线性系统理论-郑大钟(第二版)课件

线性系统理论线性系统理论1第一章绪论第二章线性系统的状态空间描述第三章线性系统的运动分析第四章线性系统的能控性和能观测性第五章系统运动的稳定性第六章线性反馈系统的时间域综合第一部分线性系统的时间域理论第二部分线性系统的复频率域理论第一章绪论第二章线性系统的状态空间描述第三章2第一章绪论

线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制系统。控制理论发展概况：第一阶段20世纪40—60年代经典控制理论第二阶段20世纪60—70年代现代控制理论第三阶段20世纪70—

大系统理论（广度）智能控制理论（深度）第一章绪论线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础3第一章绪论

1.1系统控制理论的研究对象系统是系统控制理论的研究对象系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。系统具有如下3个基本特征:

(1)整体性

(2)抽象性

作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。(3)相对性

在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。第一章绪论1.1系统控制理论的研究对象系统是系统控制理4动态系统：所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统。系统变量可区分为三类形式系统动态过程的数学描述动态系统的分类从机制的角度

从特性的角度

从作用时间类型的角度

uxy连续系统按其参数的空间分布类型

本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。动态系统：所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规5线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统④建立数学模型的途径：解析、辨识⑤系统建模的准则：折衷线性系统理论研究对象是(线性的)模型系统，不是物理系统。线性系统系统模型线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满61.2线性系统理论的基本概貌线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。主要内容:数学模型→分析理论→综合理论发展过程:经典线性系统理论→现代线性系统理论主要学派:

状态空间法几何理论把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合代数理论把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题多变量频域方法

线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。

1.2线性系统理论的基本概貌线性系统理论是7第一部分:线性系统时间域理论

第二章线性系统的状态空间描述

2.1状态和状态空间

线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法系统动态过程的两类数学描述第一部分:线性系统时间域理论第二章线性系统的状态空间8(1)系统的外部描述外部描述常被称作为输出—输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述(2)系统的内部描述状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征——状态方程和输出方程。(3)外部描述和内部描述的比较一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。(1)系统的外部描述外部描述常被称作为输出—输入描述例如9状态和状态空间的定义状态变量组:状态：

一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组所组成的一个列向量一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组状态空间：

状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数几点解释

（1）状态变量组对系统行为的完全表征性只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组和t≥t0各时刻的任意输入变量组那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定状态和状态空间的定义状态变量组:状态：一个动力学系统的状10(2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性的数学特征(4).状态变量组的不唯一性(5).系统任意两个状态变量组之间的关系(6)有穷维系统和无穷维系统(7)状态空间的属性状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R

n(2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性112.2线性系统的状态空间描述电路系统状态空间描述的列写示例描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。选择状态变量2.2线性系统的状态空间描述电路系统状态空间描述的列写示122.2线性系统的状态空间描述以上方程可表为形如2.2线性系统的状态空间描述以上方程可表为形如13机电系统状态空间描述的列写示例上式可表为形如机电系统状态空间描述的列写示例上式可表为形如14连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统线性时变系统连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构连续时间线性系15连续时间线性系统的方块图连续时间线性系统的方块图16离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统离散时间线性时变系统离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时17状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性离散时间线性系统的方块图状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性离散时间线182.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类

线性系统和非线性系统设系统的状态空间描述为向量函数若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统

若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统

对于线性系统非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类线性系统和非线19时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,即该系统称为时不变系统

若向量f,g显含时间变量t,即该系统称为时变系统

连续时间系统和离散时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量时变系统和时不变系统若向量f,g不显含时间变量t,即该系202.4由系统输入输出描述导出状态空间描述

