2021--2021高考全国1卷理科数学试题及答案-word版

1、2021-2021高考全国1卷理科数学试题及答案-word版1 / 362021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设121i z i i-=+，则z =（ ） A 0 B 12 C 1 D2已知集合2|20A x x x =-，则A =R （ ）A |12x x -B |12x x -C |1|2x x x x D |1|2x x x x -3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

2、例得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ）A 新农村建设后，种植收入减少B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4记n S 为等差数列n a 的前n 项和若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ）A 12-B 10-C 10D 125设函数()()321f x x a x ax =+-+若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A 2y x =-B y x =-C 2y x =D y x = 2 / 366在ABC 中，AD 为BC

3、边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A 3144AB AC - B 1344AB AC - C 3144AB AC + D 1344AB AC + 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A B C 3 D 28设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN =（ ） A 5 B 6 C 7 D 89已知函数()0ln 0x e x f x x x =，

4、()()g x f x x a =+，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A )10-， B )0+， C )1-+， D )1+，10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ） A 12p p =B 13p p =C 23p p =D 123p p p =+11已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F

5、 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N 若OMN 为直角三角形，则MN =（ ）A 32B 3 C D 412已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） 3 / 36ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若x y ，满足约束条件220100x y x y y -+，则32z x y =+的最大值为_14记n S 为数列n a 的前n 项和若21n n S a =+，则6S =_15从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）16已知函数()2sin s

6、in 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题：共60分。17（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC =，45A =，2AB =，5BD =求cos ADB ；若DC =BC 18（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF 证明：平面PEF 平面ABFD ；求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值 4 / 361

7、9（12分） 设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20， 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；设O 为坐标原点，证明：OMA OMB = 20（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不

8、合格品，以中确定的0p 作为p 的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21（12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+ 讨论()f x 的单调性；若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -的解集；若()01x ，时不等式()f x x 成立，求a 的取值范围6 / 367 / 368

9、/ 369 / 3610 / 3611 / 362021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2021年山东，理1，5分】设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则A B （ ）（A ）()1,2 （B ）(1,2 （C ）()2,1- （D ）2,1)-【答案】D【解析】由240x -得22x -，由10x -得1x B x x x x x x -故选D （2）【2021年山东，理2，5分】已知R a ，i是虚数单位，若z a =，4

10、z z =，则a =（ ）（A ）1或1- （B（C） （D【答案】A【解析】由4z a z z =得234a +=，所以1a =，故选A （3）【2021年山东，理3，5分】已知命题p ：0x ，ln(1)0x +；命题q ：若a b ，则22a b ，下列命题为真命题的是（ ）（A ）p q （B ）p q （C ）p q （D ）p q 【答案】B【解析】由0x 时11,ln(1)x x +有意义，知p 是真命题，由222221,21;12,(1)(2)-即p ，q 均是真命题，故选B （4）【2021年山东，理4，5分】已知x 、y 满足约束条件3035030x y x y x -+，

11、则2z x y =+的最大值是（ ）（A ）0 （B ）2（C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】由30+5030x y 3x y x -+画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350+=x y 与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+=，故选C （5）【2021年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+，已知101225i i x =，10116

12、00i i y =，4b =，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170【答案】C 【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y =-=+=，故选C （6）【2021年山东，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（ ）（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1， 12 / 36 【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =（A ）21log ()2a b a a b b +l

13、og ()2a b a b a b21log ()2a ba b a b +【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b a ab a a b b b +，故选B （8）【2021年山东，理8，5分】从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79【答案】C【解析】125425989C C =，故选C （9）【2021年山东，理9，5分】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ABC 为锐角三角形，且满足sin

14、(12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C +=+所以2s i n c o s B C A C B A b a=， 故选A （10）【2021年山东，理10，5分】已知当0,1x 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）（A ）()0,123,+ （B ）()0,13,+ （

15、C）()23,+（D ）()3,+ 【答案】B【解析】当01m 1m，2(1)y mx =-单调递减，且22(1)(1),1y mx m =-，y m =单调递增，且,1y m m m +，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m ,1m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -+，故选B 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2021年山东，理11，5分】已知(13)n x +的展开式中含有2x 的系数是54，则n = 【答案】4【解析】()1C 3C 3r r rr r r n n x x +T =，令2r =得：22C 354

