数学八年级下《二次根式》复习教学案

1、. ；. 二二 次次 根根 式式 复习课复习课 【知识点汇总知识点汇总】 知识点一：知识点一： 二次根式的概念二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如， ，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意 义。

2、 知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负性）的非负性 （）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（）， 这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答 题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（） 的性质的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是

3、逆用平方根的定义得出的结论。上面的 公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质 . ；. 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等 于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的 平方，

4、而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意 义，而. . ；. 【历年考点例析历年考点例析】 考点考点 1 1、无理数、无理数 知识回顾：知识回顾： 无限不循环的小数，叫做无理数。 知识特点：知识特点： 常见的无理数： 1、 以及 的有理数倍数。 2、；235 3、2001 考查题型考查题型 例 1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于1 的数 。 （08 年自贡市） 分析：-1 的绝对值是 1，所以，小于1 的数的绝对值一定要大于 1

5、，只要符合这一点， 就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。 解：小于1 的有理数-4、-5 等等，小于1 的无理数-、-、-等等。235 例 2、从实数，0，4 中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）2 3 1 A. ，0 B. ，4 C. ，4 D. ，（08 年湖北省宜昌市） 3 1 22 分析：根据常见的无理数，可以发现只有-和 是无理数，因此，选项 D 是正确的。2 解：选 D。 例 3、如图 1 所示，A，B，C，D 四张卡片上分别写有四个实数，从中任取 5 23 7 ， 两张卡片 A B C D （图 1） . ；. （1）请列举出所有可能的结果（用字母 A，B，C，D 表示） ；

6、 （2）求取到的两个数都是无理数的概率 （08 嘉兴市） 、 分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。 解： （1）仔细观察上面的四个数，不难发现 B、D 是无理数，A 和 C 是有理数，结果列表如下： 2 仔细观察上表，一共有 12 种可能性，期中 都是无理数的可能性有 2 种， 因此，两个数都是无理数的概率为： 。 6 1 12 2 考点考点 2 2、平方根、平方根 知识回顾：知识回顾： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根。记作 。读作“正负根号 a”a 知识特点：知识特点： 1、 被开方数 a，满足的关系

7、式是：a0； 2、平方根 x 与被开方数 a，满足的关系式是：x=；a 3、被开方数 a 与平方根 x，满足的关系式是：a= x2= （）2= 2= （- ）2；aaa 4、两个平方根之间满足的关系式是：+（-）=0，即两个平方根互为相反数，所aa 以，他们的和为 0. 如下说法都是正确的： a的平方根是；a . ；. 是a的平方根；a -是a的平方根；a 是a的平方根；其中a是非负数。a 此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。 考查题型考查题型 例 4、2 的平方根是（ ） A4BCD（08 年南京市）222 分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“”来体现“两个” 。 解：选 D

8、。 例 5、9 的算术平方根是 A. 3 B. 3 C. 3 D. （08 恩施自治州）3 分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项 A、C 都是不正确的； 因为，32=9，所以，9 的算数平方根是 3。 解：选 B. 例 6、化简：=（ ） 4 A2 B2C4D4（08 年甘肃省白银市） 分析：理解的意义是解题的关键。的意义实际上就是求正数 4 的算术平方根，所44 以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于 4，这样只有选项 A 符合要求。 解：选 A。 化简=_。(08 年安徽省) 2 4 分析：分析：因为， （-4）2=16，的意义是求正数 16 的算数平方根，

9、因为， 2 4 42=16，所以，=4. 2 4 考点考点 3 3、二次根式、二次根式 知识回顾：知识回顾： 形如（a0）的式子，叫做二次根式。a 知识特点：知识特点： 1、被开放数 a 是一个非负数； . ；. 2、二次根式是一个非负数，即0；aa 3、有限个二次根式的和等于 0，则每个二次根式的被开方数必须是 0. 考查题型考查题型 例 7、若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是5x A.x-5B.x-5C.x-5D.x-5 (08 常州市) 分析：在这里二次根式的被开方数是 x+5，要想使式子在实数范围内有意义,5x 必须满足条件：x+50，所以，x-5，因此，选项 D 是正确的。

10、解：选 D。 例 8、若，则 （08 年遵义市）230ab 2 ab 分析： 因为，|a-2|和都是非负数，并且它们的和是 0，3b 所以，|a-2|=0 且=0，所以，a=2，b=3，3b 所以，a2-b=4-3=1. 例 9、若实数满足，则 xy 的值是 (08 年宁波市)xy， 2 2(3)0 xy 分析： 因为，和都是非负数，并且它们的和是 0，2x 2 )3( y 所以，=0 且=0，所以，x=-2，y=，2x 2 )3( y3 所以，xy=-2.3 考点考点 4 4、二次根式的化简与计算、二次根式的化简与计算 知识回顾：知识回顾： 二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根

