2021年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)

1、2021年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)2021年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知A x N ?|x 3，B x|x 2?4x 0，则A B （ ） A.1,?2,?3 B.1,?2 C.(0,?3 D.(3,?4 【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】先求出集合A ，解一元二次不等式x 2?4x 0解出集合B ，从而求出A B 【解答】由题意得：A x N ?|x 31,?2,?3，B x|x 2?4x 0x|0x 4， 所以A B 1,?2,?3，2. 若b bB.ab a

2、 2C.|a|+|b|a +b|D.a 3b 3【答案】 C【考点】 不等式的概念 【解析】利用不等式的基本性质、特殊值法即可得出 【解答】 b b ，ab a 2，由函数y =x 3在R 上单调递增，可得：b 3设a ?2，b ?1时，|a|+|b|a +b|与C 矛盾 因此只有C 错误3. 下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）A.f(x)x 2B.f(x)=xC.f(x)ln|x|D.f(x)e 2x 【答案】 D【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】分别结合函数的定义域及函数的单调性分别对选项进行判断即可 【解答】由f(x)=x 的定义域为0,?+)，不符合题意， C

3、 ：函数的定义域x 0，不符合题意，A:y x 2在(?,?0单调递减，在0,?+)单调递增，不符合题意，4. 等差数列a n的前n项和为S n，若a32，S33，则a6（）A.4B.5C.10D.15【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6【解答】由题意得a3=a1+2d=2S3=3a1+322d=3，解得a10，d1，a6a1+5d55. 已知函数f(x)=2x2x?1，若f(?m)2，则f(m)（）A.?2B.?1C.0D.12【答案】B【考点】函数的求值求函数的值【解析】推导出f(?x)+f(x)1，由此

4、利用f(?m)2，能求出f(m)的值【解答】f(x)=2x2x?1，f(?x)+f(x)=2?x2?x?1+2x2x?1=11?2x+2x2x?1=1，f(?m)2，f(m)?16. 已知命题p：函数y=2sinx+sinx,x(0,)的最小值为22；命题q：若向量a，b，满足a?b=b?c，则a=c下列正确的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】由基本不等式成立的条件知，可求得函数y=2sinx+sinx,x(0,)的最小值不为22，可判断命题p的真假；由向量的数量积没有约去律，可判断命题q的真假，再由复合命题真假表判断正误即可【解答】由题意得：

5、命题p ：函数y =2sinx +sinx,x (0,)，由基本不等式成立的条件，y 22sinx ?sinx =22，知等号取不到，所以p 命题是假的；命题q ：若向量a ，b ，满足a ?b =b ?c ， b ?(a ?c )=0，b ，a ?c 有可能是零向量或者b (a ?c )，所以q 是错误的 p q ，p q ，p q ，是假命题，p q 为真命题；7. 若a =(13)0.6，b 3?0.8，c ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b c a B.c a b C.c b a D.a c b【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】由指数函数y =(13)x 在

6、R 上单调递减，可得a ，b 大小关系，再利用对数函数的单调性可得：c ln3(1,?2)，即可得出大小关系 【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b 3?0.8=(13)0.8， 1a b c ln3(1,?2) c a b 8. 已知x ，y 满足线性约束条件2x ?y 0x ?y +10x +y ?10 ，则z 2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.13【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数z 2x +y 的几何意义，利用数形结合即可的得到结论 【解答】先根据x ，y 满足线性约束条件2x

7、?y 0x ?y +10x +y ?10画出可行域，平移直线02x +y ，当直线z 2x +y 过点B(0,?1)时，z 取最小值为19. 设函数f(x)ae x ?lnx （其中常数a 0）的图象在点（1,?f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae ?1 D.1?2aeA【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到f(1)，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式求切线l，取x 0求解l在y轴上的截距【解答】由f(x)ae x?lnx，得f(x)=ae x?1x，f(1)ae?1，又x1时，f(1)ae，f(x)在点（1,?f