由输入输出描述导出状态空间描述对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述其传递函数描述可以导出其状态空间描述为基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组。2.4由系统输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导21结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=n,即系统为真情形结论1给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对22(2)m<n,即系统为严真情形(2)m<n,即系统为严真情形23结论2给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:选取n个状态变量结论2给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对24其对应的状态空间描述为:其对应的状态空间描述为:25(2)m≠0情形此时输入输出描述为:(2)m≠0情形此时输入输出描述为:26其对应的状态空间描述为:其中其对应的状态空间描述为:其中27两种状态空间描述为:两种状态空间描述为:28结论3给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其极点即传递函数分母方程的根为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1)m<n，即系统为严真情形对应的状态空间描述为结论3给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其29(2)m=n，即系统为真情形令对应的状态空间描述为：(2)m=n，即系统为真情形令对应的状态空间描述为：30由方块图描述导出状态空间描述例1

设系统方块图如下，试列写其状态空间描述解上图等效为指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：由方块图描述导出状态空间描述例1设系统方块图如下，试列写其31写成矩阵形式例2

设单输入单输出系统的传递函数为试列写其状态空间表达式。写成矩阵形式例2设单输入单输出系统的传递函数为试列写其32解可画出系统结构图如下写出变量之间的关系解可画出系统结构图如下写出变量之间的关系33写成矩阵形式写成矩阵形式34也可以画出结构图为e11e13e12e2e3可写出系统的动态方程为也可以画出结构图为e11e13e12e2e3可写出系统的动35例3

设画出结构图动态方程为注：由方块图描述导出状态空间描述，其结果不唯一！但阶次不变。例3

设画出结构图动态方程为注：由方块图描述导出状态空间362.5线性时不变系统的特征结构

特征多项式

连续时间线性时不变系统(1)特征多项式均为实常数(2)特征方程式(3)凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理线性时不变系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。2.5线性时不变系统的特征结构特征多项式连续时间线性时37(4)最小多项式的各个元多项式之间互质定义(s)为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式(s)也满足凯莱-哈密尔顿定理，即(A)=0(5)系统矩阵的循环性如果系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式(s)之间只存在常数类型的公因子k，即则称系统矩阵A是循环的。(6)特征多项式的计算(4)最小多项式的各个元多项式之间互质定义(s)为38①基于迹计算的特征多项式迭代算法②基于分解计算的特征多项式迭代算法①基于迹计算的特征多项式迭代算法②基于分解计算的特征多39特征值(1)特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。(3)特征值的形态特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数(4)特征值类型系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型连续时间线性时不变系统特征值(1)特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(s40(5)特征值的代数重数代数重数i

代表特征值集Λ中值为i

的特征值个数(6)特征值的几何重数(7)特征值重数和类型的关系对n维线性时不变系统，若i

∈A为单特征值，则其代数重数i和几何重数i之间必有对n维线性时不变系统，若i∈A为重特征值，则其代数重数i和几何重数i之间必有(5)特征值的代数重数代数重数i代表特征值集Λ中值为41特征向量和广义特征向量

n维连续时间线性时不变系统，i为A的特征值(1)特征向量的几何特性(2)特征向量的不唯一性(3)单特征值所属特征向量的属性对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值{1、2、…n}的相应一组特征向量{1、2、…n}为线性无关，当且仅当特征值{1、2、…n}为两两互异。特征向量：特征向量的属性：特征向量和广义特征向量n维连续时间线性时不变系统42广义特征向量

对n维线性时不变系统，设i为n×n维系统矩阵A的一个i重特征值(i=1,2,..,,ij

,ij)，则广义特征向量的基本属性：

对n维线性时不变系统，设1为系统矩阵A的属于i重特征值i的k级广义右特征向量，按以下方法定义的k个特征向量必为线性无关：（1）广义特征向量链广义特征向量对n维线性时不变系统，设i为43对n维线性时不变系统，设系统矩阵A的特征值i的代数重数为i，则A的属于i的广义右特征向量组由i

个线性无关n1维非零向量组成(i=1,2,..,,ij,ij)。称此组特征向量为i的长度为k的广义右特征向量链（2）确定广义特征向量组的算法对n维线性时不变系统，设系统矩阵A的特征值44右广义特征向量组的算法：A的属于i重特征值i的右广义特征向量组可按如下步骤确定。Step1：计算直到

