圆锥曲线专题

1、圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试卷关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值ce =-ab：;双曲线中e仝二aa在椭圆或双曲线中，如果能求出 a、c的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到a、c的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中所以只要求出b值即可求离心率.a=1 a 0, b 0相交于2例1. ( 2010年全国卷2)己知斜率为1的直线丨与双曲线C :务aB、D两点，且BD的中点为M(1,3)，求曲线C的离心率.解读：如图，设 B(x1，yj、D(x2, y2)，则22X2_2ab2b2-整理得(X1 -X2)(X1 X2)

2、(y1 -y2)(y1 y2)=0又因为M(1,3)为BD的中点，贝U X1 x 2, Y16，且x= X2，代入得寻=1，解得,3，所以-X -X21 b2 = . 1 3 = 2.方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与-的关系，解得 企的值，从而整体代入求出a-根据韦达定理可得Xi x (a,b)，离心率e.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程,(a,b) =2或者y1(a,b)，(a,b)=6从而解出 的值，最后求得离心率.a【同类题型强化训练】1. (呼市二中模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为 2x_3y = 0,则双曲线的离心率为()AB.卫C.兰D.旦32

3、322. (衡水中学模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆(x-2)2 (y-1)2=r2交于1A、B两点，AB恰是该圆的直径，且直线 AB的斜率k =-,求椭圆的离心率.223. (母题)已知双曲线C： -y2 =1(m 0)，双曲线上一动点P到两条渐近线的距离乘积为m-，求曲线C的离心率.2【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在X上，则渐近线方程bx_ay=0,又题设条件中的渐近线方程为K2x -3y =0，比较可得一a2 22. 答案：设椭圆方程为 笃每=1(a b 0)，AgyJBgy?),则a b-整理得(x1 -X2)(X1 X2)(yY2)(Y1 V2 0a2b2因为A

4、B恰是该圆的直径，故 AB的中点为圆心(2,1)，且为=X22为 _x2a2b22 则x1 X2 =4,y1 y2，代入式整理得k = %*直线AB的斜率k =一1，所以k = -22a所以离心率“a十”产厂23.答案：曲线C的渐近线方程分别为h : x my = 0和L ：x - my = 0 ,设P（x。，y。），则点P（x,y。）到直线I,的距离d1二X。十 Jmy。、.1m点P（xo, yo）到直线I?的距离d2X。_Jmy。di d2 二&、my。X。my。因为p（xo,yo）在曲线C上，所以对-诚呵，故d13旦冷，解得心 所以e二2.策略二：构造a,c的关系式求离心率根据题设条件，

5、借助a,b,c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐次式），进而得到 关于e的一元方程，从而解方程得出离心率 e.2 2例2.已知RE是双曲线 笃-每=1（a 0,b 0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形a bMF1F2，若边MR的中点P在双曲线上，求双曲线的离心率.解读：如图1，MF1的中点为P，则点P的横坐标为-1由 PF1 = F1F2 =C ,2焦半径公式PR = exp a有c 二-E （-） -a ,a 2即 c2 -2a2 -2ac = 0有 e2 2e-2 =0解得 e=13，或 e=1-. 3 （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于a,c的齐次式，通过齐次式结合离心率

6、的定义 e = E整理成a关于e的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：跚圆（0,1）,e双曲线（1：）.【同类题型强化训练】1. （ 2011新课标）已知直线I过双曲线C的一个焦点，且与 C的对称轴垂直，I与C交于A、B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A. .2 B. .3 C. 2D.32 22. （2008浙江）若双曲线 务-告=1的两个焦点到一条准线的距离之比为 3： 2,则双曲线的a b离心率是（）A.3B.5C. 3 D. 5【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意AB=2C-2=2a，解得e = 42 a222.答案