8、(1)）处的切线方程为y?(ae)(ae?1)(x?1)，取x0，得在y轴上截距y(ae?1)(0?1)+ae1故选：A10. 某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶设每桶水的价格为(6+ x)元，公司日利润y元，

9、则y(6+x?5)(480?40x)?200，整理后利用二次函数求最值【解答】根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶设每桶水的价格为(6+x)元，公司日利润y元，则：y(6+x?5)(480?40x)?200，?40x2+440x+280(0?40当x5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，11. 函数f(x)=sin(x+6)(0)在(?2,2)上单调递增，且图象关于x?对称，则的值为（）A.2 3B.53C.2D.83【答案】A【考点】正弦函数的图象根据函数递增，求出x 的范围，根据题意，求出的范围，再根据图象关于x ?对称，确定出 【解答】

10、要使函数f(x)=sin(wx +6)(w 0)的递增，则?2+2kx +62+2k(k Z)，化简得：?23+2kx 3+2k(k Z)，已知在(?2,2)单增，所以?23?232. ,?03又因为图象关于x ?对称，x +6=2+k(k Z)，所以=?13?k ， 因为0，此时k ?1，所以=23，12. 在ABC 中，角A 为3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =23，且AB =AD ?13AC (R)，则AB 在AD 方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.332【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据B ，C ，D 三点共线求出，建系计算B

11、 ，C 两点坐标，得出AB ，再计算投影即可 【解答】由AB =AD ?13AC 可得：AD =AB +13AC ， B ，C ，D 三点共线，故+13=1，即=23 AD =23AB +13AC 以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3,?3)， 设B(m,?0)，C(n,?3n)，由AD =23AB +13AC 得：3=23m +13n 3=33n ，解得m 3，n 3 故B(3,?0)， AB 在AD 上的投影为|AB|cos30=332二、选择题：本大题共4小题，每小题5分共20分 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)f(x +2)，当x 0,?2时

12、，f(x)e x ，则f(7)_ 【答案】e【考点】函数的求值 求函数的值 【解析】求出周期T 2，利用当x 0,?2时，f(x)e x ，f(7)f(1)，能求出结果 【解答】因为f(x)f(x +2)，周期T 2， 当x 0,?2时，f(x)e x ， f(7)f(1)e 故答案为：e 已知向量a =(?2,?2)，向量b 的模为1，且|a ?2b |2，则a 与b 的夹角为_【答案】 4【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】由题意利用两个平面向量的数量积的定义，求得a 与b 的夹角的余弦值，可得a 与b 的夹角 【解答】由已知得：|a |22，|b |1，|a ?2b |2，a 2?

13、4a ?b +4b 24， 设a 与b 的夹角为，0,?，a ?b =222?1?cos， cos=22，=4， 2021年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为_（结果保留根号） 【答案】 7233【考点】 解三角形 【解析】

14、先根据已知条件在ABC中求出BC，再在直角BD1?C中利用正切即可求出结论【解答】如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，ABD60，CBD75；AC722；ABC135；BAC30；在ABC中，BCsinBAC =ACsinABC?BCsin30=722sin135?BC=7221222=72如图D1C平面ABC，在直角BD1?C中，tanD1?BC=D1CBC =?BC?BC?tanD1?BC72tan30=7233若函数f(x)x2+x+1?ae x有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为_1或_3e【答案】0【考点】函数零点的判定定理【解析】先令函数等于零，剥离参数，求交点【解答】当x(

15、0,?1)时，g(x)0，g(x)单调递增（1）当x(1,?+)时，g(x)调递减（2）且g(0)1，g(1)=3e，g(x)0，大致图象如图：可知03e故答案为：03e三、填空题：共70分已知函数f(x)(cosx?sinx)2?2sin2x（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x0)?1，且x0(?,?2)，求x0的值【答案】函数f(x)(cosx?sinx)2?2sin2x1?2sinxcosx?2?1?cos2x2cos2x?sin2x=2cos(2x+4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=22=，又函数ycosx的单调减区间为2k,?2k+，kZ；令2k2x+

