应力状态和强度理论

1、1,第七章 应力状态和强度理论,2,7-1 概述,在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力不同。,第七章 应力状态和强度理论,3,第七章 应力状态和强度理论,. 应力状态的概念,一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。,.一点应力状态的表示方法 应力单元体,由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。,4,受轴向拉( 压)杆,单向应力状态,第七章 应力状态和

2、强度理论,受扭杆件,1,纯剪切应力状态,5,横力弯曲杆件,平面应力状态,第七章 应力状态和强度理论,6,. 应力状态的分类,一点处切应力等于零的截面称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应力(principal stress)。,在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。,第七章 应力状态和强度理论,7,钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。,当三个主应力中只有一个主应力不等于零时为单向应力状态；,当三个主

3、应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；,当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；,第七章 应力状态和强度理论,8,平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。,第七章 应力状态和强度理论,9,研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：,1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所

4、致。,2. 在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theory of strength, failure criterion)的基础。,第七章 应力状态和强度理论,10,本章将研究 .平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念；.平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关系广义胡克定律(generalized Hookes law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；.强度理论。,第七章 应力状态和强度理论,11,7-2 平面应力状态的

5、应力分析主应力,等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态。,第七章 应力状态和强度理论,12,对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。,第七章 应力状态和强度理论,13,平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。,第七章 应力状态和强度理论,14,. 斜截面上的应力,第七章 应力状态和强度理论,图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法线n与x轴的夹角a 定义，且a角以自x

6、 轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa 和切应力ta均为正值，即sa 以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。,15,由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dAcosa，而底面bf 的面积为dAsina。图d示出了作用于体元ebf 诸面上的力。,体元的平衡方程为,第七章 应力状态和强度理论,16,需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。,由以上两个平衡方程并利用切应力互等定

7、理可得到以2a为参变量的求a 斜截面上应力sa，ta的公式：,第七章 应力状态和强度理论,17,主平面的方位角,主应力的大小,讨论：,可以确定出两个相互垂直的平面分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,第七章 应力状态和强度理论,正应力有极值。,-主平面,18,主平面的位置,将 画在原单元体上。,第七章 应力状态和强度理论,19,2)、切应力t a 的极值及所在截面,最大切应力 所在的位置,xy 面内的最大切应力,由,第七章 应力状态和强度理论,最大正应力与最大剪应力 所在平面成450,20,例：如图所示单元体，求图示 斜截面的应力及主应力、主平面。,（单位：MPa）,300,40,50,60

8、,解：1、求斜截面的应力,第七章 应力状态和强度理论,21,2、求主应力、主平面,主应力：,主平面位置：,（单位：MPa）,第七章 应力状态和强度理论,22,. 应力圆,为便于求得sa，ta ，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohrs circle for stresses)来表示。,先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：,第七章 应力状态和强度理论,.应力圆方程,23,而这就是如图a所示的一个圆应力圆，它表明代表a 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。,第七章 应力状态和强度理

9、论,24,.应力圆的画法,第七章 应力状态和强度理论,应力圆上任一点的横、纵坐标分别对应该点某一截面上正应力和切应力。,即应力圆上的点对应着单元体的面。,25,绘制步骤：,1、取直角坐标系,2、取比例尺（严格按比例做图）。,第七章 应力状态和强度理论,26,点面对应；二倍角；转向同。, 结论,第七章 应力状态和强度理论,在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点A和B所夹圆心角为180，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍。,27, . 证明,证得圆心位置：,证得半径为：,s,t,o,第七章 应力状态和强度理论, 圆心坐标及半径,28,s,t,o,主平面： = 0, 应力圆

10、上和横轴交点对应的面, 主应力与主平面,第七章 应力状态和强度理论,主应力排序：按其代数值排序记作s1，s2，s3的。,证明得：,29,s,t,o,第七章 应力状态和强度理论,基准法线为x轴的正方向截面。,主平面的方位角,证明得：,30,s,t,o, 斜截面上的应力,E,第七章 应力状态和强度理论,F,31,s,t,o, 斜截面上的应力,证毕,E,第七章 应力状态和强度理论,32, 切应力的极值及所在位置,以D为基点，转到G1点， 其圆心角为2a 1 。,由应力圆可证明 最大正应力与最大剪应力 所在平面相差450,s,t,o,C,第七章 应力状态和强度理论,需要指出： 所求只是xy面内的最大切