。设：n=10，I=8，m0=4并设：0=0，1=3，2=6，3=7，4=8Step2：确定广义特征向量组的分块表。基本原则为：表的列数＝广义特征向量组分块数＝m0=4表的“列j”＝“分块j”，j=1，，m0，m0=4列j即分块j中特征向量个数＝，j=1，，m0，m0=4列j即分块j内特征向量按由下而上排列右广义特征向量组的算法：A的属于i重特征值i的右广义特45列1分块1列2分块2列3分块3列4分块4特征向量数4-3=1特征向量数3-2=1特征向量数2-1=3特征向量数1-0=3行1行2行3A的属于i重特征值i的右广义特征向量组分块表Step3：定义表中的独立型特征向量和导出型特征向量列1列2列3列4特征向量数特征向量数特征向量数特征向量数A的46Step4：确定独立型特征向量i1，i2，i3Step5：确定导出型特征向量Step4：确定独立型特征向量i1，i2，i3St47Step6：对A的属于i重特征值i的右广义特征向量组，确定广义特征向量链。其中广义特征向量链的数目=分块表中行的数目=3

广义特征向量链=分块表中行的特征向量组3个广义特征向量链为（3）不同广义特征向量组间的关系对n维线性时不变系统，设i为n×n系统矩阵A的一个i重特征值，i=1,2,..,,ij,ij，则A的属于不同特征值的个广义特征向量组间必线性无关。Step6：对A的属于i重特征值i的右广义特征向量组48结论4

特征值为两两互异的情形2.6状态方程的约当规范形对n个特征值{1、2、…n}两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=[1、

2、…

n]，则状态方程可通过线性非奇异变换而化为约当规范形。约当规范形被广泛应用于线性时不变系统结构特性的分析。任意线性时不变系统的状态方程都可以通过线性非奇异变换化为约当规范形。特征向量T-1AT，对角规范型系统状态实现完全解耦结论4特征值为两两互异的情形2.6状态方程的约当规范形对49若A阵为友矩阵形式(能控规范性)则P阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为当出现复数特征值时，可以当作互异情况考虑，但必包含共扼复数元，在系统分析与综合中，需作实数化处理。若A阵为友矩阵形式(能控规范性)则P阵是一个范德蒙德(Van50[例]试将下列状态方程变换为约当规范形解：A的特征值可由－A＝0求出对应于1＝－1的特征矢量特征矢量不唯一![例]试将下列状态方程变换为约当规范形解：A的特征值可由51同理可以算出则变换矩阵P为

状态方程变换为约当规范形同理可以算出则变换矩阵P为状态方程变换为约当规范形52结论5

特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令可将系统状态方程化为约当规范形：具有准对角线的形式结论5特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系53其中，Ji为相应于特征值i的约当块：例：P61重特征值情形的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵，外层，中层，内层系统状态可实现可能的最简耦合。当系统矩阵A所有的特征值I的i=i，约当规范形为对角线矩阵。其中，Ji为相应于特征值i的约当块：例：P61重特征值情542.7由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：称G(s)为系统的传递函数矩阵。其中2.7由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵定义：单输55(1)G(s)的函数属性传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的q×p有理分式矩阵。(2)G(s)的真性和严真性当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的(3)G(s)的特征多项式和最小多项式(4)G(s)的极点G(s)的极点定义为方程式的根(1)G(s)的函数属性传递函数矩阵G(s)在函数属性上56(5)G(s)的循环性若称G(s)是循环的(6)G(s)正则性和奇异性G(s)基于(A,B,C,D)的表达式考虑连续时间线性时不变系统则设G(s)的首一化特征多项式为G(s)，A的特征多项式为(s)，若必有若系统能控能观测，则表G(s)的极点集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，则ΛG⊂Λ；若系统能控能观测，则ΛG=Λ。(5)G(s)的循环性若称G(s)是循环的(6)G57结论7

