流体力学Navier—Stokes方程的矩阵变换

1、维普资讯 第t3卷 第2期海南大 学学 报 自然 科学 版Vot13N 21995 6月NATURAL SCIENCE JOURNAL OY HAINAN UNIVERSITYju鼬，1q9s流体力学 Navier-Stokes方程的矩阵变换677；业垄，(=) 7(海南师范学院，海口 571158) ，摘 要 关于流体力学 NavierStokes方程从笛卡儿坐标系到柱坐标系和璩坐标系的变换，现行国内外著作和教科书中采用的方法都相当复杂且繁琐本文利用矩阵变换为其给出了一种简明的推导方法莘中国图粕而 V一J5 程f卫耜滞脞阮符0 引 言流体力学 Navie

2、r Stokes方程是粘滞性流体的动力学方程其在笛卡儿坐标系中的分量形式为P(+ 薏)一篡+壶 (【JI)其中=( + 詈轧 )+弛(。2)为粘滞应力张量在天体物理学研究中，该方程的柱坐标分量形式应用较多由于方程中含有矢量算符对矢量及张量的作用，由笛卡儿坐标系到柱坐标系的变换比较复杂在文献1中，给出了方程的柱坐标分量形式，但是没有推导过程在文献2、3中，采用了矢量算符在曲线坐标系中的表达式进行推导，过程冗长其中所缺少的一些中间过程，读者要自行推导比较困难在文献4、5中，应用了矩阵变换来推导粘滞应力张量在柱坐标系中的分量形式，不过仅用于推导的第一步，没有应用于 NS方程的变换本文 试图将矩阵变换

3、方法用于 NS方程为该方程的坐标变换给出一个简明的推导1 基本方法从笛卡儿坐标系到柱坐标系的基矢量变tlt：(11)将此变换记为(1 2)收稿日期；1994一 l0 21维普资讯 170海 南 大 学 学 报 瞳 然 科学 版其中规定：( )代丧柱坐标系中的一组基()代表笛卡儿坐标系中的 组基(R )代表变换矩阵；下角标代表行指际一上角标代表列指标故 ( )代表列矢量，( )代表行矢量；希腊字角标a、卢、7-代表柱坐标分量一英文字角标 、 k-代表笛卡儿坐标分量在上述规定下 变换 (12)的逆变换可记为一R(13)其中 R代表矩阵 R的转置R为正交矩阵，故

4、有R：R。 一 R R =d (14)由变换 (12)、(13)可得行基矢量的变换为一 R= Roe(15)三维矢量 在笛卡儿坐标系与柱坐标系中可分别记为口= 。一 一一矿e 一(16)由基矢量变换 (12)、(1 3)和 (15)可得速度口的变换为一R= R (1 7)其逆变换为。 R 口。，= 尺(18)线元 r可 表为d r dx z 一， d r dx P 一其变换为z。一 R dx， dxo R 出R ，一五dx其中(dz )一(drrdT，dz)从而可得 出偏导数之间的变换关系为一蟊 记为 一两R 记为 =R(19)一 R 旦z 记为 a。一 a9=记为 一其中()一(，_ 二阶张

5、量 可表为o o e一 o tc3L1 10)由基变换 (12)、(1_3)和 (1_ )可得 口的变换为=RJ口R(1 111其逆变投为= ： R口 R(1 12)维普资讯 刘晓惑：流悼力学 Navier Stokes方 程的矩阵变换2 粘滞应力张量的变换牯滞应力张量的一般形式为 (O2)式对于不可压缩流体一 一0 的形式简化为 ： ( +型)矗(2“1，在本文的规定下，(21)式可表为一(a 一 )(22)为简洁起见，以下给出(22)式的变换，且在其中令 =1 xq(o，2)式的变换，方法完全相同将式 (22)代入变换 (1 11)并用到式 (L 8)

6、和 (1-9)，得_ R R ，(R)+R，a(R扣 )JR一R a (R ) 十。+ a。(Rf)v R + 。(23)其中，第一项的因子 (R ) 的矩阵形式为fcos, -sinq 0、【 、(五)口)一Ii： ：jl品，)其中，相乘后偏导算符其作用在 R的元素上 其结果为fO 吼n 0+cos01(五，)一一1foc。s +sn of(!4)L000 J故 (23)式中第一项可求得矩阵形式为fO v O1(R：(五，)口)=0 0l(25)【0 0 0j同理，(23)式中第三项可求得为f 0 0 0、(a。(R) )一 l一0【0 0 0J最后得出(23)式的结果为i21 a口 a f