16、n =，解得4n = （12）【2021年山东，理12，5分】已知1e 、2e 12e -与12e e +的夹角为60，则实数的值是【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e -+=+-=()2123e e e -=-223232e e e e =-+=，()22221221e e e e e e e e +=+=+=+2cos601=+=（13）【2021年山东，理13，5分】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为【答案】22+【解析】该几何体的体积为21V112211242=+=+（14）【2021年山东，理14，5分】

17、在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221x ya b-=（0a，0b）的右支与焦点为F的抛物线22x py=（0p）交于A、B两点，若4AF BF OF，则该双曲线的渐近线方程为【答案】y=【解析】|=4222A B A Bp p pAF BF y y y y p+=+=，因为22222222221202x ya y pb y a ba bx py-=-+=，所以222A Bpby y p aa+=渐近线方程为y=（15）【2021年山东，理15，5分】若函数()xe f x（ 2.71828e=是自然对数的底数）在()f x的定义域上单调递增，则称函数()f x具有M性质。下列函数中所有具

18、有M性质的函数的序号为()2xf x-=()3xf x-=3()f x x=2()2f x x=+【答案】【解析】()22xx x xee f x e-= 在R上单调递增，故()2xf x-=具有M性质；()33xx x xee f x e-= 在R上单调递减，故()3xf x-=不具有M性质；()3x xe f x e x=，令()3xg x e x=，则()()32232x x xg x e x e x x e x=+=+，当2x-时，()0g x，当2xg xx xe f x e x=在(),2-上单调递减，在()2,-+上单调递增，故()3f x x=不具有M性质；()()22x xe

19、 f x e x=+，令()()22xg x e x=+，则()()()2222110x x xg x e x e x e x=+=+，()()22x xe f x e x=+在R上单调递增，故()22f x x=+具有M性质三、解答题：本大题共6题，共75分（16）【2021年山东，理16，12分】设函数()sin()sin()62f x x x=-+-，其中036f=（1）求；（2）将函数()f x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数()g x的图象，求()g x在3,44-上的最小值13 / 3614 / 36解：（1）因为()si

20、n()sin()62f x x x =-+-，所以1()cos cos 2f x x x x =-3cos 2x x =-13(sin )2x x =-)3x =-，由题设知()06f =，所以63k =，k Z 故62k =+，k Z ，又03（2）由（1）得()3f x x =-，所以()4312g x x x +-=- 因为3,44x -，所以2,1233x -，当123x -=-，即4x =-时，()g x 取得最小值32- （17）【2021年山东，理17，12分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G 是DF 的中

21、点（1）设P 是GE 上的一点，且AP BE ，求CBP 的大小；（2）当3AB ，2AD 时，求二面角E AG C -的大小解：（1）因为AP BE ，AB BE ，AB ，AP 平面ABP ，AB AP A =，所以BE 平面ABP ，又BP 平面ABP ，所以BE BP ，又120EBC =，因此30CBP =（2）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH 因为120EBC =，所以四边形BEHC 为菱形，所以AE GE AC GC =取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC EM AG ，CM AG ， EMC 为所求二面角的平面角1AM =，EM CM =在BEC 中，

22、120EBC =，由余弦定理22222222cos12012EC =+-=，所以EC =，因此EMC 为等边三角形，故所求的角为60解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E，G，(C -，故(2,0,3)AE =-，(1AG =，(2,0,3)CG =，设111(,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量由00m AE m AG =可得1111230,0,x z x -=取12z =，得平面AEG 的一个法向量(3,m 设222(,)n x y z =是平面ACG 的一个法

23、向量由00n AG n CG =可得22220,230,x x z +=+=取22z =-， 可得平面ACG的一个法向量(3,2)n =-所以1cos ,|2m n m n m n （18）【2021年山东，理18，12分】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙

24、种心理暗示（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；（2）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX 解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，则485105()18C P M C = 15 / 36 （2）由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4则565101(0),42C P X C =41645105(1),21C C P X C =3264510(2),21C C P X C =236455(3),21C C P X C =146451(4),42C C P X C =因此X 的分布列为 =1510

25、510123424221212142+=（19）【2021年山东，理19，12分】已知n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=（1）求数列n x 的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()11,1P x ，()22,2P x ，()11,1n n P x n +得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T 解：（1）设数列n x 的公比为q ，由已知0q 由题意得1121132x x q x q x q +=-=，所以23520q q -=，因为0q ，所以12,1q