11、式，然后，通过合并同类 二次根式的方法进行二次根式的加减运算。 知识特点：知识特点： 二次根式的加减运算：a+b=（a+b）， （m0） ；mmm 二次根式的乘法运算：.=，( a0, b0)；abab 二次根式的除法运算：= ，( a0, b0)；ab b ab b a 二次根式的乘方运算：=a，( a0)； 2 )( a . ；. 二次根式的开方运算：= 2 a 0 0, aa aa ， 考查题型考查题型 例 10、下列计算正确的是（ ） AB2 34 26 584 2 CD（08 年聊城市）2733 2 ( 3)3 分析：这就是二次根式化简的综合题目，2与 4的被开方数不相同，所以，它们

12、不32 是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A 是错误的； 因为，所以，B 也是错误的；2222248 2 因为，=，所以，C 是正确的；27339327 根据二次根式的开方公式，得到 D 是错误的。 解：选 C。 例 11、若baybax,，则xy的值为 ( ) Aa2 Bb2 Cba Dba （08 年大连市） 分析：xy=（） （）=-=a-b，所以，D 是正确的。ba ba 2 )( a 2 )( b 解：选 D。 考点考点 5 5、最简二次根式、最简二次根式 知识回顾：知识回顾： 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被

13、开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识特点：知识特点： 1、最简二次根式中一定不含有分母； 2、对于数或者代数式，它们不能在写成 anm 的形式。 考查题型考查题型 例 12、下列根式中属最简二次根式的是（） A. B. C. D. （08 年湖北省荆州市） 2 1a 1 2 827 . ；. 分析： 因为 B 中含有分母，所以 B 不是最简二次根式； 而 8=222，27=323，所以，选项 C、D 都不是最简二次根式。 所以，只有选项 A 是正确的。 解：选 A。 考点考点 6 6、估算、估算 例 13、估计 1 3220 2 的运算结果应在（ ） （08 年芜湖市） 分析：52420

14、1620 2 1 32 因为，459，所以，所以，23,9545 所以，426,5 所以，4+42+46+4,所以，82+410,也就是在 8 到 9 之间.55 解:选择 C. 【考试题型归纳考试题型归纳】 一一. 基本概念型基本概念型 例例 1.二次根式中，字母的取值范围是（ ）a 1 A. B. C. D. a 1a 1a 1a 1 析解：形如的式子叫二次根式，其中被开方数 a 的取值范围是。则a a() 0a 0 二次根式中，即，故选 C。a 1a 10a 1 说明：注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键。 例例 2.在下列根式中，最简二次根式有（ ）4 528 3 、a

15、bx A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个 析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数，因式是整式；（2）被 开方数中不含能开得尽方的因数或因式。而。所以最简二次2282 2 3 aaaxx、 . ；. 根式有两个，故选 C。4 5、 b 例例 3.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）3 A. B. C. D. 2412 3 2 18 析解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式 叫做同类二次根式。而，所以与是242 6122 3 3 2 6 2 183 2、3 同类二次根式的是，故选 B。12 二二. 性质运用型性质运用型 例例 4.已知，

16、则化简的结果是（ ）x 2xx 2 44 A. B. C. D. x 2x 2x22 x 析解：，因为，所以xxxx 22 4422()|x 2x 20 。故选 Dxxx 2 442 例例 5.化简得（ ） 。44123 22 xxx() A. 2B. C. D. 44x244x 析解：因为，230 x xxx 3 2 2323 2 ,() 所以2104412121 2 xxxxx ，| 故。故选 A。4412321232 22 xxxxx()() 说明：以上二例主要应用二次根式的性质：（1）。 （2）aa a a a a 2 0 0 | | () () 。正确应用二次根式的性质是解决本题的关

17、键。()()aa a 2 0 三三. 结论开放型结论开放型 例例 6.先将化简，然后自选一个合适的 x 值，代入化简后的式子 x x x xx 2 22 32 求值。 析解：这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间。但要注意 x 的取 值范围是。x 2 . ；. 原式 x x xx x x xx 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x x xxx 2 2 2 取，原式。x 2,x 4 2 四四. 大小比较型大小比较型 例例 7. 用计算器计算，根据你发现的规律， 21 21 31 31 22 , 41 41 51 51 22 , 判断，与， （n 为大于 1 的整数）的值的大小关系为

18、（ P n n 2 1 1 Q n n () () 11 11 ） A. B. C. D. 与 n 的取值有关PQPQPQ 析解：利用计算器计算得：，从而可以推断 21 21 31 31 41 41 51 51 2222 ，故选 C。P n n Q n n 22 1 1 11 11 () () 例例 8. 设，则 a，b，c 的大小关系是（ ）abc322352, A. B. C. D. abcacbcbabca 析解：，同理。 11 32 32 3232 32 a ()() 1 23 1 52 bc , 因为，所以。故选 A。5223320 111 0 cba cba, 五五. 判断正误型判