7、一lr a学 arrazl(“ ) l一1丝 J一一。c嚣+等婴 ：(26)arIrarrIJ1 a口：a口2翌1lar a2r aa2aJ(参见1P48)在不可压缩流体满足的方程(01)中，由于存在蠡 项，粘滞应力张量 中实 起作用的是非对称项 grO,故为下文需要，取： ，在此给出其变 换后的矩阵形式为维普资讯 172海 南 大 学 学 报 自然 科 学 版()3 Navier Stokes方程的变换在本文的规定下方程(01)可表为+ 口一一一 aP+(31)其中 一号为方便起见已将(02)式中的粘滞系数 提到微分号前此即 为常量的情形此处理不影响推导

8、方法的一般性将方程 (31)两端同乘尺 ，利用变换 (18)、(19)和 (112)可得坐左边 =9,Pdvi+R,v 口一 口 +Ra (R )+竺=+RJ 却(R ) 一口(32)rr其中第二项的因子却(R )的矩阵形式为垫；墼co sinp 0( (五)=(。，+ 品+)sinf c。s 0J【 001Jsnp c。01一一cos sin ol00 0j故可得左边第二项为(33)右边一ploP+ R五却(五 口 R )一一 a。P一 L，却(五t)R。 十却“a+五R 却(R )口 j(34)其中，中括号内第项的因子口，=口l旦j r 婶IaC其中，相乘后偏导算符作用在 R的元素上结果为

9、维普资讯 刘晓慧：流体力学 NavierStokes方程的矩阵变换l73sin9 o-r + cos1却(五r)cos- sin0于是得出右边中括号内第一项为( (五) 一 j 。(35)一一 一P(36)其中综合式 (32)(36)，得 N-S方 程在柱坐标系中的列矢量形式为。一矿h 一解P昙兰十t。，+品+ 兰+f。f仉 +脚 l一 1+ ar+ra 十2 一，+l 1 a IP+ 1+ ，+(37)r l十+耋对于不可压缩流体， 的形式为式 (27) 将式(27)代入(37)，可得f+c+翕一耋兰J十1a口。f 1 7，1【f(38)0JI0：旦 (

10、，)+1Ir a。(参见1)上述方法对于 Ns方 程从笛卡儿坐标系到球坐标系的变换也完全适用，不同的仅仅是变换矩阵 R的形式Navier-Stokes方程在天体物理中有广泛的应用由于角动量的作用，星系绝大多数都呈盘状轴对称结构星系作为整体可视为流体，而恒星间的引力相互作用就成为流体中的粘滞机制星际物质在星系核周围形成吸积盘，或者在双星吸积中，老年恒星膨胀，(下转第 178页)维普资讯 178海 南 大 学 学 报 自然 科 学 版3)根据截面图形的实形 作它的两面投影图由于要作出若干个投影点因而需采用比例角R进行作图在图 2的直角 za2ef中，a2e，为

11、 实长 角反映圆平面对 H 面的倾角，于是，可根据截面图形上任一点至截面上的正平线 M，N的距离来确定这个点的投影至正平线投影的距离如 ：求 v 点的投影在 且ef中(可在图形外画一个与它相似的三角形本文未画出)，沿a2e量取 = i (注：图中 ae，线上的 5点未标出)，过点 5作 f的垂线交 a2f于 H线段5H的长度确定了正面图上 5 至正平线的距离，线段 a：H 的长度确定了水平视图上点 5，至正平线投影 的距离同理 ，可作出其余各点最后光滑地连接各点，求得柱面截面曲线的投影3 结束语31 如果有两个平面，其中一个平面包含一个圆而另一个则包含与这个圆亲似的椭圆这些图形可完全地唯一地确

12、定这两个平面的相对关系32 为了使两个平面构成亲似对应关系只要在各自的平面上任取不共线的三个对应点使它们成为亲似对应就够了在作曲导线柱面的截面图时就可简化成为作三棱柱的截面图再应用上述方法便可求出各种曲面的截面投影图参 考文 献l 许春群，苷射髟几何 高等教育出腹社 1982 僚宏文，等高等蕾法几何学 天津科学技术出版杜，198(上接第 173页)其物质流向另一颗恒星，形成吸积盘，也表现出粘滞流体的性质粘滞机 制使引力能转化为辐射能以上这些 问题，都以 NavierStokes方程 的柱坐标形式为基本方程进行研究至 于球坐标下的 NavierStokes方程，则可用于对单个恒星的研究参 考 文 献l L Id|u and LishtFluid MechanicsPecgP r瞬 12 7