中考数学压轴题：“动点产生的平行四边形问题”训练及解析

1、中考数学压轴题：“动点产生的平行四边形问题”训练及解析中考数学压轴题：“动点产生的平行四边形问题”训练及解析先思考三个问题：1已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？图1 图2 图3 如图1，过ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D如图2，已知A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行

2、且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等关系式x Ax Cx Bx D和y Ay Cy By D有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图4，点A是抛物线yx22x3在x轴上方的一个动点，ABx轴于点B，线段AB交直线yx1于点C，那么点A的坐标可以表示为(x,x22x3)，点C的坐标可以表示为(x, x1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为ABy Ax22x3，线段AC的长

3、可以用A、C两点的纵坐标图4表示为ACy Ay C(x22x3)(x1)x2x2通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离 例 24 2021年湖南省岳阳市中考第24题如图1，抛物线经过A (1, 0)、B (5, 0)、C 10(0,)3三点设点E (x , y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形 （1）求抛物线的解析式；（2）当点E (x , y )运动时，试求平行四边形OEBF的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值；（3）是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为

4、正方形？若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E 运动，可以体验到，当点E 运动到抛物线的顶点时，S 最大当点E 运动到OB 的垂直平分线上时，四边形OEBF 恰好是正方形 思路点拨1平行四边形OEBF 的面积等于OEB 面积的2倍2第（3）题探究正方形OEBF ，先确定点E 在OB 的垂直平分线上，再验证EO EB 图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (5, 0)两点，设y a (x 1)(x 5) 代入点C 10(0,)3，得1053a =解得23a = 所以抛物线的解析式为22210(1)(5)4

5、333y x x x x =-=-+ （2）因为S S 平行四边形OEBF 2S OBE OB (y E ) 22105(4)33x x -+210(65)3x x -+21040(3)33x -+ 所以当x 3时，S 取得最大值，最大值为403此时点E 是抛物线的顶点（如图2） （3）如果平行四边形OEBF 是正方形，那么点E 在OB 的垂直平分线上，且EO EB 当x 52时，22355(1)(5)()33222y x x =-=?-=-此时E 55(,)22- 如图3，设EF 与OB 交于点D ，恰好OB 2DE 所以OEB 是等腰直角三角形所以平行四边形OEBF 是正方形所以当平行四边

6、形OEBF 是正方形时，E 55(,)22-、F 55(,)22 图2 图3考点伸展既然第（3）题正方形OEBF 是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF 有几个呢？ 如图4，如果平行四边形OEBF 为矩形，那么OEB 90根据EH 2HO HB ，列方程22(1)(5)(5)3x x x x ?-=-? 或者由DE 12OB 52，根据DE 2254，列方程225225()(1)(5)234x x x ?-+-=? 这两个方程整理以后都是一元三次方程4x 328x 253x 200，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的 事实上，这个方程可以因式分解，51(4)()()022x x x -=

7、如图3，x 52；如图4，x 4；如图5，x 12，但此时点E 在x 轴上方了 这个方程我们也可以用待定系数法解： 设方程的三个根是52、m 、n ，那么4x 328x 253x 2054()()()2x x m x n - 根据恒等式对应项的系数相等，得方程组441028,1010453,1020.m n m n mn mn +=?+=?=?解得4,1.2m n =?=? 图4 图5例 25 2021年湖南省益阳市中考第20题如图1，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线ya(x2)2k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点

8、Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长】图1动感体验请打开几何画板文件名“14益阳20”，可以体验到，点Q在线段AB的垂直平分线上还可以体验到，正方形的对角线为AC，有一个顶点恰为抛物线的顶点思路点拨1第（2）题的等腰三角形只考虑QAQB的情形2第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形图文解析（1）由y3x3，得A(1, 0)，B(0, 3)将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入ya(x2)2k，得0,4 3.a ka k+=?+=?解得a1，k1（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x2，设点Q的坐标为(2, m)已知A(1, 0)、B(0, 3)，根据QA2QB2，列方程12m222(m