26、 x =，因此数列n x 的通项公式为12.n n x -= （2）过123,P P P 1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,Q Q Q 1n Q +，由（1）得111222.n n n n n x x -+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q +的面积为n b 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n -+=+，所以123n T b b b =+n b 101325272-=+32(21)2(21)2n n n n -+ 又0122325272n T =+21(21)2(21)2n n n n -+ -得121132(22.2)(21)2n n n T

27、n -=+-+=1132(12)(21)2212n n n -+-+-，(21)212n n n T -+= （20）【2021年山东，理20，13分】已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数（1）求曲线()f x 在点()(),f 处的切线方程；（2）令()()()h x g x af x =-（a R ），讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 解：（1）由题意()22f =-，又()22sin f x x x =-，所以()2f =，因此曲线()y f x

28、=在点()(),f 处的切线方程为()()222y x -=-，即222y x =- （2）由题意得()()()22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+-+，因为()()()()co s s i n2x x h x e x x x ex x a x x =-+-+-+-()()2s i n2s i n x e x x a x x =- ()()2sin x e a x x =-，令()s i n mx xx =-，则()1cos 0m x x =-，所以()m x在R 上单调递增 所以当0x 时，()m x 单调递减，当0x 时，()0m x 1) 当0a

29、时，xe a -0，当0x ()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =-；2) 当0a 时，()()()ln 2sin x ah x e e x x =-，由()0h x =，得1ln x a =，2=0x ，16 / 36当01a 极大值极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =-+，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =-；当1a =时，ln 0a =，当(),x -+时，()0h x ，函数()h x 在(),-+上单调递增，无极值；当1a 时，ln

30、0a 所以当(),0x -时，ln 0x a e e -当()0,ln x a 时，ln 0x a e e -ln 0x a e e -，、()()0,h x h x 单调递增；所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =-；当ln x a =时()h x 取得极小值极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =-+综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-上单调递减，在()0,+上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =-；当01a 调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h

31、x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =-+，极小值是()021h a =-；当1a =时，函数()h x 在(),-+上单调递增，无极值；当1a 时，函数()h x 在(),0-和()ln ,a +上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =-；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =-+（21）【2021年山东，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y

32、 E a b+=（0a b ），焦距为2 （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于A 、B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且23MC AB ，M 的半径为MC ，OS 、OT 是M 的两条切线，切点分别为S 、T ，求S O T 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率解：（1）由题意知c e a =，22c =，所以1a b =，因此椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()()1122,Ax y Bx y ，联立方程2211,2x y y k x +=得()22114210k

33、x x +-=，由题意知0，且()12122111221x x x x k +=-+，所以121AB x =-= 17 / 36 由题意知12k k =21k =，由此直线OC的方程为1y =联立方程2211,2,x y y += 得2221221181,1414k x y k k =+，因此OC = 由题意可知1sin 21SOT rOC r OCr=+，而1OC r=令2112t k =+，则()11,0,1t t，因此 1OC r =，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin 22SOT ，因此26SOT ，所以SOT 最大值为3综上所述：SOT 的最大值

34、为3，取得最大值时直线l的斜率为1k = 2021年高考全国统一考试试卷 数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1若复数z 满足2z+=32i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A 1+2i B 12i C 1+2i D 12i解：复数z 满足2z+=32i ， 设z=a+bi ，可得：2a+2bi+a bi=32i 解得a=1，b=2 z=12i 故选：B 2设集合A=y|y=2x ，x R，B=x|x 210，则A B=（ ） A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （0，+）解：A=y|y=2x，x R

35、=（0，+），B=x|x 210=（1，1），AB=（0，+）（1，1）=（1，+）故选：C3某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56 B60 C120 D140解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7200=140，故选：D4若变量x，y满足，则

36、x2+y2的最大值是（）A4 B9 C10 D12解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），C（0，2），|OA|OC|，联立，解得B（3，1），x2+y2的最大值是10故选：C5一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）18 / 36A+B+C+D1+解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=故R=，故半球的体积为：=，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+，故选：C6已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面

37、相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交”时，“平面和平面相交”成立，当“平面和平面相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选：A7函数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx）的最小正周期是（）ABC D2解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx）=2sin（x+）2cos（x+）=2sin（2x+），T=，故选：B8已知非零向量，满足4|=3|，cos，=若（t+），则实数t的值为（）A4 B4 CD19 / 36解：4|=3|，co