11、应力,33,主应力排序：,主应力是按其代数值排序记作s1，s2，s3的。,第七章 应力状态和强度理论,34,例：如图所示单元体，求图示 斜截面的应力及主应力、主平面。,（单位：MPa）,300,40,50,60,解：,第七章 应力状态和强度理论,35,主应力：,主平面位置：,第七章 应力状态和强度理论,36,D,D,c,（1）对基本变形的应力分析,单向拉伸,第七章 应力状态和强度理论,45方向面既有正应力又切应力，但正应力不是最大值，切应力 最大。,37,B,E,纯剪切,第七章 应力状态和强度理论,38,讨论: 1. 表达图示各单元体a 斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表

12、示的都是平面应力状态吗？,第七章 应力状态和强度理论,39,2. 对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截面上应力随a 角变化的应力圆有什么特点？a =45两个斜截面上的sa,ta分别是多少？,二向等值压缩,二向等值拉伸,纯剪切,第七章 应力状态和强度理论,40,7-3 空间应力状态的概念,当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。,第七章 应力状态和强度理论,41,空间应力状态最一般的表现形式如图b所示；正应力sx，sy，sz的下角标表示其作用面，切应力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一个下

13、角标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。,(b),第七章 应力状态和强度理论,图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一坐标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的正向时为正。,42,最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有txytyx，tyztzy ，txztzx，因而独立的应力分量为6个，即sx，sy，sz，tyx，tzy ，tzx。,当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。,(a),第七章 应

14、力状态和强度理论,43,第七章 应力状态和强度理论,例如图a中所示平行于主应力s3的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。,44,进一步的研究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。,(a),第七章 应力状态和强度理论,同理，显示平行于主应力s2(或s1) 的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。,(c),45,据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1

15、，即 。,(c),第七章 应力状态和强度理论,最大切应力为,46,它的作用面根据应力圆点B的位置可知，系与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45 ，即下面图a中的截面abcd。,第七章 应力状态和强度理论,47,200,300,50,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,48,200,50,300,50,49,50,例题7-1 试根据图a所示单元体各面上的应力，求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。,(a),第七章 应力状态和强度理论,51,解: 1. 图a所示单元体上正应力sz=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。,第七章 应力状态和强度理论,(

16、a),按代数值大小排序为s146 MPa，s220 MPa，s3-26 MPa。,2. 解析法计算主应力值,52,(a),3. 根据表达式，得,第七章 应力状态和强度理论,4. 依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。,53,s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位角a0根据通过点D1和D2的应力圆上由代表x截面上应力的点D1逆时针至代表a1的点A的圆心角2a034可知为a017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。,(c),第七章 应力状态和强度理论,(b),最大切应力tmax作用在由s1 作用面绕s2 逆时针45 的面上(图c)。,54,7-4 应力与应变间的关系,前已讲到，最一般

17、表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量： sx , sy , sz , txy , tyz , tzx；与之相应的有6个独立的应变分量：ex , ey , ez , gxy , gyz , gzx。,第七章 应力状态和强度理论,规定：线应变ex , ey , ez以伸长变形为正，切应变gxy , gyz , gzx 以使单元体的直角xoy , yoz , zox减小为正。,55,本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件下，空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关系，即广义胡克定律。,第七章 应力状态和强度理论,. 各向同性材料的广义胡克定律,对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，

18、也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。,在线弹性范围内，且为小变形的条件下，正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变。,56,(1) 在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变；,(2) 在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。,第七章 应力状态和强度理论,57,现在来导出一般空间应力状态(图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为,第七章 应力

19、状态和强度理论,同理有,58,至于切应变与切应力的关系，则根据前面所述可知，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有,第七章 应力状态和强度理论,59,对于图b所示的那种平面应力状态(sz0，txz=zx=0，tyz=tzy=0)，则胡克定律为,第七章 应力状态和强度理论,各向同性材料的三个弹性常数E，G，n 之间存在如下关系：,60,当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为,第七章 应力状态和强度理论,。,对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力构成的平面内不发生切应变。因而沿主应力s1，s2，s3方向的线应变e1，e2，e3即为主应变。,61,第七章 应力状态和强

20、度理论,在平面应力状态下，若s30，则以主应力表示的胡克定律为,对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力构成的平面内不发生切应变，因而主应力方向的线应变就是主应变 一点处两个相互垂直方向间不发生切应变时该两个方向的线应变。,62,. 各向同性材料的体应变,材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q。,第七章 应力状态和强度理论,取三个边长分别为a1，a2，a3的单元体，它在受力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故体应变为,63,将上式展开并略去高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律得,第七章 应力状