G(s)的实用计算关系式令则结论7G(s)的实用计算关系式令则582.8线性系统在坐标变换下的特性坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。线性时不变系统状态空间描述为引入坐标变换则变换后系统的状态空间描述为结论8坐标变换是状态空间方法分析和综合中广为采用的一种基本手段——突出系统的某些特性或特征，或是简化系统分析和综合的计算过程。线性时不变系统在坐标变换下的特性2.8线性系统在坐标变换下的特性坐标变换的实质是把系统在空59结论9

线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系数矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。坐标变换具有人为属性，系统在坐标变换下如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等的不变性反映了系统运动核结构的固有特性。

结论9线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇60结论10

线性时变系统在坐标变换下的特性对线性时变系统引入坐标变换P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为结论10线性时变系统在坐标变换下的特性对线性时变系统引入612.9组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵设子系统并联

两个子系统可以实现并联联接的条件2.9组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵设子系统并联62并联后子系统串联

两个子系统可以实现串联联接的条件是：串联后并联后子系统串联两个子系统可以实现串联联接的条件是：串63

子系统反馈联接设两个子系统实现输出反馈联接的条件是反馈联接后

子系统反馈联接设两个子系统实现输出反馈联接的条件是反馈联64第三章线性系统的运动分析3．1引言数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。解的存在性和唯一性条件

设系统状态方程如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。从数学观点，上述条件可减弱为：①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：当且仅当状态方程的解为存在和唯一，对系统的运动分析才有意义。第三章线性系统的运动分析3．1引言数学的65③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：条件②③可一步合并为要求B(t)、u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。本章随后各节中，均加设系统满足上述解的存在性和唯一性条件。②输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间[t0,tα]上为平方可积，即：线性系统运动＝零输入响应＋零初态响应③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为663．2连续时间线性时不变系统的运动分析

系统的零输入响应令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程结论1.系统自治状态方程的解，具有以下形式其中若初始时间取为t0≠0则连续时间线性时不变系统的运动分析是本章讨论的重点

3．2连续时间线性时不变系统的运动分析系统的零输入响应令67设其解是t的向量幂级数则由对应项系数相等关系有式中x0，b1，…，bk，都是n维向量，且x(0)=b0，故定义：矩阵指数函数设其解是t的向量幂级数则由对68矩阵指数函数的性质

(4)设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA则有矩阵指数函数的性质(4)设A和F为两个同维可交换方阵，69矩阵指数函数的算法

1：定义法2：特征值法1）若A的特征值为两两互异则只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具有编程简单和算法迭代的优点。P为变换A为约当规范型的变换矩阵p=[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn为A的n个特征向量。矩阵指数函数的算法1：定义法2：特征值法1）若A的702）若A的特征值出现重根其中则其中假设的i几何重数为12）若A的特征值出现重根其中则其中假设的i几何重数为71例三个互异特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3例三个互异特征根1＝－1，2＝－2，3＝－372例

三个重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=2例三个重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=2733：有限项展开法设根1、2、…

n为A的n个互异特征值若1为n重特征值3：有限项展开法设根1、2、…n为A的n个互74例

例754：预解矩阵法例:已知，求eAt解：4：预解矩阵法例:已知76证明：其解为：系统的零初态响应当x(0)=0时，线性时不变系统状态方程系统状态方程的解，具有以下形式证明：其解为：系统的零初态响应当x(0)=0时，线性时不变系77系统状态运动规律的基本表达式

设系统的状态空间描述为其解为：对初始时刻t0=0情形有表达式系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为其解为：783.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵设连续时间线性时不变系统，状态方程为：基本解阵矩阵方程的解阵称为连续时间线性时不变系统(1)的基本解阵。其中H为任意非奇异实常阵结论：(1)基本解阵不唯一(2)由系统自治方程的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。(3)连续时间线性时不变系统(1)的一个可能的基本解阵为3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵设连续时间线性时不79状态转移矩阵

矩阵方程的解阵(t-t0)

称为连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵。结论：1:连续时间线性时不变系统(1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出2:状态转移矩阵(t-t0)唯一，与基本解阵的选取无关。3:状态转移矩阵的形式为基于状态转移矩阵的系统响应表达式