19、断正误型 例例 9. 化简时，甲的解法是： 3 52 ，乙的解法是： 3 52 352 5252 () ()() 52 ，以下判断正确的是（ ） 3 52 5252 52 ()() 52 A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 . ；. C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 析解：甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用52 进行约分，所以二人都是正确的，故选 C。35252()() 例例 10. 对于题目“化简并求值：，其中” ，甲、乙两人的解 11 2 2 2 aa aa 1 5 答不同。 甲的解答是：； 11 2 111149 5 2

20、 22 aa a aa a aa a() 乙的解答是：。 11 2 11111 5 2 22 aa a a a aa a a () 谁的解答是错误的？为什么？ 析解：乙的解答是错误的。 因为当时，所以，而应当是a 1 5 1 5 1 0 a a a ,()a a a a 11 2 。()a aa a 11 2 六六. 规律探索型规律探索型 例例 11. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。 ；(),112 1 2 2 1 S ；(),213 2 2 2 2 S ；(),314 3 2 2 3 S . ；. （1）请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律。 （2）推算出的长。OA

21、10 （3）求出的值。SSSS 1 2 2 2 3 2 10 2 析解：（1）通过类比，可推知(),nnS n n 2 11 2 （2）。OAOAOAOA 12310 12310,， （3）SSSS 1 2 2 2 3 2 10 2 ()()()() () 1 2 2 2 3 2 10 2 1 4 12310 55 4 2222 七七. 计算说理型计算说理型 例例 12. 有这样一道题，计算：的值，其中 xx xx xx xx xx 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2() ，某同学把“”错抄成“” ，但他的计算结果是正确的。请回x 1005x 1005x 1050 答这是怎么回事？试说明理

22、由。 析解：这是一道说理型试题，既然 x 的值取错，计算结果仍是正确。那么可以猜测 此二次根式化简后与 x 的值无关。这时应从二次根式的化简入手，揭开它神秘的面纱。 原式 () ()() () ()() xx xxxx xx xxxx x 22 22 22 22 2 4 44 4 44 xxx xxxx x x x x 222222 2 2 2 424 4 424 4 48 4 2 八八. 数形结合型数形结合型 例例 13. 如图 1，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数有（ ） A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个 . ；. 图

23、 1 析解：由题意知，。BC 2313 22 ACAB3455126 2222 , 所以边长为无理数的边数是 2 个，故选 C。 例例 14. “数轴上的点并不都表示有理数，如图 2 中数轴上的点 P 所表示的数是” ，2 这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） 图 2 A. 代入法B. 换元法C. 数形结合D. 分类讨论 析解：本题“形” “数”结合，所反映的正是数学中的一种思想方法“数形结合”故 选 C。 九九. 阅读理解型阅读理解型 例例 15. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ， 即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： （其中 a、b、c

24、为三角形的三边长，s 为面积）sa b abc 1 42 22 222 2 () 。 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： （其中）sp papbpc()()()p abc 2 （1）若已知三角形的三边长分别为 5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该 三角形的面积 s； （2）你能否由公式推导出公式？请试试。 . ；. 析解：（1）s 1 4 57 578 2 22 222 2 () 1 2 571 5 2 4810 3 222 () 又，p 1 2 57810() s10 105 107)(1081053210 3()() （2） 1 42 22 222 2 () a b a

25、bc 1 422 222222 ()()ab abc ab abc 1 16 2222 () ()cababc 1 16 1 16 2222222 ()()()() ()()() ()()() cab cab abc abc papbppc p papbpc 1 42 22 222 2 () ()()()a b abc p papbpc 【解题策略解题策略】 一、二次根式的定义一、二次根式的定义 例 1 函数的自变量 x 的取值范围是（ ）yx 21 A xB xC xD x. 1 2 1 2 1 2 1 2 解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为 A。 例 2 函数的自变

26、量 x 的取值范围是（ ）y x x x 1 2 5 3 AxBx CxxDxx . . 2525 253253 且且 解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，还应特别注意分式的分 母不能为零。答案为：C。 二、二次根式的性质二、二次根式的性质 . ；. 例 3 若，则 xy 的值等于（ ）yyxy 2 4410 A. -6B. -2C. 2D. 6 解题策略：紧扣二次根式是一个非负数的性质，可以得到：a a() 0 ，故。答案为：A ()y xy 20 10 2 xy 32， 例 4 如果，那么 x 的取值范围是（ ）()xx22 2 A xB xc xD x.2222 解题策略

27、：运用二次根式是一个非负数的性质知，。答案为a a() 0 x 20 C。 例 5 若 b0，化简的结果是（ ）ab3 Ab abB babCbabD b ab. 解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数，由二次根式的性质 aa a a a a abab bb ab 2 32 0 0 | | () () 知 答案为：C 三、最简二次根式三、最简二次根式 例 6 把二次根式化成最简二次根式为_。x y x y() 0 例 7 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） AxBx yCD. 225 11205 解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因 式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例 6 的答案为：，例 7 的答案为：A。xy 四、同类二次根式四