38、s，=，（t+），（t+）=t+2=t|+|2=（）|2=0，解得：t=4，故选：B9已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2 B1 C0 D2解：当x时，f（x+）=f（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D10若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质

39、的是（）Ay=sinx By=lnx Cy=e x Dy=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y=0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y=e x0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y=3x20恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为20 / 3621 / 36 解：输入的a ，b 的值分别为0和9，i=1第一次执行循环

40、体后：a=1，b=8，不满足条件a b ，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a b ，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a b ，故输出的i 值为：3，故答案为：312若（ax 2+）5的展开式中x 5的系数是80，则实数a= 解：（ax 2+）5的展开式的通项公式T r+1=（ax 2）5r =a 5r ， 令10=5，解得r=2 （ax 2+）5的展开式中x 5的系数是80 a 3=80，得a=213已知双曲线E ：=1（a 0，b 0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离

41、心率是解：令x=c ，代入双曲线的方程可得y=b =，由题意可设A （c ，），B （c ，），C （c ，），D （c ，）， 由2|AB|=3|BC|，可得2=32c ，即为2b 2=3ac ， 由b 2=c 2a 2，e=，可得2e 23e 2=0，22 / 36解得e=2（负的舍去）故答案为：2 14在1，1上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆（x 5）2+y 2=9相交”发生的概率为解：圆（x 5）2+y 2=9的圆心为（5，0），半径为3圆心到直线y=kx 的距离为，要使直线y=kx 与圆（x 5）2+y 2=9相交，则3，解得k 在区间1，1上随机取一个数k ，使直线

42、y=kx 与圆（x 5）2+y 2=9相交相交的概率为=故答案为： 15已知函数f （x ）=，其中m 0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m的取值范围是解：当m 0时，函数f （x ）=的图象如下： x m 时，f （x ）=x 22mx+4m=（x m ）2+4m m 24m m 2，y 要使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，必须4m m 2m （m 0），即m 23m （m 0），解得m 3，m 的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

43、2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值解：（）证明：由得：；两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；，带入（1）得：；a+b=2c；（）a+b=2c；（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c22ab，且4c24ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b0；由余弦定理，=；cosC的最小值为17在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线（I）已知G，H分别

44、为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角FBCA的余弦值23 / 36证明：（）取FC中点Q，连结GQ、QH，G、H为EC、FB的中点，GQ，QH，又EF BO，GQ BO，平面GQH平面ABC，GH面GQH，GH平面ABC解：（）AB=BC，BOAC，又OO面ABC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），O（0，0，3），F（0，3），=（2，3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，

45、即，取x0=1，则=（1，1，），cos，=二面角FBCA的平面角是锐角，24 / 36二面角FBCA的余弦值为18已知数列a n的前n项和S n=3n2+8n，b n是等差数列，且a n=b n+b n+1（）求数列b n的通项公式；（）令c n=，求数列c n的前n项和T n解：（）S n=3n2+8n，n2时，a n=S nS n1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，a n=6n+5；a n=b n+b n+1，a n1=b n1+b n，a na n1=b n+1b n12d=6，d=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，b1=4，b n=4+3（n1）=3n+1；（）c n=6

46、（n+1）2n，T n=622+322+（n+1）2n，2T n=6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得T n=622+22+23+2n（n+1）2n+1=12+66（n+1）2n+1=（6n）2n+1=3n2n+2，T n=3n2n+219甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概

47、率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=+=+ =，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，25 / 36则P（X=0）=，P（X=1）=2+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=2=，P（X=4）=2+=P（X=6）=0 1 2 3 4 6数学期望EX=0+1+2+3+4+6=20已知f（x）=a（xlnx）+，aR（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立（

48、）解：由f（x）=a（xlnx）+，得f（x）=a（1）+=（x0）若a0，则ax220恒成立，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；当a0，若0a2，当x（0，1）和（，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，）时，f（x）0，f（x）为减函数；若a=2，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上为增函数；若a2，当x（0，）和（1，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，26 / 36当x（，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；（）解：a=1，令F（x）=f（x）f（x）=xlnx1=xlnx+e x1+x，xln（1+x），e x1x，则x1lnx，F（x）=令（x）=，则（x）=（x1，2）