车辆试验与测量技术：第四讲 测量误差理论

1、测量误差理论,同济大学汽车实验室,概 述,同济大学汽车实验室,同济大学汽车实验室,测量工作及分类,测量是将被测物理量与所规定的参考标准进行比较的过程。 例：机械外形尺寸，就是用米尺与其比较； 物体的重量就是用标准砝码与其比较； 而仪表、仪器的标定就是为了提供比较标准。 测量方法通常分为直接测量和间接测量。,同济大学汽车实验室,测量工作及分类,直接测量将被测量与标准量直接进行比较。 例：米尺测长度、拉力计测拉力、油耗仪测油耗、压电晶体加速度传 感器测加速度。 间接测量通过另外几个可以直接测得的其他物理量与其构成某种函数关系计算求得。 例：某一发动机或传动系统输出轴的功率 （KW） 此式中M是扭矩

2、，N是转速均可通过直接测量获得，而功率N则通 过M、N两个直接测量量构成的函数关系来表示。 尽可能直接测量,同济大学汽车实验室,测量误差及其分类,真值客观存在的真实值，无法测量。 误差测量值与真值之差。 误差 = 测量值 真值 XA 约定真值 规定真值国际上公认的某些基准量值 相对真值上一级仪器的测量值作下一级 的相对真值,同济大学汽车实验室,测量误差及其分类,仪器误差（人为误差） 产生原因（分类） 人为误差（个人误差） 测量误差 环境误差（条件误差） 疏忽误差 性质（误差） 系统误差 随机误差,同济大学汽车实验室,测量误差及其分类,系统误差 系统误差：固定或按一定规律变化的误差。 产生原因：

3、测量仪器不准、测量方法本身错误 （读数斜视、零点漂移、温度漂移等） 特点： 在反复测量情况下具有保持一定数值、有规律 如：应变测量中应变片的灵敏系数比标定值大。 变动的系统误差 如：仪器的零点漂移、灵敏度变化、示波器振子随信号频率变化。,同济大学汽车实验室,测量误差及其分类,过失误差 过失误差：测量人员操作不当、疏忽大意等主观原因引起的误差 产生原因：观测时看错数字、记录时点错小数点、操作时拧错旋钮和打错开关。 特点：具有偶然性，数值特别大。,同济大学汽车实验室,测量误差及其分类,随机误差 随机误差：无法严格控制的许多复杂因素综合影响所造成的误差，从表面个体上看其数值和符号无确定性，总体却可以

4、用概率统计的方法加以描述和分析。 产生原因：温度、湿度、空气振动、电网电压波动、电磁场干扰等瞬间变化引起。 特点：在个体上观察无规律、无法预先估计、不可控制；而在总体上符合统计规律，重复测量次数越多规律越明显。 变动的系统误差与随机误差具有完全不同的性质。,同济大学汽车实验室,测量的精密度与准确度,过失误差决定了测量数据可信度。 把测量结果与被测参数真完值相符的程度定义为测量的准确度，也称正确度。 系统误差越大准确度越低 把测量值的密集性重复性定义为精密度。 随机误差大则测量值离散测量精密度低,同济大学汽车实验室,测量的精密度与准确度,例： A被测参量真实值； 由系统误差产生的偏离量； X测量

5、结果； 由于随机误差产生的偏离量；,同济大学汽车实验室,测量的精密度与准确度,测量精密度和准确度是两个独立的概念。系统误差不消除，测量精度再高也是不准确的。要求测量既精密又准确。 精确度综合考虑系统误差和随机误差的影响即考虑到精密又考虑到准确，测定值与被测参数真实值相符的程度。,同济大学汽车实验室,研究测量误差理论的任务,研究误差的性质和规律：主要研究和确定过失误差和巨大的随机误差之间的界限，以便舍弃含过失误差的测量值； 研究系统误差的规律：把系统误差从随机误差中分离出来，设法消除它的影响； 研究随机误差的分布规律：分析和确定测量精密度。,随机误差的分布规律,同济大学汽车实验室,同济大学汽车实

6、验室,统计直方图,例：用300mm的钢尺，测量已知长度为836mm的钢材，在相同的观察条件下，共测量了150次，测得中心值为xi ,对应的误差i,各误差出现的次数为mi ,相对次数（频率）为fi ,将结果列表：,同济大学汽车实验室,随机误差,同济大学汽车实验室,随机误差,图中： 频率密度对应区间为单位长度时的频率。 误差落在区间中的频率为： （图中的矩形面积） 统计直方图的总面积等于1。 如果测量次数 n, 区间i 0，则无限个直方图连线成以光滑连续曲线。 此光滑曲线称为随机误差的概率密度分布曲线，也称高斯误差分布曲线或误差正态分布曲线。,同济大学汽车实验室,随机误差,正态分布曲线的解析方程

