2）若 T3=21 ，求 S3.（ 201617）等差数列 an中， a3 + a4 = 4， a5 + a7 = 6（）求 an的通项公式；（）设bn=lgan，求数列 bn的前 10 项和，其中 x 表示不超过x 的最大整数，如0.9=0 ， 2.6=2.（ 201317）已知等差数列 an 的公差不为零， a125，且 a1 , a11 ,a13 成等比数列 .（）求 an 的通项公式；（）求 a1 a4 +a7a3n 2 .（ 201117）已知等比数列 an 中， a11 ，公比 q1 .33（ I） Sn 为 an 的前 n 项和，证明： Sn1 an

4、；（ II ）设 bn log 3 a1 log3 a2 L L2log3an ，求数列 bn 的通项公式 .20112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编9数列一、选择题（ 2015新课标，文5）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a1a3a5 3 ，则 S5 （）A. 5B.7C. 9D. 11【答案】 A 解析： a1a3a53a3 3 a31， S55 a1 a55a35 .2（ 2015新课标，文1， a3a54(a41) ，则 a29）已知等比数列 an 满足 a1（）141A. 2B.1C.D.282=a3a5= 4(a4- 1)，得 a4 = 2，所以q3

5、a48 q2 ，故 a2a1 q1【答案】 C 解析： 由 a4a1.2（ 2014新课标，文5）等差数列 an 的公差为2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则 an 的前 n 项 Sn=（）A n(n 1)B n(n 1)C n( n 1)2D n( n1)222，解得 a4=8 ， a1=a4- 32=2 ，【答案】 A 解析： d=2，a2，a4，a8 成等比， a4= a2a8，即 a4 =( a4- 4)(a4 + 8) Sn na1n( n1) d2nn(n1)2n(n1) ，故选 A.22（ 2012新课标，文12）数列 a 满足 an1(1)n an2n1 ，则 a 的前 6

6、0 项和为（）nnA 3690B 3660C1845D 1830【答案】 D 解析：【法 1】有题设知a2a11， a3a2 =3， a4a3 =5， a5a4 =7， a6a5 =9，a7a6 =11， a8a7 =13， a9a8 =15 ， a10a9 =17， a11a10 =19， a12 a1121 ， 得a1a3=2， +得a4 a2=8，同理可得a5a7a6a8a9a11a10a12=40， ，=2，=24，=2， a1a3 ， a5a7 ， a9a11 ， ，是各项均为2的常数列， a2a4 ， a6a8 ， a10a12 ， ，是首项为 8，公差为 16的等差数列， an

7、的前 60 项和为 1521581 161514=1830.2【法 2】 bn 1a4n 1 a4n 2a4n 3a4 n 4a4n 3a4 n 2a4 n 2a4n16 bn 16b1a1 a2a3a4 1 01 51 416 1830S1510 152二、填空题（ 2014新课标，文16）数列 an 满足 a n 11， a2= 2，则 a1 =_.1an11， a82 ， a7111 ， a6111，【答案】解析： 由已知得 an 12an1a82a7a512 ， a41，a31，a22，a1112.a62（ 2012新课标，文14）等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3+3S

8、2=0，则公比 q =.【答案】- 2 解析： 当 q =1 时， S3= 3a1 ， S2 =2a1 ，由 S3+3S2=0 得，9a1 =0， a1 =0 与an 是等比数列a (1q3)3a (1q2 )矛盾，故 q 1，由 S3+3S2=0 得，110，解得 q = 2.1q1 q三、解答题n 项和，已知 1(2018课标，文新17)记 n 为等差数列 an的前7，315SaS（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 Sn ，并求 Sn的最小值解析：（ 1）因为 S3 =3a2 ，所以a25 ，所以 d =a2 -a1572 ，所以数列an是以7 为首项， 2 为公差的等差数列， an

9、7 2 n 12n9 ，所以数列an 的通项公式为 an2n9, nN .（ 2）由（）可知：前n 项和nn a1ann28nS2所以 对称轴为 n84 ， SnminS41632162故 Sn n28n,nN ， Snmin16（ 2017新课标，文17）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，a1 =- 1，b1=1，a2 + b2 = 2.（ 1）若 a3 + b3 = 5 ，求 bn 的通项公式；（2）若 T3=21 ，求 S3.（ 201717）解析：（ 1）设 an的公差为 d，bn的公比为q，则 an = - 1+(n- 1)d，bn =

10、qn-1 . 由 a2 + b2 = 2 得 d+q=3，由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ，联立和解得d3（舍去）d1 ，因此 bn 的通项公式 bn =2n+1 .q0q2（ 2）由 b1=1， T1=21 ，得 q2+q- 20=0. 解得 q = - 5或 q=4，当 q = - 5 时，由得 d=8，则 S3=21 ；当 q=4时，由得 d=- 1，则 S3=- 6.（ 2016新课标，文 17）等差数列 an 中， a3 + a4 = 4， a5 + a7 = 6（）求 an的通项公式；（）设 bn=lgan，求数列 bn的前 10 项和，其中 x 表示不超过x 的最

11、大整数，如0.9=0 ， 2.6=2.（ 201617）解析：（）设数列an的公差为 d，由题意有 2a1 5d4, a15d 3 ，解得 a11,d2 ，所5以 an的通项公式为 an2n3 .5（）由（）知 bn 2n3 ，当 n=1, 2, 3 时，12n 32, bn1；当 n=4, 5 时，22n33, bn 2 ；555当 n=6, 7,8时， 32n34, bn3 ；当 n=9, 10 时， 42n34 ，所以数列bn的前 10项555, bn和为 1322334224 .（ 2013新课标，文 17）已知等差数列 an 的公差不为零， a125，且 a1 ,a11, a13 成