7、：依据题意(c y：(c-) =3:2，整理得c2 =3a2，所以e仝 一3cca策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率(第二定义)由圆锥曲线的第二定义，知离心率 e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适 用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即lMF = e.d2 2例3. (2010年辽宁卷)设椭圆C:冷爲=1(a b 0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆a bi TC相交于A, B两点，直线I的倾斜角为60 , AF =2FB ,求椭圆C的离心率.解法一：作椭圆的左准线 A B ,过A作A B 的垂线，垂足为A ；过B作BB的垂线，垂足为 B .过B作AA的垂线，垂足为M .如图2.4

8、 FMT./p图2由图，由椭圆的第二定义，则af|AFj _e二aa=-AAeBFBFi e 二BB=BBeAFBFAA:BB| =e e21二AA =2BB且BM _AA所以M是AA的中点又因为直线l的倾斜角为60，即.BAM - AFx = 60，所以在 Rt也BAM 中，AB=2AM =|AA，故e =AFAA2 ABAB解法二：设 A(x1,y1), B(x2,y2)，由题意知 % ： 0，y2 0.直线I的方程为 y二.3（xc），其中c - a? _b2 .y = .3(x c),联立x2y2得(3a2 b2)y2 23b2cy-3b4 =0 12 .2a b解得 yi3b：（c

9、22a）,y23b2（c2a）c2.23a bc2.23a b因为 AF =2FB，所以-yi =2y2.、3b2(c 2a) 2 -.3b2(c-2a)2 2 =2 2 23a b3a b得离心率a 3方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义 要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对 计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。【同类题型强化训练】1. （ 2010全国卷二）2 2已知椭圆 C :-y2 =1(a b 0)的离心率为a b-3，过右焦点2F且斜率为k（k0）的直线与C相交于A

10、 B两点.若AF = 3FB，A. 1B.C - ：.-3 D. 22.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF =2FD，则C的离心率为.【强化训练答案】3. 答案：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A、B分别作AA , BB垂直于l ， A、B 为垂足，过B作BE垂直于AA与M，如图3所示，由椭圆第二定义，则AFAAUe所以 cos. BAE -BF，由 AF = 3FB,得eAE2BFAB| 4eBF|12e3 BA_ : cos2 1 BAE-仁.2，所以k2 .故选B .2.答案：方法一：如图4，| BF h b2 c2=a.作DD y轴于

11、点D ,则由BF =2FD，得|OF| |BF|DD |BD|即xD手由椭圆的第二定义得|FDF（一汁3c2a -2a3c2又由 |BF | = 2|FD|,得 c=2a ,整理得 3c2 -2a20 .a2 两边都除以a2,得3e2飞-2 = 0,解得e = -1（舍去），或e = 2.3方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，F分线段BD所成的比为b 2y23% _b 3 0_b123312匚尹寸；0 2x2Xc 二2,b，带入94 a21匚14 b2课时2、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试卷关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：利用曲线中变量的范

12、围求离心率的范围2 2用曲线中变量的范围，在椭圆x-r yr =（ a b 0）中，一 a乞x乞a ；在双曲线中a b2 2殳-”(a o，b )中,1.设椭圆-1( a b 0)的左、右焦点分别为Fi、F2，如果椭圆上存在点使.F1PF2 =90，求离心率e的取值范围.解读：设P（x, y），又知 F1( - c,0 )，F2（c,0），则RP=(x c,y)，F2P=(x-c, y)因为.F1PF2 =90，则 F1P _ F2P，即 F1P F2P = (x c)(x-c) y2 =0所以 x2 - y2 =c2联立方程2 2x_ . y_a2 b2 ，消y，解得x2 2 2x y c2

13、 2 2 22 a c -a b 272-a - b又因为.F1PF2 =90 ，故 0 乞 x2 : a2，2 222即晋寺肯川川川解不等式，结合椭圆的离心率范围为e（0,1），可得 e-，）.2方法点拨：由题知-a”：x：a，根据限制条件用a,b,c表示x，即x=F:（a,b,c），然后代入不 等式-a ： （a,b,c） AF2a2PF2I 卩应=2c,即 2c c， c又椭圆的离心率& （0,1），综上e2. 答案：F1、F2分别为左右焦点，设P（x,y）在双曲线的右支上，则PF1 =exj +a, PF2 =exj a，3a，则 exo a =2(exo - a)解得 xo :e3a