16、42k+，kZ；解得k?8xk+38，kZ；所以f(x)的单调递减区间为k?8,?k+38，kZ；若f(x0)?1，则2cos(2x0+4)?1，即cos(2x0+4)=?22，再由x0(?,?2)，可得2x0+4(?74,?34)；所以2x0+4=?54，解得x0=?34【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】（1）化函数f(x)余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出f(x)的最小正周期和单调减区间；（2）由三角函数值求角，要注意角的取值范围【解答】函数f(x)(cosx?sinx)2?2sin2x1?2sinxcosx?2?1?cos2x2cos2x?sin2x=

17、2cos(2x+4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=22=，又函数ycosx的单调减区间为2k,?2k+，kZ；令2k2x+42k+，kZ；解得k?8xk+38，kZ；所以f(x)的单调递减区间为k?8,?k+38，kZ；若f(x0)?1，则2cos(2x0+4)?1，即cos(2x0+4)=?22，再由x0(?,?2)，可得2x0+4(?74,?34)；所以2x0+4=?54，解得x0=?34已知数列a n满足a n+2+a n=2a n+1,nN?，且a11，a47，数列b n的前n项和S n=2n+1?2（1）求数列a nb n的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求

18、数列c n的前n项和T n【答案】数列a n满足a n+2+a n=2a n+1,nN?，可得a n+2?a n+1a n+1?a n，即a n为等差数列，a11，a47，可得公差d=a4?a14?1=2，则a n1+2(n?1)2n?1；数列b n的前n项和S n=2n+1?2，可得b1S14?22；n2时，b nS n?S n?12n+1?2?2n+22n，则b n2n，nN?；c n=2a n+log2b n=22n?1+n，则前n项和T n(2+8+.+22n?1)+(1+2+.+n)=2(1?4n)1?4+12n(n+1)=23(4n?1)+12(n2+n)【考点】数列递推式数列的求

19、和【解析】（1）由题意可得a n+2?a n+1a n+1?a n，即a n为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差d，进而得到所求通项公式；由数列的递推式：b1S1，n2时，b nS n?S n?1，化简可得所求通项公式；（2）求得c n=2a n+log2b n=22n?1+n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】数列a n满足a n+2+a n=2a n+1,nN?，可得a n+2?a n+1a n+1?a n，即a n为等差数列，a11，a47，可得公差d=a4?a14?1=2，则a n1+2(n?1)2n?1；数列b n的前n项和S n=2n+

20、1?2，可得b1S14?22；n2时，b nS n?S n?12n+1?2?2n+22n，则b n2n，nN?；c n=2a n+log2b n=22n?1+n，则前n项和T n(2+8+.+22n?1)+(1+2+.+n)=2(1?4n)1?4+12n(n+1)=23(4n?1)+12(n2+n)已知ABC中三个内角A，B，C满足2cosB=sin(A+C)+1（1）求sinB；（2）若C?A=2，b是角B的对边，b=3，求ABC的面积【答案】2cosB=sin(A+C)+1sin(A+C)sinB，2cosBsinB+1，又sin2B+cos2B1，化为：3sin2B+2sinB?10，1

21、sinB0联立解得sinB=13C?A=2，又A+B+C，可得：2A=2?B，C为钝角sin2AcosB又b=3，asinA =csinC=313=33，a33sinA，c33sinC，B为锐角，cosB=223ABC的面积S=12acsinB=1233sinA33sinC13=92sinAsin(2+A)=9 2sinAcosA=94sin2A=94cosB=94223=322ABC的面积S为322【考点】正弦定理【解析】（1）由2cosB=sin(A+C)+1sin(A+C)sinB，2cosBsinB+1，又sin2B+ cos2B1，化简解出（2）C?A=2，又A+B+C，可得：2A=

22、2?B，C为钝角可得sin2AcosB又b=3，利用正弦定理可得：a33sinA，c33sinC，代入ABC的面积S=12acsinB，进而得出结论【解答】2cosB=sin(A+C)+1sin(A+C)sinB，2cosBsinB+1，又sin2B+cos2B1，化为：3sin2B+2sinB?10，1sinB0联立解得sinB=13C?A=2，又A+B+C，可得：2A=2?B，C为钝角sin2AcosB又b=3，asinA =csinC=313=33，a33sinA，c33sinC，B为锐角，cosB=223ABC的面积S=12acsinB=1233sinA33sinC13=92sinAs