12、等比数列 .（）求 an 的通项公式；（）求 a1 a4 +a7a3n 2 .（ 201317）解析： （）设 an 的公差为d. 由题意， a112 a1a13，即 (a1 10d)2 a1(a1 12d)于是 d(2a1 25d) 0. 又 a1 25，所以 d 0（舍去）， d 2. 故 an 2n 27.（）令Sn a1 a4 a7 a3n 2. 由 ( )知 a3n 2 6n 31，故 a3 n2 是首项为25，公差为 6 的nn等差数列从而Sn ( a1 a3 n 2)22( 6n 56) 3n228n.（ 2011新课标，文 17）已知等比数列 a中， a11，公比q1n3.1

13、an ；3（ I） Sn 为 an 的前 n 项和，证明： Sn（ II ）设 bn log 3 a1 log3 a2 L L log32an ，求数列 bn 的通项公式 .111 1n 11n3(13n )1 3nSn1 an（ 201117）解析：（） an( )()， Sn1，2333123n）= n(n1)（）bnlog 3a1 log 3 a2log3 an（3L数列 bn 的通项公1 22，n(n1)式为 bn220112018 年新课标全国卷2 文科数学试题分类汇编9数列（解析版）一、选择题（ 20155） A 解析： a1a3 a53a33a35 a1 a55a35 .1， S

14、5223a48q2 ，故 a2a1 q1（ 20159） C 解析： 由 a4 =a3a5= 4(a4- 1)，得 a4 = 2，所以 qa1.222（ 20145）A 解析：d=2，a2 ，a4，a8 成等比， a4= a2a8，即 a4 =(a4- 4)(a4 + 8) ，解得 a4=8 ， a1=a4- 32=2 ， Sn na1n( n1) d 2nn( n 1)2n( n 1) ，故选 A.22（ 201212）D 解析：【法 1】有题设知 a2a1 1， a3 a2 =3， a4a3 =5， a5a4 =7 ， a6 a5 =9，a7 a6 =11， a8 a7 =13， a9a8

15、 =15 ， a10a9 =17， a11a10 =19， a12a1121， 得 a1a3 =2， +得 a4a2 =8，同理可得 a5 a7=2，a6a8 =24，a9a11 =2，a10a12 =40， ， a1 a3 ， a5a7 ， a9 a11 ， ，是各项均为 2 的常数列， a2a4 ， a6a8 ， a10 a12， ，是首项为 8，公差为16 的等差数列， an 的前60 项和为 1521511615 14 =1830.82【法 2】 bn 1a4n 1a4n 2a4n 3a4 n 4 a4n 3 a4 n 2a4 n 2a4n 16 bn 16b1 a1 a2a3a4 1

16、 0S1 51 51 410 1516 18302二、填空题（ 201416） 1解析： 由已知得 an 11， a82 ， a7 111 ， a6 111，2an1a82a712 ， a411，a22，a11a5 1，a3.a622（ 201214）- 2 解析： 当 q =1 时， S3 = 3a1 ， S2 = 2a1 ，由 S3+3S2=0 得， 9a1 =0， a1 =0 与 an 是等比数列矛盾，故 q 1，由 S3+3S2=0 得，a1 (1 q3 ) 3a1 (1 q2 )0，解得 q = 2.1q1q三、解答题(2018 课标，文新17)记 Sn 为等差数列 an 的前 n

17、项和，已知 a17， S315 （ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 Sn ，并求 Sn的最小值解析：（ 1）因为S3=3a2 ，所以 a25 ，所以d =a21572，所以数列an是以7为首项， 2 为公差-a的等差数列， an7 2 n 12n9 ，所以数列an 的通项公式为 an 2n9, n N .（ 2）由（）可知：前n 项和nn a1ann28nS2所以 对称轴为 n84 ， SnS41632162min故 Sn n28n,nN ， Snmin16（ 201717）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为 Tn，a1=- 1 ，b 1=1，a 2

18、 + b2 = 2.（ 1）若 a3 + b3 = 5 ，求 bn 的通项公式；（2）若 T3=21 ，求 S3.（ 201717）解析：（ 1）设 an的公差为 d，bn的公比为q，则 an = - 1+(n- 1)d，bn = qn-1 . 由 a2 + b2 = 2 得 d+q=3，由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ，联立和解得d3（舍去）d1 ，因此 bn 的通项公式 bn =2n+1 .q0q2（ 2）由 b1=1， T1=21 ，得 q2+q- 20=0. 解得 q = - 5或 q=4，当 q = - 5 时，由得 d=8，则 S3=21 ；当 q=4时，由得 d=- 1，则 S3=- 6.（ 201617）等差数列 an中， a3 + a4 = 4， a5 + a7 = 6（）求 an的通项公式；（）设 bn=lgan，求数列 bn的前 10 项和，其中 x 表示不超过x 的最大整数，如0.9=0 ， 2.6=2.（ 201617）解析：（）设数列an的公差为 d，由题意有 2a1 5d4, a15d 3 ，解得 a11,d2 ，所5以 an的通项公式为 an2n3 .5（）由（）知 bn 2n3 ，当 n=1, 2, 3 时，12n 32, bn1；当 n=4, 5 时，22n33, bn 2 ；555当 n=6, 7,8时，