14、因为P(xo, yo)在双曲线的右支上，则x()_ a，即一_ a，解得1 ： e _ 3.e由 |PR =2PF23.答案：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F ,即F点到P点与A点的距离相等a2b2而 FA = c = PF 引a c,a+c c cb2于是 一 a-c, a，c即c2ac -c22a -c a2 -c2 ac c2亠1a1又e (0,1)，故 e 丄,1).1 2a 2策略二:正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用M为椭圆上一点， F1MF2二60 ,则椭例1.已知F2为椭圆 仔 厶-1(a b 0)的焦点,a b圆的离心率的范围为 解读：如图，M为椭圆

15、上一点，设M(x,y)，则MF! =a+ex),MF2 =aex)在MF1F2中，由余弦定理，则cos60MFMF2TF1F22MF1 |MF2=2a联立解得x04c2 -a23e2,因为在椭圆中0氓洁，则该椭圆离心率的取值范围为2 2 0匚 _2aa 23. 椭圆 笃告=1（a b 0）的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为 M，N，若 a bMN I 2 RF2I，则该椭圆离心率的取值范围是（）A o,1 %0,d C. J1,1 IDJ，12I 22 丿2 ,【自我评价答案】1. 答案：如图，在 F1PF2中，由正弦定理，贝U，解不等式得e acsin . PF1F2 sin .

16、 PF2F13. （衡水调研卷）从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的 取值范围是3b2,4b2，则椭圆离心率的取值范围是.,1）.3e22方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用a,c表示x0，即x0二（a,c），根据变量-a乞（a, c） a解出离心率，但是此题要构成.MF1F2，故点M不能在x轴上，所以此题a（a,c） ：a结合椭圆e （0,1）的范围可求出离心率的范围.【自我评价】2 22.已知椭圆冷y2 =1（a b 0）的左右焦点分别为Fi（-c,0）、F2（c,0），若椭圆上存在点P使a b|PR|_IPF2I二 sinNPF1F2 |PF1

17、sinNPRF2 一sinPF2F sin/PFzR 一 PF2ac si n PF1F2a =* sin PF|F2sin MpF2F1sin MpF2F1c所以色=更c PF2a - ex a(ac-a ) x =a exac c，且 一 a ： x ： a，贝y2a(ac a )-a2 a,ac c解不等式得e . .、2 -1或 e”-,2 -1 (舍去)又椭圆的离心率e (0,1)，综上所述 e (,2-1,1).2 22.答案：设椭圆的标准方程为 笃爲=1(a b 0) a b在第一象限内取点(x,y)，由椭圆的参数方程知/。(。少成工) y0 = bsi n&2则椭圆的内接矩形长

18、为2acosr，宽为2bsin ，所以内接矩形面积为4abcosrsinv - 2absin2二面积的取值范围为3b2,4b2，则3b2_2absi n2n辽2ab_4b2所以3b2空2ab乞4b2，即3b空2a空4b，不等式同时平方得9b2乞4a2乞16b2，即9(a2 - c2)岂4a2乞16(a2-c2)且e仝a整理解得3.答案：D.【本课总结】对于求离心率问题常常有以下办法1.直接求出a, c，或求出，代公式e椭圆 ace双曲线-a常见的与b相关的一些题设条件:a设AB是椭圆2- 1(a b 0)的一条弦，且a bM(x0,y)为弦AB的中点，则AB所在的直线方程的斜率k -叙kAB

19、一 2则AB所在a y。的直线方程的斜率kAb2X0 ；a yo双曲线的渐近线方程y = _bx或y = _ax.ab2. 构造关于a,c的方程或不等式，利用离心率 e二E转化成关于e的一元方程或不等式求值或a求范围3. 根据圆锥曲线的第二定义（到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率）可以d求离心率的值.4. 根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到x0二（a,b,c），（ x0为曲线上的点的横坐标），再根据曲线中Xo的取值范围可求离心率的取值范围.5. 对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不 等式即可.圆锥曲线离心率家庭作业1. 若双曲线