23、in(2+A)=9 2sinAcosA=94sin2A=94cosB=94223=322ABC的面积S为322已知函数f(x)=13x3+12(1?a)x2?ax+2(aR)（1）当a1时，求函数f(x)的极值；（2）是否存在实数a，使得函数f(x)在区间1,?2上的最大值是2，若存在，求出a的值；不存在，请说明理由【答案】f(x)(x?a)(x+1)，当a1时，f(x)在1,?2单调递增，f(x)f(2)=203?4a=2，解得a=76()当1f(x)最大值为f或f(1)，由f(1)=176?3a2=2,a=59()，由f(2)=2a=76当a2时，f(x)在1,?2单调递减，f(x)f(1

24、)=176?3a2=2，解得a=59()综上所述：a=76【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）对f(x)求导，分析f(x)的增减性，从而确定极值；（2）分析函数在1,?2上的增减性，确定出取得最值的点，从而求出a值【解答】f(x)(x?a)(x+1)，当a1时，f(x)在1,?2单调递增，f(x)f(2)=203?4a=2，解得a=76()当1f(x)最大值为f或f(1)，由f(1)=176?3a2=2,a=59()，由f(2)=2a=76当a2时，f(x)在1,?2单调递减，f(x)f(1)=176?3a2=2，解得a=59()综上所述：a=76已知函数f(x)

25、e x?ax2，aR，x(0,?+)（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的极大值为M，求证：12【答案】f(x)e x?ax2，x(0,?+)f(x)e x?2ax2x(e x2x?a)，设g(x)=e x2x，x(0,?+)，则f(x)2x?g(x)?a，且g(x)=e x(x?1)2x2，x(0,?+)，e x0，2x20，当x(1,?+)时，且g(x)0，g(x)单调递增，当x(0,?1)时，且g(x)g(x)ming(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，当a12e时，f(x)0在(0,?+)上单调递增，没有极值，不符合题意，当a12e时，直线ya

26、与yg(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且012e，Mf(x1)=e x1?ax12，因为a=e x12x1，所以M=e x1?x1e x12=e x1(1?12x1)，令?(x)=e x(1?12x)，x(0,?1)，则?(x)$ $= , $dfrac12e$x(1, -, x)$又$h(0)$1$，$h(1) = dfrac12e$，故$h(x) in (1,dfrac12e)$，即$1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的a的范围，（2）结合（1）的讨论可知Mf(x1)=e x1?ax

27、12，构造函数，结合函数的单调性可求M的取值范围，即可证明【解答】f(x)e x?ax2，x(0,?+)f(x)e x?2ax2x(e x2x?a)，设g(x)=e x2x，x(0,?+)，则f(x)2x?g(x)?a，且g(x)=e x(x?1)2x2，x(0,?+)，e x0，2x20，当x(1,?+)时，且g(x)0，g(x)单调递增，当x(0,?1)时，且g(x)g(x)ming(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，当a12e时，f(x)0在(0,?+)上单调递增，没有极值，不符合题意，当a12e时，直线ya与yg(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0当0

28、故函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，综上可得，a的范围(12e,+)，结合（1），若f(x)的极大值为M，则a12e，Mf(x1)=e x1?ax12，因为a=e x12x1，所以M=e x1?x1e x12=e x1(1?12x1)，令?(x)=e x(1?12x)，x(0,?1)，则?(x)$ $= , $dfrac12e$x(1, -, x)$又$h(0)$1$，$h(1) = dfrac12e$，故$h(x) in (1,dfrac12e)$，即$1（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=cos+3sin,y=sin?3cos（为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程cos(?6)=3（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程； （2）设射线OM:=3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长 【答案】由x =cos+3siny =sin?3cos，两边平方作和得， x 2+y 2=(cos+3sin)2