21、态和强度理论,64,对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个平面内的二向等值拉压(s1t，s3t，s20），从而从上列体应变公式中可见，它们引起的体应变为零。,可见，对于各向同性材料，在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变之和有关，即,第七章 应力状态和强度理论,65,例题7-2 边长a =0.1 m的铜质立方体置于刚性很大的钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比n0.34。铜块与钢

22、块上凹坑之间的摩擦忽略不计。,(a),第七章 应力状态和强度理论,66,解：1. 铜块水平截面上的压应力为,2. 铜块在sy作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez0，可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在(图b) 。,(b),第七章 应力状态和强度理论,67,按照广义胡克定律及ex0和ey0的条件有方程：,从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然sxsz。于是解得,第七章 应力状态和强度理论,68,由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以sx，sy，sz都是主应力，且,第七章 应力状态和强度理论,3. 铜块内的最大切应力为,(b),69,第七章 应力状态和强度理论,4. 铜块的体应变为,

23、(b),70,思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，三个主应力为s130 MPa，s210 MPa，s3-40 MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之比有无变化？,第七章 应力状态和强度理论,71,7-5 空间应力状态下的应变能密度,在第二章“轴向拉伸和压缩”中已讲到，应变能密度(strain energy density) 是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式：,在第三章“扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度：,在

24、此基础上，本章讲述空间应力状态下的应变能密度。,第七章 应力状态和强度理论,72,空间应力状态下，受力物体内一点处的三个主应力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如s1先由零增至最后的值，然后s2由零增至最后的值，而s3最后才由零增至最后的值。,第七章 应力状态和强度理论,但从能量守恒定律可知，弹性体内的应变能和应变能密度不应与应力施加顺序有关而只取决于应力的最终值，因为否则按不同的加载和卸载顺序会在弹性体内累积应变能，而这就违反了能量守恒定律。,73,把由主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式，经整理简化后得,为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况，

25、即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的空间应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时：,第七章 应力状态和强度理论,74,体积改变能密度和形状改变能密度,图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变，而且其形状(指单元体三个边长之比)也会发生改变。这就表明，单元体内的应变能密度ve包含了体积改变能密度vv和形状改变能密度vd两部分，即vevvvd。,第七章 应力状态和强度理论,75,如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应力状态，则可见：,. 图b所示三个主应力都等于平均应力sm(s1+s2+s3)/3的情况下，单元体只有体积改变而无形状改变

26、，其应变能密度即是体积改变能密度，而形状改变能密度为零。,第七章 应力状态和强度理论,76,. 图c所示三个主应力分别为s1-sm，s2-sm，s3-sm的情况下，三个主应力之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。,第七章 应力状态和强度理论,77,由以上分析可知：,(1) 图a所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有,第七章 应力状态和强度理论,78,在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。,第七章 应力状态和强度理论,(2) 图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的

27、应变能密度，故对图a所示单元体有,.基本变形下强度条件的建立,（拉压）,（弯曲）,（剪切）,（扭转）,（正应力强度条件）,（剪应力强度条件）,第七章 应力状态和强度理论,式中,（通过试验测定）,单向应力状态,纯剪应力状态,7-6 强度理论及其相当应力,80,材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。,第七章 应力状态和强度理论,但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以不可能总是由试验

28、加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。,.复杂应力状态下强度条件的建立,81,材料的强度破坏有两种类型； . 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂； . 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。,工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为,. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；,. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。,第七章 应力状态和

29、强度理论,82,(1) 最大拉应力理论(第一强度理论) 受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂。,可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为,而相应的强度条件则是,其中，s为对应于脆性断裂的许用拉应力，ssu/n，而n为安全因数。,第七章 应力状态和强度理论,83,局限性：,1、未考虑另外二个主应力影响，,2、对没有拉应力的应力状态无法应用， （单向压缩、二向、三向压缩）,实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结

30、果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。,第七章 应力状态和强度理论,84,(2)最大伸长线应变理论(第二强度理论) 从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂(断裂面沿施加压应力的方向，即所谓纵向)来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。,可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为,第七章 应力状态和强度理论,85,对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu， 如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu su/E； 如果eu是由单

31、轴压缩试验测定的(例如对石料和混凝土等非金属材料)，那么eu n su/E； 如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂)，则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。,第七章 应力状态和强度理论,86,亦即,而相应的强度条件为,第七章 应力状态和强度理论,如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,87,局限性：,1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决。,