20、x2 ky2 =1的离心率是2，贝U实数k的值是（）1 1A. -3 B. C. 3 D.-332 22. 椭圆笃占=1 （ a b 0 ）的两个焦点分别为F、F2，以R、F?为边作正三角形，若a b椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为A.B 73-1C 4(2-73)D.2 23.已知双曲线务-告（a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1, F2，若在双曲线的右支上存在a b点P，使得PF1 =3PF2，则双曲线的离心率e的取值范围为.24. 已知双曲线 笃-y2 =1 （ a 0）的一条准线与抛物线y2=6x的准线重合，则该双曲线a的离心率为（）33.623A- tb-2 c-t5

21、. 若椭圆经过原点，且焦点为 R 1,0、F2 3,0，则其离心率为（）3211A. ；B. 3C. 2D-46. 如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）- 3- 63A. B. C. 3 D. 22 2 22 27. 点P（-3，1）在椭圆 笃每=1（ a b 0）的左准线上，过点P且方向为a二2,-5的a b光线，经直线y=2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）、3121A. B. C. D. 33222 28. 已知F1、F2是双曲线 务一每=1（ a 0,b0）的两焦点，以线段 吋2为边作正三角形a bMF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的

22、离心率是（）-31A. 4+2*3 B.町3 -1 C.匚厂 D. 丁3 +12 29. 设双曲线 务- =1 （ 0 : a : b ）的半焦距为c，直线I过a,0， 0,b两点.已知原点到a byf3直线的距离为一C，贝U双曲线的离心率为（）4A. 2 B. .3C. 2 D. 310. 双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为F1、F2，F1MF 1200，则双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D.W23311. 设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若.F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。2 212. 设椭圆 冷爲=1（ a 0,b 0）的右焦

23、点为Fi，右准线为h，若过Fi且垂直于x轴的a b弦的长等于点Fi到li的距离，则椭圆的离心率是 .13. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为,2，焦点到相应准线的距离为i,则该椭圆的离心率为（）A.2 1 2、2 B.CQD.才14.设日 0,-；， 4丿则二次曲线x2cotv-y2tanv -1的离心率的取值范围为（A.B.C.库J D.I2丿15.如图，已知梯形ABCD中，AB =2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过2 3C、D、E三点，且以A、B为焦点.当_ 时，求双曲线离心率e的取值范围。3 4【家庭作业参考答案】1.答案：先将方程化成标准形式，然后确定a2 b2，再

24、根据2二e2 -1求出k的值.故选B.2. 答案：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图,由平面几何知识可得|PF2|:|PFi |:|FiF2|=1:3:2， 所以由椭圆的定义及e=得：ae=2cI F，F21亦二 | PF1 | | PF2,3 1，故选 B.4答案：如图，由PF3PF2及双曲线第一定义式|PFiHPF2| = 2a，得:|PFi|=3a , IPF2Z，又 IF1F2QC.因为点P在右支上运动，所以|PFi| IPF2 |厅汀2|,得4a _2c，即 c _2，又 e 1，故填 1：e乞2 . a34.答案：抛物线y2 =6x的准线是x二号，即双曲线的右准线2c2 -

25、3c -2 = 0，解得 c=2， a-、3， e=c = ，故选 D.c2 -15.答案：由 R 1,0、F2 3,0 知 2c = 3-1，二 c=1，又椭圆过原点，c1a+c=3， a=2， c=1，所以离心率 e = - =一.故选 ca26.答案：由题设a=2，2c=6，则c=3，吒誇，因此选C.57.答案：由题意知，入射光线为y -1 - - x 3，关于y - -2的反射光线（对称关系）为25x -2y 5=0，贝Ua2 _厂匚=3 解得a = V3，c = 1，贝卩e = c=兰，故选Aa 3-5c 5=0c8.答案：如图，设MFi的中点为P，则P的横坐标为-c，由焦半径公式PF1二_exp-a，Q2-2 -0,解得e = c =13 （ 1 - .3舍去），a故选D.