状态转移矩阵矩阵方程的解阵(t-t0)称为连续时间线80状态转移矩阵的特性状态转移矩阵的特性813.5连续时间线性时变系统的运动分析

状态转移矩阵设连续时间线性时变系统，状态方程为对连续时间线性时变系统，矩阵方程：的解矩阵(t,t0)称为状态转移矩阵。矩阵方程的解矩阵(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。线性时变系统的运动不管是规律形态还是分析方法都要复杂得多，但运动规律表达式形式上十分类似于线性时不变系统。3.5连续时间线性时变系统的运动分析状态转移矩阵设连续时间82结论：①基本解阵不唯一②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程的任意n个线性无关解为列构成③对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵结论：①状态转移矩阵为唯一②状态转移矩阵的形式结论：①基本解阵不唯一的任意n个线性无关解为列构成③对连续83状态转移矩阵的性质

状态转移矩阵的性质84系统的状态响应

结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解状态运动计算上的困难对连续时间线性时变系统，一般难以确定状态转移矩阵的解析表达式，主要用于理论分析中。可用数值方法求解。

线性系统状态运动表达式在形式上的统一性。系统的状态响应结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解853.6连续时间线性系统的时间离散化基本约定：

1）对采样方式的约定采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度△比采样周期T小得多。2）对采样周期T大小的约定满足Shamnon采样定理给出的条件3）对保持方式的约定零阶保持方式无论是采用数字计算机分析连续时间系统运动行为，还是采用离散控制装置控制连续时间受控系统，都会遇到将连续时间系统化为离散时间系统的问题。3.6连续时间线性系统的时间离散化基本约定：1）对采样方86基本结论：

给定连续时间线性时变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为其中基本结论：给定连续时间线性时变系统则其在基本约定下的时间87结论：

给定连续时间线性时不变系统则其在基本约定下的时间离散化描述为其中结论：①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。结论：给定连续时间线性时不变系统则其在基本约定下的时间离88例：线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。解

例：线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化893.7离散时间线性系统的运动分析不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下一个采样时刻的系统状态。定义：矩阵方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解阵(k,m)称为离散时间线性时变系统x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的状态转移矩阵。矩阵方程(k+1)=G(k),(0)=I的解阵(k),称为离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的状态转移矩阵。结论：离散时间线性时变系统状态转移矩阵为：

(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为：结论：①(k,m)非奇异G(i),i=m,m+1,…k-1均为非奇异②(k)非奇异G非奇异③对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异。3.7离散时间线性系统的运动分析不管是时变差90结论：对离散时间线性时变系统，其解为：对离散时间线性时不变系统，其解为定义：对离散时间线性时不变系统x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)x(0)=x0

y(k)=Cx(k)+Du(k)结论：离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为结论：对离散时间线性时变系统，其解为：对离散时间线性时不变91第四章线性系统的能控性和能观测性4．1能控性和能观测性的定义能控性和能观测性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。不完全能控但能观测不能控不能观测电路第四章线性系统的能控性和能观测性4．1能控性和能观测性92状态能控性，能达性定义对连续时间线性时变系统如果存在一个时刻以及一个无约束的容许控制u(t),使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。注意：

对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。状态能控性，能达性定义对连续时间线性时变系统如果存在一个93定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1。系统能控性，能达性定义

定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状94能观测性定义和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；对连续时间线性时变系统如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。能观测性定义和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J95该系统是不完全能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎等于1。其解为；该系统是不完全能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性964．2连续时间线性系统的能控性判据

结论1：(格拉姆矩阵判据)线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵。证明：

充分性为非奇异时，系统能控说明系统是能控的。必要性证明采用反证法，自阅。

由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆矩阵判据的意义主要在于理论分析中的应用。4．2连续时间线性系统的能控性判据结论1：(格拉姆矩阵判97结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变系统：完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵为非奇异。(格拉姆矩阵判据)主要在于理论分析和推导中的应用。结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),B(t)对t98结论4

