母函数与指数型母函数

1、第二章 母函数与递推关系,2.1 母函数与指数型母函数 2.2 递推关系与Fibonacci数列 2.3 线性常系数递推关系 2.4 非线性递推关系举例 2.5 应用举例,2.1 母函数与指数型母函数,母函数 母函数的性质 整数的拆分 Ferrers 图像 指数型母函数,1. 母函数,母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。这套方法的系统叙述，最早见于Laplace在1812年的名著概率解析理论。,我们来看如下的例子：两个骰子掷出6点，有多少种选法？,注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则，共有2+2+1=5种不同选法。,或者，第一个骰子除

2、了6以外都可选，有5种选法，一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选法，按乘法法则有51=5种。,但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就不胜其烦了。,设想把骰子出现的点数1,2,6和t,t2,t6对应起来，则每个骰子可能出现的点数与(t+t2+t6)中t的各次幂一一对应。,若有两个骰子，则,其中t6的系数为5，显然来自于,这表明，掷出6点的方法一一对应于得到t6的方法。,故使两个骰子掷出n点的方法数等价于求,中tn的系数。,这个函数f(t)称为母函数。,母函数方法的基本思想：,把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定

3、离散数列的构造。,再来看下面的例子：,若令a1=a2= =an=1，则有,这就是二项式展开定理。,比较等号两端项对应系数，可以得到恒等式：,比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：,中令x=1 可得,又如在等式,两端对x求导可得：,再令x=1 可得,类似还可以得到,还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数(1+x)n在研究序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)的关系时所起的作用。,定义：对于序列a0,a1,a2,，函数,称为序列a0,a1,a2,的母函数。,例如函数(1+x)n就是序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)的母函数。,如若已知序列，则对应的母函数可根据定义给

4、出。 反之，如果已经求出序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。,例1 下图是一逻辑回路，符号D是一延迟装置，即在时间t输入一个信号给延迟装置D，在t+1时刻D将输出同样的信号，符号表示加法装置。,若在t=0,1,2,时刻的输入为u0,u1,u2,求在这些时刻的输出v0,v1,v2,显然，,一般的有,若信号输入的序列u0,u1,的母函数为U(x)，输出的信号序列v0,v1,的母函数为V(x)，则,其中,被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。,设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。,例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不同的组合方案。,(1) 取一个球的组合数为3，即分别取红

5、，白，黄。,(2) 取两个球的组合数为4，即两个红的，一红一黄，一红一白，一白一黄。,(3) 取三个球的组合数为3，即两红一黄，两红一白，一红一黄一白。,(4) 取四个球的组合数为1，即两红一黄一白。,共有1+3+4+3+1=12种组合方式。,令取r的组合数为 ,则序列,的母函数为,令an为从8位男同志中抽取出n个的允许组合数。由于要男同志的数目必须是偶数。故,例3 某单位有8个男同志，5个女同志，现要组织一个由数目为偶数的男同志和数目不少于2的女同志组成的小组，试求有多少种组成方式？,因此序列a1,a2,a8对应的母函数为：,类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为,其中xk的系数就是组成符

6、合要求的k人小组的数目。,2. 母函数的性质,设序列ak, bk对应的母函数分别为A(x), B(x)。,则下面的两个性质显然成立：,(1) A(x)= B(x) 当且仅当 ak= bk。,(2) 若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+，则ck=ak+bk。,性质1：若 则 B(x)=xlA(x)。,证:,则,例4 已知,性质2：若bk=ak+l，则,则,例5 已知,性质3：若bk=a0+ak，则,1:,x:,x2:,xk:,+),则,例6 已知,性质4：若bk=ak+ak+1+，则,1:,x:,x2:,+),性质5：若bk=kak，则,性质6：若bk=ak/(1+k)，则,则,例7

7、已知,性质7：若ck=a0bk+a1bk-1+ak-1b1+akb0，则,1:,x:,x2:,+),令,例8 已知,则,3. 整数的拆分,所谓正整数拆分即把正整数分解成若干正整数的和。,相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。,整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。,拆分可以分为无序拆分和有序拆分；不允许重复的拆分和允许重复的拆分。,例9 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出那几种重量？有几种可能方案？,从右端的母函数知可称出从1克到10克，系数便是方案数。,例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2种：,5=2+3=1+

8、4。,类似的，称出6克的方案也有2种：6=2+4=1+2+3。,例10 求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。,以x4为例，其系数为4，即4拆分成1，2，3之和的允许重复的拆分数为4：,4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2。,注意邮票允许重复，因此母函数为：,例11 若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚，问能称出那几种质量？各有几种方案？,即可称出1至19克的质量，不同的方案数即为对应项前面的系数。,母函数为：,例12 把整数N无序拆分成整数a1,a2,an的和，且不允许重复，求不同的拆分数。,的不同解的个数。,这个问题对应于求不定方程,令bN表示不

9、同的拆分数，则其对应的母函数为：,特殊的，当ai=i时，对应的母函数为：,例13 把整数N无序拆分成整数a1,a2,an的和，允许重复，求不同的拆分数。,的不同解的个数。,这个问题对应于求不定方程,令bN表示不同的拆分数，则其对应的母函数为：,特殊的，当ai=i时，对应的母函数为：,例14 把整数N无序拆分成奇整数的和，允许重复，求不同的拆分数。,这相当于在上例中把ai取成奇数，因此拆分数对应的母函数为：,例15 把整数N无序拆分成2的幂次的和，求不同的拆分数。,这相当于把N拆分成1,2,4,8,的和，但不允许重复。因此拆分数对应的母函数为：,例16 把整数N无序拆分1,2,m的和，允许重复，