7、或 式中：h精密度指数 标准误差或均方根误差 h与的关系为:,同济大学汽车实验室,随机误差的特性,单峰性 小误差比大误差出现的机会多 对称性 f()是偶函数，即绝对值相等的 正负误差出现的概率相等 有界性（有限性） 绝大多数误差出现在 -3,3 相互补偿性（抵偿性） n时，随机 误差的算术平均值趋于零,同济大学汽车实验室,标准误差与概率积分,标准误差 各个误差平方和的平均值的平方根（均方根） 标准误差的大小取决于具体的测量条件，不同的值，其正态分布各 不相同,1,2,3,123 值越小，分布曲线越陡，即 小误差出现的概率越大， 大误差出现的概率越小； 值越大，反之。 值越小，测量精密度越高,同

8、济大学汽车实验室,标准误差与概率积分,概率积分 概率分布密度函数 若设误差落在- ，+ 之间的概率为P- ，+ ，则： 令 ，代入上式，将上式变换成一般概率积分形式,同济大学汽车实验室,标准误差与概率积分,将 按级数展开， 将展开式代入 积分式后，积分得 对于 ，误差介于 K 区间的概率为,同济大学汽车实验室,标准误差与概率积分,将 代入 得： 上式中：K 置信系数 K 置信限 K 置信区间 P 置信概率（置信度） 从上述概率积分结果可知：当一组测量值其标准误差为时，对任一测量值的误差落在1.96的概率为95%，落在3中的概率为99.73%。,测量列与测量结果 的精密度,同济大学汽车实验室,同

9、济大学汽车实验室,测量列的精密度参数,标准误差（均方根误差） 定义：各随机误差的均方值的正平方根 （ n ） 特点： 随机误差正态分布的一个参数； 测定值的方差（等于随机误差平方的数学期望）； 小测量列的精密度高； 是随机误差平方（ ）的函数，对绝对值较大误差较敏感，能较好反映测量列的精密度。,同济大学汽车实验室,测量列的精密度参数,概然误差（概率误差、或然误差） 定义：绝对值小于的随机误差出现的概率为0.5 根据此定义 P=0.5 K=0.6745 =0.6745 或 由此可见它也可以表示测量列的精密度,同济大学汽车实验室,测量列的精密度参数,平均算术误差（平均误差、算术平均误差） 定义：各

10、随机误差的绝对值的算术平均值 或,同济大学汽车实验室,测量列的精密度参数,极限误差（最大可能误差） lim 定义：绝对值大于lim的随机误差，出现的概率接近于0。 由概率积分表P可见 K = 3时，P = 0.9973，也就是绝对值大于3(3）的随机误差出现的概率仅为0.0027； 3的随机误差出现的概率很小，实际上不会出现。 人们规定lim=3。,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,讨论有限次测量: 实际测量不可能无限次,所以: 用有限次测量的算术平均值近似代替真值; 用有限次测量的测量值与算术平均值之差近似代替标准差; 这样与无限次测量不一样,称之为总体估计值,同济大学汽

11、车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,贝塞尔（Bessel）法标准法 求算术平均值 计算出各个测量值xi与算术平均值x之差 vi残余误差（残差） 残差和标准差的总体估计值关系为 此式为贝塞尔公式,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,此式也称样本的残差表示总体的总体标准差的无偏估计，用“ ”表示，求得 后，按前讨论 概然误差的无偏估计 平均算术误差的无偏估计 极限误差的无偏估计,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,佩特斯（Peters）绝对差法 总体 n 当用残余误差vi代替随机误差i，通过计算可得： 佩特斯公式 按前讨论,同济大学汽车实验室,有限次测量

12、时，测量列精密度的估计,极差法 极差 : 利用极差估算标准的公式： dn极差系数，与测量次数n有关，如表 极差系数表 用此方法估算测量次数n不能太大，一般n15,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,如n太大，可把数据分成几个组，分别对每组求极差，然后求极差平均值。 若有K组，则： 标准差估计值 d(n,k)分组极差系数，可查分组级差系数表。,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,分组极差系数表,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,最大误差法 若被测量的真值（约定真值）已知时 标准差 kn 最大误差系数，一般可查1/ kn表 1/ kn表,同济

13、大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,若被测量的真值（约定真值）为未知时 标准差 kn最大残差系数，可查1/ kn表 1/ kn表,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量列精密度的估计,总结: 贝塞尔法估计标准查，精度较高，计算麻烦； 佩特斯法估计标准差，计算速度快，计算精度低； 极差法估计标准差，计算方便迅速，当测量次数 n 10时，计算精度与贝塞尔法相当； 最大误差法估计标准差，计算更迅速，容易掌握， 当n = 1时，只能用此方法。 前面讨论的是总体参数无法直接获得 ，从而讨论了总体参数的估计值，用 来估计总体参数。,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量结果的精密度,同济大学