32、第七章 应力状态和强度理论,2、按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。,88,(3) 最大切应力理论(第三强度理论) 低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45 斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力tmax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服。,第三强度理论的屈服判据为,对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tuss/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为,第七章 应力状态和强度理论,89,而相应的强

33、度条件则为,从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力s2对材料发生屈服的影响；因此它与试验结果会有一定误差(但偏于安全)。,(4) 形状改变能密度理论(第四强度理论) 注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。,第七章 应力状态和强度理论,90,于是，第四强度理论的屈服判据为,对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料，注意到试验中s1 ss， s2s30，而相应的形状改变能密度的极限值为,故屈服判据可写为,第七章 应力状态和强度理论,91,此式中，s1，

34、s2，s3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为,这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。,亦即,第七章 应力状态和强度理论,92,(5) 强度理论的相当应力,上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：,式中，sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件ss中的拉应力s，通常称sr为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。,第七章 应力状态和强度理论,93,第七章 应力状态和强度理论,94,图中所示的那种平面应力状态在工程上是常遇的，且相应的材

35、料多为塑性材料；为避免在校核强度时需先求主应力的值等的麻烦，可如下得出可直接利用图示应力状态下的s 和t 直接求sr3和sr4的公式。,第七章 应力状态和强度理论,95,代入相当应力表达式：,即得,第七章 应力状态和强度理论,将主应力计算公式：,96,7-8 各种强度理论的应用,前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接近于均匀,连续和各向同性。,需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。,第七章 应力状态和强度理论,97,第七章 应力状态和强度理论,带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附

36、近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。,98,圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。,第七章 应力状态和强度理论,99,第七章 应力状态和强度理论,三向等拉应力状态下（脆、塑）均发生脆性断裂，故采用第一或第二强度理论。,三向等压应力状态下（脆、塑）均发生塑性屈服，故采用第三或第四强度理论。,100,纯剪切平面应力状态下许用应力的推算,纯剪切平面应力状态下,低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力s按第三或第四强度理论推算许

37、用切应力t。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为,第七章 应力状态和强度理论,101,按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为,在大部分钢结构设计规范中就是按t =0.577s 然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规定s 170 MPa，而t 100 MPa。,亦即,第七章 应力状态和强度理论,102,铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉伸许用应力st按第一或第二强度理论推算许用切应力t 。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为,第七章 应力状态和强度理论,三向等拉应力状态下（脆、塑）均发生脆性断裂，故采用第一或第二强度

38、理论。,三向等压应力状态下（脆、塑）均发生塑性屈服，故采用第三或第四强度理论。,103,按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为,因铸铁的泊松比n0.25，于是有,第七章 应力状态和强度理论,104,思考: 试按第四强度理论分析比较某塑性材料在图(a)和图(b)两种应力状态下的危险程度。已知s 和t 的数值相等。如果按第三强度理论分析，那么比较的结果又如何？,答案：按第四强度理论，(a),(b)两种情况下同等危险。按第三强度理论则(a)较(b)危险。,第七章 应力状态和强度理论,105,例题 试全面校核图a,b,c所示焊接工字梁的强度，梁的自重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为 I

39、z = 88106 mm4；半个横截面对于中性轴的静矩为S*z,max = 338103 mm3；梁的材料Q235钢的许用应力为s 170 MPa，t 100 MPa。,第七章 应力状态和强度理论,106,解: 1. 按正应力强度条件校核,此梁的弯矩图如图d，最大弯矩为Mmax80 kNm。,梁的所有横截面上正应力的最大值在C 截面上,下边缘处：,它小于许用正应力s，满足正应力强度条件。,(d),第七章 应力状态和强度理论,107,2. 按切应力强度条件校核,此梁的剪力图如图e，最大剪力为FS,max=200 kN。,梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处：,它小于许用切应

40、力t,满足切应力强度条件。,(e),第七章 应力状态和强度理论,108,3. 按强度理论校核Mmax和FS,max同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度,在Mmax和FS,max同时存在的横截面C稍稍偏左的横截面上，该工字形截面腹板与翼缘交界点a处，正应力和切应力分别比较接近前面求得的smax和tmax，且该点处于平面应力状态，故需利用强度理论对该点进行强度校核。,第七章 应力状态和强度理论,109,第七章 应力状态和强度理论,110,点a处的主应力为,第七章 应力状态和强度理论,由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强度。,可见，按第三强度理论所得的相当应力sr3178.1 MP