《计算机数值方法教学课件》数值计算方法绪论.ppt

1、空天工程中的数值计算方法,任课教员： 雷勇军 李洁 罗振兵 联系电话：76452（军线） Email: lijiegfkd.mtn 办公室： 航天学院C-215,基本内容,针对航空航天领域涉及的多种数值计算方法，参考MIT课程Computational Methods in Aerospace Engineering内容设置。课程内容非常丰富。包括线性方程组数值解法、常微分方程数值解法、偏微分方程的数学性质、有限差分法、有限元法、概率仿真技术等。,授课内容安排,第一章 线性代数方程组数值解法 第二章 常微分方程数值解法 第三章 偏微分方程的数学性质 第四章 有限差分法

2、的基本概念 第五章 线性偏微分方程的有限差分法 第六章 流体力学控制方程的有限差分法,教材I,计算机数值方法.施吉林,刘淑珍,陈桂芝 编. 高等教育出版社,第三版,2009.,教材II,计算流体力学基础及其应用John D. Anderson 著，吴颂平 刘赵淼 译. 机械工业出版社，2007.,与教材对应的内容安排,第一章 线性代数方程组数值解法（教材I第2、6章） 第二章 常微分方程数值解法（教材I第5章） 第三章 偏微分方程的数学性质（教材II第3章） 第四章 有限差分法的基本概念（教材II第4章） 第五章 线性偏微分方程的有限差分法（教材II第6章） 第六章 流体力学控制方程的有限差分

3、法（教材II第2、5、9章）,教材I的参考书目,1 计算方法引论,徐萃薇.高等教育出版社,1985. 2 数值分析,李庆扬,王能超,易大义.华中理工大学出版社, 1986 3 Numerical Analysis , Richard L. Burden, J. Douglas Faires.高等教育出版社，第七版.,教材I的参考书目,4 计算方法典型例题与解法. 高培旺,雷勇军. 国防科技大学出版社,2003. 5 计算方法典型题分析解集. 封建湖,车刚明.西北工业大学出版社, 1998.,预修课程：高等数学、线性代数、空气动力学、 计算机程序设计。 要求：前6次上课带计算器。 作 业：每章作

4、业交一次。 考试成绩：考试笔试70分编程大作业30分。,学习要求,10,绪 论,1 概述 2 数值计算的误差 3 误差定性分析,2.1 误差的来源与分类 2.2 误差基本概念,3.1 病态问题与条件数 3.2 计算方法的数值稳定性 3.3 避免误差危害的若干原则,1概述,计算方法是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值方法。具体说就是 ： 第一，面向计算机; 第二，要有可靠的理论分析; 第三，要有良好的复杂性及数值试验。,时间复杂性,秦九韶算法， 1247年（Horner算法，1819）,令：,一个n维的对角线矩阵，其元素为4字节整型数据：,空间复杂性,按行列顺序存放

5、，需要n24字节的存储空间； 如果只存储对角线，需要n4字节。,研究 对象,测量 数据,结果,数学模型的建立,计算方法 的构成,现 实 世 界,数值运算 的执行,模型 误差,测量 误差,方法 误差,舍入 误差,2数值计算的误差,2.1 误差的来源与分类,(1) 模型误差 (Model Error) 用数学模型描述实际问题时，往往只抓住本质的、起主导作用的方面，而忽略非本质的次要因素，将问题理想化（简化与近似）之后才进行数学概括。 这种概括一方面能很好地反映客观规律，另一方面也存在误差。我们把数学模型与实际问题之间的误差称为模型误差。,若自由落体在时间t的实际下落距离为： 则 就是模型误差。,例

6、1：自由落体问题。我们用,来描述自由落体下落时，距离与时间的关系。,(2) 观测误差 (Observation Error) 由于仪器的精度、试验手段、环境变化，以及人的工作状态和能力等因素的影响，而使测量数据带有误差。把这种因测量因素而引起的原始数据的不准确称为 观测误差（测量误差）。,例如在测量物体长度和温度等物理量时，均会存在观测误差（测量误差）。,在例1公式 中， 包含有观测误差。,g, t 都,例2：用带毫米刻度的直尺测量某正方形的边长。,如图示，则该正方形的边长为 cm。误差小于 cm.,2.74,0.05,(3) 方法误差（Truncation Error）,在解决实际问题时，数

7、学模型往往很复杂，因而不易获得解析解。这就需要建一套行之有效的近似方法或数值方法。模型准确解与数值方法的准确解之间的误差称为 “方法误差”。 很多时候是用有限过程代替数学模型无限过程时所产生的误差，所以也叫 “截断误差”。,例3：利用收敛无穷级数的部分和作为无穷级数sin(x)的逼近，这样就会产生截断误差。,具体计算时，只能取有限项计算，如取前10项，则有,方法（截断）误差为：,(4) 舍入误差（Round-off Error）,由于计算机的字长有限，在计算机上运算时只能用有限位数字进行运算引起的误差称为“舍入误差”； 例4: 设一台计算机仅能表示6位十进制,则在该计算机上的表示为3.1415

8、9，从而产生误差：,本课程主要讨论方法误差和舍入误差。,2.2 误差基本概念,定义2.1 设x 为准确值, x* 为x 的一个近似值,称E(x*)= x*-x 为近似值x* 的绝对误差(absolute error)，简称误差(error)，且可简记为 E 。,(x*) 就叫做近似值x* 的绝对误差限（absolute Error Bound），简称误差限（Error Bound）,若误差满足：,问题：误差限唯一么？,定义2.2 近似值x*的误差与准确值x的比值，称为相对误差(relative error) ,记为Er(x*)，即,相对误差绝对值的任一上界r(x*)，称为相对误差限（ Rela

9、tive Error Bound ），简记为r，即,真值往往是未知数，可以用x*近似,定义2.3 如果近似值x*的误差的绝对值不超过其一位上的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，则称用x*近似x 时具有n 位有效数字，简称x*有n 位有效数字。,特别提示：如果x*是用四舍五入法取准确值x的近似值，且x*从左边第一个不为零起共有n位数字，则x*有n位有效数字。,3误差定性分析,3.1病态问题与条件数,对一个数值问题，往往由于问题本身的某些性质使得当输入数据有微小扰动时，引起计算结果的相对误差很大，这种问题就是病态问题。,注意： 一个问题是否病态，可用它的条件数大小来判断，条件数越大病

10、态越严重。 一个问题是否病态是由问题的性质决定的，与算法无关。,函数f(x)的条件数,从而定义,当x有微小扰动x时，条件数cond(f(x)为f(x)的相对误差和x的相对误差之比：,病态方程组,a=1，系数矩阵奇异，无解。,a1，病态方程组。,例5：求解方程组,如：当a= 0.99 时，x = 50.25; 当a= 0.991 时，x = 55.81;,x的条件数是:,当 时，,在计算中初始数据的误差将会传播，有时会影响结果可靠性。,定义3.1一个算法如果原始数据有扰动(即误差)，而计算过程舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的。否则，若误差增长则称算法不稳定。,3.2计算方法的数值稳定性,(1) 避免用绝对值很小的数作除数和绝对值大的数作乘数。 (2) 避免两个相近数相减，以免有效数字损失。 (3) 注意运算次序，防止大数“吃掉”小数，如多个数相加减，应按绝对值由小到大的次序运算。 (4) 简化计算步骤，尽量减少运算次