14、汽车实验室,有限次测量时，测量结果的精密度,算术平均值的精密度参数是表征其偏离客观真值的程度 由于算术平均值的偏差与测量数据的偏差都是由同一测量条件下的随机误差所决定的，所以存在下列关系 算术平均值的标准差 评定多组重复测量各组的不可靠性 测量列的精密度参数是表示测量数据偏离它的算术平均值的程度，而测量结果的精密度参数是表示与真值间的偏离程度。二者所表征的对象不同，性质也不同。,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量结果的精密度,由上可知 算术平均值的标准差和测量次数的平方根成反比 随n增大而减少，当n1015时， 减小缓慢。 但不是实际测量次数越多越好，增加测量次数增加工作量，测量次数越多越

15、难保证测量条件的一致，带来新的误差。但测量次数太少，无法确定整个测量数据的性质。,同济大学汽车实验室,有限次测量时，测量结果的精密度,一般测量中， 重复测量次数为（1015），n10较为适宜。,直接测量参数测定值 的处理,同济大学汽车实验室,同济大学汽车实验室,测量结果表达法,不需指出误差 A 需要考虑到测量的最大误差 （p=0.997） 表示当X=时确信概率为99.7 误差不超过3L 需要指出其他误差时 概然 （p0.50） 标准 （p0.68） 算术平均 （p0.58） 表示用测量值X代替真值A时， 分别为50、68、58确信概率 误差分别不超过 、 、 。,同济大学汽车实验室,直接测量参

16、数测定值处理举例,例：拖拉机发动机处于稳定工作情况下，对输出轴扭矩进行十次测量，结果如下：,同济大学汽车实验室,直接测量参数测定值处理举例,其算术平均值 （牛米） 可以验证算术平均值 计算无误。 测量列标准误差 测量列极限误差 ，测量列中残差不超过此值。,同济大学汽车实验室,直接测量参数测定值处理举例,算术平均值的标准误差 测量结果表达（按正态分布） （p0.9973） （p0.50）,间接测量的误差分析,同济大学汽车实验室,同济大学汽车实验室,间接测量结果的求取,间接测量步骤： 首先找出与被测物理有一定函数关系并能够直接测量的参数; 确定函数关系建立计算公式; 进行各参量的直接测量。 间接测

17、量结果的求法：把直接测量得的各参量的算术平均值代入函数关系式，求得间接测量结果。 例：测电动机输出功率N，则将直接测得的扭矩算术平均值 和相应的转速的算术平均值 代入公式，得 千瓦 电动机输出功率N的算术平均值。,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数,依直接测量的误差求间接测量的误差 设各直接测量参数为x1、x2、xm,间接测量值为Y Y=f(x1、x2、xm) 间接测量误差的传递表达式 经推导，间接测量的标准差为,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数, 几种简单函数关系的标准误差计算公式 和与差的标准误差 若Y=XZ Y=C1X+C2Z (C1 C2为常数) 则 乘积的标准误差 若Y

18、=CXZ (C为常数) 则,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数,商的标准误差 若 （C为常数） 则 指数或方根的标准误差 若 (b、C、n均为常数) 则 对数标准误差 若Y=ClnX (C、n为常数) 则,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数, 汽车或工程机械测试中常用的标准误差计算公式 扭矩和 若 M= M1+M2 则 功率 因为 则 运行速度 因为 则 打滑速度 因为 则,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数,例：测量某汽车传动轴功率N，共进行9次测量，其中测得， 公斤力米， 转/分， ， ，试求转动轴功率的标准误差和可能取值范围及置信度。 解：轴上平均功率 （P0.9973

19、）,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数,规定间接测量误差求直接测量参数的允许值 一般讨论为了使问题简化，大多采用等效方法，即假设各个直接测量参数的误差对间接测量的影响是相同的,同济大学汽车实验室,间接测量的精密度参数,可得，以给定间接测量误差 表示的直接测量参数误差的计算公式： n直接测量参数的个数,系统误差,同济大学汽车实验室,同济大学汽车实验室,系统误差及其分类,固定的系统误差测量过程总数值和符号都不改变的误差 变化的系统误差在测量过程中，数值大小或正负号变化的系统误差 累进（积）（系统）误差随时间而递增或递减的误差 周期性误差周期性改变符号和数值的误差 变化复杂的误差改变规律较复杂的误差（需要公式或曲线来表述其变化规律的误差）,同济大学汽车实验室,系统误差及其分类,a) 不含变化的系统误差,b) 含累进的系统误差,c) 含周期性系统误差,d)含有复杂规律系统误差,同济大学汽车实验室,系统