18 19第1章阶段复习课第1课立体几何初步

1、第一课立体几何初步核心速填(建议用时：5分钟)1. 直观图的画法(1) 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图时， 把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于点0,且使/ x O y= 45或 135,它们确定的平面表示水平面. 画线：已知图形中平行于或在 x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x轴、y轴的线段. 取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.(2) 立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x O y垂直的轴O

2、 z 且平行于O z的线段长度不变.其他同平面图形的画法.2. 表面积(1) 多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和.(2) 旋转体的表面积： S 圆柱=2 nl + 2 n2; S圆锥=nl + n . 5球=4 nR2.3.体积(1)柱体：V柱体=Sh(S为底面面积，h为咼).锥体：V锥体=3Sh(S为底面面积，h为咼).(3)台体：V台体二如+ SS + S )h.其中S, S分别表示台体的上、下底面面积.球体:4. 判定线线平行的方法(1) 利用定义：证明线线共面且无公共点.利用平行性质：证明两条直线同时平行于第三条直线.(3) 利用线面平行的性质定理：a / a

3、, a? B, aGb? a II b.(4) 利用面面平行的性质定理：all p, aG y= a,阳尸 b? a II b.(5) 利用线面垂直的判定定理的推论 2: a丄 a, b a? a II b.5. 判定线面平行的方法(1) 利用定义：证明直线a与平面a没有公共点，往往借助反证法.(2) 利用直线和平面平行的判定定理：a? a, b? a, a I b? a / a(3) 利用面面平行的性质的推广：all B a? p? a /a6. 判定面面平行的方法(1) 利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.利用面面平行的判定定理：a? a, b? a, a G b = A, a I p

4、 , b I p? a/ B(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行,即 a丄a , a丄 a/p(4) 平行于同一平面的两个平面平行，即all y Y a/ p7. 证明直线与平面垂直的方法(1) 利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这 条直线垂直于这个平面.符号表示：？ a? a, I丄a? I丄a其中“ ？ ”表示“任意的”)(2) 利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直.符号表示：I丄m , I丄n , m? a n? a mG n = P? I丄a(3) 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直

5、于这个平面.符号表示：a / b , a丄a? b丄a(4) 利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直 线必垂直于另一个平面.符号表示： alp, aG# I, m? a ml I ? m丄 p8. 证明平面与平面垂直的方法利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.符号表示：I丄a I? p? a丄p体系构建通过前面的学习与核心知识的填写，请把本课的知识点以网络构建的形式展现出来.题型探究空间几何体的表面积、体积例 如图1-1,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，/ BAD = 60已知 PB= PD = 2,

6、 PA= 6.【导学号：90662121】 图1-1(1) 证明：PC丄BD;(2) 若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积.思路探究(1)连接AC,与BD交于点O,由PB= PD以及底面为菱形的条件， 由线面垂直的判定定理可证 BD丄平面APC，从而可证；(2)利用四面体的等积变 换，转化为以B为顶点的三棱锥，进而判断三棱锥P-BCE的体积是三棱锥B-APC 的体积的一半，代入公式计算.解(1)证明 连接AC，交BD于点0,连接PO. 因为底面ABCD是菱形，所以AC丄BD , B0= DO.由 PB= PD 知，P0丄 BD.又因为POP AC= 0,所以BD丄平面APC,因此BD丄P

7、C.所以V 三棱锥P-BCE V三棱锥C-PEB *V三棱锥C-FAB-1V三棱锥B-APC4C因为E是PA的中点,由 PB PD AB AD 2 知， ABDA PBD.因为/ BAD 60所以 PO A0 .3, AC 2 .3, B0 1.又 PA .6,所以 P02 + A02 PA2,所以 P0丄AC,1故 Sspc = P AC = 3.由知，BO丄平面APC,1 11 1因此V 三棱锥 P-BCE 2V 三棱锥 B-APC 2 3 BO &APC 2* 规律方法1 几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中 应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特

8、别是特殊的柱、锥、台， 要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用.2 常见的计算方法(1) 公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解.(2) 割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计 算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.(3) 等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变 顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积.跟踪训练1 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为.3, D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为()A. 3C. 1sCiC 在正 ABC中，D为BC的中点,则有 AD 2AB 3，S

9、ADB1C1 2x2X ,3 3.又平面BB1C1C丄平面ABC,AD丄BC,AD?平面ABC，二AD丄 平面BB1C1C,即AD为三棱锥A-B1DC1底面上的高.AA V三棱锥 A- B1DC1 3SA DB1C1 AD 3X . 3x . 3 1.卜例空间中的平行关系如图1-2所示，四边形ABCD是平行四边形，PB丄平面ABCD, MA / PB,PB= 2MA.在线段PB上是否存在一点 F，使平面AFC /平面PMD ?若存在，请 确定点F的位置；若不存在，请说明理由.【导学号：90662122】图1-2思路探究假设存在满足条件的点F，由于平面AFC /平面PMD，且平面AFPM与平面A

10、FC、平面PMD分别交于直线 AF、PM，则必有AF / PM，又PB= 2MA， 则点F是PB的中点.解当点F是PB的中点时，平面 AFC /平面PMD，证明如下：如图连接 AC1和BD交于点O,连结FO,那么PF =尹B.四边形ABCD是平行四边形， O 是 BD 的中点.OF / PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，1OF/平面 PMD.又 MA 綊 2PB， PF 綊 MA.四边形AFPM是平行四边形. AF / PM.又 AF?平面 PMD，PM?平面 PMD. AF/ 平面 PMD.又 AF n OF = F，AF?平面 AFC，OF?平面 AFC.平面AFC/平面PMD.

11、规律方法在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面 与面的平行，其中三种关系相互渗透在解决线面、面面平行问题时，一般遵循 从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面 平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维” 的判定定理.特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化， 要遵循规律而不局限于规律.跟踪训练2如图1-3,已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求 证：AP/ GH.图1-3因为M , 0为PC、AC的中点，所

12、以证明连接AC交BD于0,连接M0,MO/ AP,又因为M0?平面BDM , FA?平面BDM ,所以PA/平面BDM ,又因为FA?平面PAHG,平面PAHG n平面BDM = GH , 所以 PA/ GH.空间中的垂直关系例 如图1-4所示，在斜三棱柱 Ai Bi Ci -ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BBiCiC丄底面ABC.【导学号：90662i23】图i-4若D是BC的中点，求证：AD丄CCi;过侧面BBiCiC的对角线BCi的平面交侧棱于点 M，若AM= MAi，求证：截面MBCi丄侧面BBiCiC.思路探究(i)由面面垂直的性质可证.先证明CiN丄侧面BBiCiC，

13、再证截面MBCi丄侧面BBiCiC.解证明：T AB = AC, D是BC的中点， AD丄 BC.底面ABC丄平面BBiCiC, AD丄侧面 BBiCiC. AD 丄 CCi.(2)延长BiAi与BM的延长线交于点 N,连接CiN.T AM= MAi,二 NAi = A1B1.T AiCi = AiN = A1B1,CiN 丄 BiCi, CiN 丄侧面 BBiCiC.截面MBCi丄侧面BBiCiC.规律方法在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及 面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心， 学习时要突出三者间的互化意 识.如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个 平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.跟踪训练3.如图 i-5,四棱锥 P-ABCD 中，/ ABC=Z BAD = 90BC= 2AD , PAB 和厶 PAD 都是等边三角形.证明：PB丄CD.