（能控性秩判据）对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵满秩，即rankQc=n结论5（能控性PBH秩判据）n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：

rank[sI-A，B]=n,sCC为复数域或rank[iI-A，B]=n，i为系统特征值结论6：（能控性PBH特征向量判据）n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA=i

T，T

B=0的左特征向量T

=0。主要在于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。结论4（能控性秩判据）对n维连续时间线性时不变系统，系统99结论7：（约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8：（约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。注：1.能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。2.状态向量的线性非奇异变换不改变系统的能控性。结论7：（约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为对角100例

图示电路，判断系统能控性条件解

选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：例图示电路，判断系统能控性条件解选取状态变量x1=iL101即（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例

系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}不为零向量。系统能控即（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例102当k＝n时，Qk为能控性判别矩阵。对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：

＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数＝n。能控性指数连续时间线性时不变系统：定义：当k＝n时，Qk为能控性判别矩阵。对完全能控连续时间线性时不103结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足如下估计：设为矩阵A的最小多项式次数，则结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r，则系统完全能控的充分必要条件为：结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为104结论12：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，将Q表为：其中：1＋2＋＋r＝n由于rankB=r，将Q中的n个线性无关列重新排列：能控性指数满足：＝max{1，2，，r}且称{1，2，，r}为系统的能控性指数集。BA-1B结论12：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，其中：1054．3连续时间线性系统的能观测性判据

结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵结论2：连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵为非奇异。4．3连续时间线性系统的能观测性判据结论1：线性时变系统106结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为107结论4

对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵满秩，即rankQo=n结论5n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值C为复数域结论4对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分108结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征109定义：令完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为＝n。结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则设为矩阵A的最小多项式次数，则结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：定义：令完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数1104.4离散时间线性系统的能控性和能观性判据时变系统的能控性和能观性判据定义

离散时间线性时变系统如果对初始时刻h∈Jk和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻l∈Jk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控；如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻l∈Jk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。结论1离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵为非奇异4.4离散时间线性系统的能控性和能观性判据时变系统的能控111结论2若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能控的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵为非奇异若系统矩阵G(k)对一个或一些k∈[h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非奇异，则系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。结论2若系统矩阵G(k)对所有k∈[h,l-1]非112时不变系统的能控性和能达性判据

结论3离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l>0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l

>0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。时不变系统的能控性和能达性判据结论3离散时间线性时不变113结论4n维离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必要条件为矩阵满秩若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n为系统完全能控的一个充分条件。结论5对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。结论4n维离散时间线性时不变系统系统完全能达的充分必114例

设单输入线性离散系统的状态方程为试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系统是能控的例设单输入线性离散系统的状态方程为试判断系统的能控性，若115

令

若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。

令

若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统116时变系统的能观测性判据结论6离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l∈Jk,l>h,使格兰姆矩阵为非奇异时不变系统的能观测性判据

结论7离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l>0,使格兰姆矩阵为非奇异时变系统的能观测性判据结论6离散时间线性时变系统在时刻h117结论8n维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为满秩结论9若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态

结论8n维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条1184.5对偶性对于线性系统，能控性和能观测性之间在概念和判据形式上存在对偶关系，实质上反映了系统控制问题和系统估计问题的对偶。定义：对连续时间线性时变系统其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统对偶系统其中，状态X——n维行向量，协状态——n维行向量输入u——p维列向量，输入——q维行向量输出y——q维列向量，输出——p维行向量4.5对偶性对于线性系统，能控性和能观测性之间在概念和119显然，是一个p维输入q维输出的n阶系统，其对偶系统d是一个q维输入p维输出的n阶系统。d系统矩阵＝系统矩阵的转秩d输入矩阵＝输出矩阵的转秩d输出矩阵＝输入矩阵的转秩对偶系统之间具有如下属性：1.线性属性和时变属性2.系数矩阵的对偶性3.状态转移矩阵的对偶性互为转秩逆！显然，是一个p维输入q维输出的n阶系统120互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。TTTATCTBTd原构系统与其对偶系统具有相同属性。4.方块图对偶属性互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递121结论:设Σ为原构线性系统,Σd为对偶线性系统,则有Σ完全能控Σd完全能观测Σ完全能观测Σd完全能控线性时不变系统，其传递函数矩阵互为对偶系统的传递函数矩阵互为转置，特征方程式相同，特征值相同。对偶性原理结论:设Σ为原构线性系统,Σd为对偶线性系统,则有Σ122Σ完全能控Σd完全能观测根据这一原理，一个系统的状态完全能控（状态完全能观测）的特性，可以转化为其对偶系统的状态完全能观测（状态完全能控）的特性来研究。对偶原理的意义，不仅在于提供了一条途径，使可由一种结构特性判据导出另一种结构特性判据，而且还在于提供了一种可能性，使可建立了系统最优控制问题和最佳估计问题基本结论间的对于关系。Σ完全能控1234.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件

