实数和向量的积

1、实数和向量的积【基础知识精讲】1. 实数与向量的积的定义实数入与向量a的积是一个向量，记入 a，它的长度与方向规定如下:丨入a丨=丨入|当入0时，入a的方向与a的方向相同；当入v 0时，入a的方向 与a的方向相反；当入=0时，入a =0 ,方向是任意的2. 实数和向量的积的运算律设入、为实数，那么：(1)入(卩a)=入卩a(2)(入 + 卩)a = a + 口 a(3)入(a + b )=入 a + 入 b3. 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得 b = 入a.4. 平面向量基本定理I如果e , e2，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的 任

2、一向量a，有且只有一对实数入1,入2使：a =入 i q + 入 2e2其中不共线的向量 ei , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向 量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算， 也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性 组合.【重点难点解析】只是实数与向1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似, 量相乘的分配律有两种不同形式(入+卩)a = a + 口 a和入(a + b)=入a +入b ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向

3、量的模相等的同时，方向也必须相同2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件例 1 化简(4 a -3 b )+ b-(6 a -7 b ):=.334例2 设a , b是不共线的两个向量，已知AB=2a+kb , BC=a+b,CD = a -2 b，若A B、D三点共线，求k的值.例4 已知口ABCD E、F分别是DC和AB的中点，判断 AE、CF是否平行？分析：要判断AE、CF是否平行，就是判断AE能否用CF表示出来.解：设AB = a, AD =b因为E、F分别是DC和 AB的中点 1 1 1 所以 DE = DC = AB =丄 a2 2 2例5 求向量x, y :f r

4、r 【难题巧解点拔】例1 设M为 ABC的重心，证明对任意一点 0,有 1 一0M =一( OA + OB +OC )3BD例2 如图，已知在厶 ABC中，D是BC上的一点，且=入.DC试证:AD=ABABn R,例3 若O A、B三点不共线，已知 OP =m- OA+n - OB ,m - 且m+n=1,那么P点位置如何？请说明理由.例4求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形 的一条对角线（如图）【典型热点考题】ABCD例 1 若 AB =3 , CD =-5 e,且 | AD | = | BC | ,则四边形 是（）A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰的梯形例2已知入，u R,则在以下各命题中，正确的命题共有（）入V o,a丰0时，入a与a的方向一疋相反入0,a丰0时，入a与a的方向一定相冋入工0,a工0时，入a与a是共线向量*fe-入 u0,a丰0时,入a与ua的方向定相冋入 u V 0,a丰0时,入a与ua的方向定相反A.2个 B.3个C.4个 D.5个例 3 梯形 ABCD AB/ CD 且 | A