概率论与数理统计：第2章 离散型随机变量及其分布2

1、2.4 二维随机变量及其分布 如果每个样本点与一对有序实数之间有某种一一对应关系，那么就是二维随机向量。如果每个样本点与一组(含n个)有序实数之间有某种对应关系，那么就是n维随机向量。 本节主要讨论二维随机向量取值的统计规律性(即分布)。对于n维随机向量，这些内容同样适用。,一、联合概率函数 定义2.2 给定一个随机试验， 是它的样本空间，如果对 中的每一个样本点 ，有一对有序实数 与它对应，那么就把这样一个定义域为 ，取值为有序实数 的变量称为二维随机变(向)量。 如果一个二维随机变量只可能取有限个或可列无限个向量值(即它的值域是一个二维有限集或可列无限集)，那么我们便称这个随机变量为(二维

2、)离散型随机变量。,定义2.3 假定 的值域为 我们称 为二维随机变量 的概率函数(或分布律，或概率分布)，或者称它为随机变量X与Y的联合概率函数(或联合分布律，或联合概率分布)。,易见， 应该满足下列两个条件： (i) ； (ii) 的联合概率函数常用下列表格来表示：,例1 一个口袋中装有5只球，其中4只是红球，1只是白球。采用无放回抽样，接连摸两次。设 ，第一次摸到红球， ，第一次摸到白球， ，第二次摸到红球， ，第二次摸到白球。 试求：（1）X与Y的联合概率函数； （2） 。,解 （1）由概率的乘法公式： 因此，X与Y的联合概率函数见下表,(2)由于事件 因此 如果采用有放回抽样，那么X

3、与Y的联合概率函数见下表：,例2 一个口袋中装有4只球，它们依次标有数字1，1，2，3。采用无放回抽样，接连摸两次。设X、Y表示第一次、第二次摸到的球上标有的数字，试求： （1）X与Y的联合概率函数； （2） 。 解由题意可知，X、Y的可能取值都为1，2，3；且有,同理可得,所以，X与Y的联合概率函数为,二、边缘概率函数 设 的概率函数为 X的值域为 。按概率的可加性： 因此，X的概率函数为,称这个概率函数为X的边缘概率函数(或边缘分布律，或边缘概率分布)。 类似地，Y的值域为 。按概率的可加性,因此，Y的概率函数为 称这个概率函数为Y的边缘概率函数(或边缘分布律，或边缘概率分布)。 例1续

4、前面我们有X与Y的联合概率函数。于是可得X与Y的边缘概率函数分别是,顺便指出X与Y虽然概率函数相同(称为X与Y同分布)，但它们是意义不同的随机变量，不能由此误认为“X=Y”，随机事件 的概率为 如果采用有放回抽样，类似地可以得到X与Y同分布，它们的边缘概率函数与无放回抽样情形下的边缘概率函数是一样的。这表明边缘概率函数不能唯一确定联合概率函数。但联合概率函数却唯一确定了边缘概率函数。,例2 设二维随机变量 的概率函数如下表，已知 。试求常数 的值。 解 由 及 求得 。,例2 设随机变量 的概率函数为 且满足 ，试求 （1） 联合概率函数 （2）概率,解 （1）由已知条件可得 （2）概率,2.

5、5 随机变量的独立性与条件分布 二维随机变量(X,Y) 不是两个随机变量X与Y的简单组合，而应把它们看作一个整体，它们与同一个样本点 对应。二维随机变量的概率函数不仅说明了作为一维随机变量X、Y取值的统计规律性(边缘分布)，而且还蕴含着X与Y之间的统计联系。这方面的内容便是本节讨论的主题。,一、随机变量的独立性 定义2.3 设随机变量X,Y的联合概率函数为 如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积，即 对一切 那么就称随机变量X与Y相互独立。,定理2.2 随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是，对实数轴上任意两个集合 ，总有 定义2.4 如果随机变量 的联合概率函数恰为n个边缘概率函数的乘积

6、，即对 的值域中任意一个值 ，总有 那么就称这n个随机变量 相互独立。,从直观上不难看出，当 相互独立时，这n个随机变量中的任意 个也是相互独立的 。特别地， n个随机变量相互独立保证它们两两独立。,二、条件概率函数 定义2.5 设随机变量 的概率函数为 对任意一个固定的 称 为已知 发生条件下X（记作“ ”）的条件概率函数(或条件分布律，或条件概率分布)。,类似地，对任意一个固定的 ，称 为已知 发生条件下X(记作“ ”)的条件概率函数(或条件分布律，或条件概率分布)。 这里要注意的是当X与Y相互独立时，立刻可推得： 对一切的 都成立，此时，任一条件概率函数都与其边缘概率函数相同。,例3 设随机向量 的联合概率函数为 试求：(1) 已知事件Y=1发生时X的条件概率函数； (2) 已知事件X=2发生时Y的条件概率函数。,解： 按条件概率函数的定义，得到 （1）所求的X的条件概率函数(其中)为 （2）所求的Y的条件概率函数(其中 )为,例5 已知运载火箭在飞行中，进入它的仪器舱的宇宙粒子数 服从参数为 的泊松分布，