10、求不同的拆分数。若要求m至少出现一次呢？,若无要求，由例13可知其母函数为：,若要求m至少出现一次，则拆分数对应的母函数为：,这个等式的组合意义很明显：整数n拆分成1到m的和的拆分数减去拆分成1到m-1的和的拆分数，即为至少出现一个m的拆分数。,显然有,设bN表示N剖分成不同正整数和的剖分数，则其对应的母函数为：,定理1 整数剖分成不同整数的和的剖分数(不允许重复)等于剖分成奇数的剖分数(允许重复)。,设bN表示N剖分成重复数不超过2的正整数之和的剖分数，则其对应的母函数为：,定理2 N剖分成其他数之和但重复数不超过2，其剖分数等于它剖分成不被3整除的数的和的剖分数。,定理3 N被剖分成一些重

11、复次数不超过k次的整数的和，其剖分数等于被剖分成不被k+1除尽的数的和的剖分数。,定理4 对任意整数N，它被无序剖分成2的幂次的和的剖分方式一定唯一。,例17 若有1、2、4、8、16克的砝码各一枚，问能称出那几种质量？有几种可能方案？,这说明用这些砝码可以称出从1克到31克的质量，而且方案都是唯一的。,实际上这说明整数的二进制表示是唯一的。,4. Ferrers图像,一个从上而下的n层格子组成的图像，mi为第i层的格子数。,当mimi+1，即上层的格子数不少于下层的格子数时，称之为Ferrers图像，如下图：,每一层至少有一个格子。,绕虚线轴旋转所得的图仍然是Ferrers图像。这样的两个F

12、errers图像称为一对共轭的Ferrers图像。,(1) 整数n拆分成k个数的和的拆分数，与数n拆分成最大数为k的拆分数相等。,因为整数n拆分成k个数的和的拆分可以用一个k行的图像表示。所得的Ferrers图像的共轭图像最上面一行有k个格子。例如：,利用Ferrers图像可以得到一些关于整数拆分的结果：,24=6+6+5+4+3 5个数，最大数为6,24=5+5+5+4+3+2 6个数，最大数为5,理由和(1)相类似。,因此，拆分成最多不超过m个数的和的拆分数的母函数是：,(2) 整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，与n拆分成最大不超过m的拆分数相等。,正好拆分成m个数的和的拆分数的母

13、函数为,(3) 整数n拆分成互不相同的若干奇数的和的的拆分数，与n拆分成自共轭的Ferrers图像的拆分数相等。,设整数n拆分为n=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nk+1)，其中n1n2nk。,构造一个Ferrers图像，第一行第一列都是n1+1格，对应于2n1+1，第二行第二列都是n2+1格，对应于 2n2+1，依此类推。,这样得到的Ferrers图像一定是自共轭的。,反过来，自共轭的Ferrers图像也可以对应到一些不同奇数的和。,例如17=9+5+3对应的Ferrers图像为：,(4) 正整数n剖分成不超过k个数的和的剖分数，等于将n+k剖分成恰好k个数的剖分数。,不超过k层的Fe

14、rrers图像的每一层加上一个格子，一一对应到一个刚好k层的Ferrers图像。,5. 指数型母函数,考虑n个元素组成的多重集，其中a1重复了n1次，a2 重复了n2次，ak重复了nk次，n=n1+n2+nk。从中取r个排列，求不同的排列数。,若r=n，即考虑n个元素的全排列，则不同的排列数为：,但是对于一般的r，情况就比较复杂了。,先看一个具体的问题：假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个组合，其组合数为cr，则其对应的母函数为：,从x4的系数可知，从这8个元素中取4个组合，不同的组合数为10。,这10个组合可从下面的展开式中得到：,其中4次方项表示了所有从

15、8个元素中取4个的组合方案。,例如 表示一个a1三个a3的组合， 表示两个a1两个a3的组合，依此类推。,接下来讨论从这8个元素中取4个的不同排列总数。,以两个a1两个a3组合为例，不同排列数为4!/(2!2!)。,同样一个a1三个a3的不同排列数为4!/(1!3!)。,依此类推可以得到不同的排列总数为：,为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数,从右边很容易可以看出，取2个的排列数为9，取3个的排列数为28，取4个的排列数为70依此类推。,定义：对于序列a0,a1,a2,，函数,称为序列a0,a1,a2,对应的指数型母函数。,这样，对于一个多重集，其中a1重复n1次，a2 重复n2次，ak

16、重复nk次，从中取r个排列的不同排列数所对应的指数型母函数为：,例18 求下列数列的指数型母函数：,例19 由1，2，3，4四个数字组成的五位数中，要求数1出现次数不超过2次，但不能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出现次数最多3次，可以不出现；4出现次数为偶数。求满足上述条件的数的个数。,设满足上述条件的r位数个数为cr，则其对应的指数型母函数为：,由此可见满足条件的5位数共215个。,例20 求由1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数，要求其中3，7出现的次数为偶数，其他1，5，9出现次数不加限制。,设满足上述条件的n位数个数为cn，则其对应的指数型母函数为：,因此,例21 7个有区别的球放进4