设连续时间线性时不变系统对应的时间离散化系统其中G=eAT

H=A的特征值结论1：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。将线性连续系统化为线性离散系统进行分析和控制，是现今系统与控制理论中常为采用的一种模式。4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件设连续时间线124结论2：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：不是A的特征值。其中l为非零整数结论3:对时间离散化系统，使采样周期T的值，对满足Re[i－j]=0的一切特征值，成立则时间离散化系统能控的充分必要条件是eATB为行线性无关结论4:连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数l，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。结论2：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后1254.7能控性、能观测性与传递函数的关系

结论1:单输入单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。例设单输入、单输出系统的传递函数由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论2:多输入多输出线性时不变系统能控的充分必要条件是：状态向量与输入向量之间的传递矩阵的各行在复数域上线性无关。结论3：多输入多输出线性时不变系统能观测的充分必要条件是：输出向量与初始状态向量X(0)之间的传递矩阵的各列在复数域上线性无关。4.7能控性、能观测性与传递函数的关系结论1:单输入1264．8能控规范形和能观测规范形：SISO情形

由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间描述也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间描述化成相应的几种规范形式：如约当规范型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控规范型对于状态反馈来说比较方便，而能观测规范型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种规范形，其实质都是对系统状态空间描述进行非奇异线性变换，其关键在于寻找相应的变换矩阵。本节以线性时不变SISO系统为对象，讨论能控规范形和能观测规范形的基本形式和变换矩阵的构造方法。4．8能控规范形和能观测规范形：SISO情形127线性时不变系统状态空间描述为能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性引入坐标变换，则变换后系统的状态空间描述为线性时不变系统状态空间描述为能控性能观测性在线性非奇异变换128结论1：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。能控规范形结论2：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统结论1：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异129则通过变换矩阵或则通过变换矩阵或130可将系统变换成能控规范形，即导出：注：1.能控规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，1，…，n-1｝

联系起来，对于系统综合与仿真研究很方便。2.完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。3.一个单输入系统，如果其A、b阵具有如上形式，则系统一定能控。4.单输入系统具有唯一的能控规范形。无特殊形式可将系统变换成能控规范形，即导出：注：1.能控规范形以明显131结论3：对完全能观测的n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换导出其中结论3：对完全能观测的n维单输入单输出连续时间线性时不变系132注：1.能观测规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，1，…，n-1｝

联系起来，对于综合系统的观测器很方便。2.完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。3.一个单输出系统，如果其A、c阵具有如上形式，则系统一定能观测。4.单输出系统具有唯一的能观测规范形。无特殊形式注：1.能观测规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，133例：已知线性时不变能控系统的状态方程，试化为能控规范型。解：例：已知线性时不变能控系统的状态方程，试化为能控规范型。解：1344．9能控规范形和能观测规范形MIMO情形

多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控规范型和能观测规范型，相比于单输入单输出情形，无论规范形式还是构造方法都要复杂一些。1.规范形式的不唯一性2.构造变换矩阵的复杂性本节仅讨论应用较广的龙伯格规范形。搜索线性无关的行或列的方法多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵从Qc或Qo中找出n个线性无关的列或行，通常需经过一个搜索过程。nnpnqn4．9能控规范形和能观测规范形MIMO情形135考察n维多输入多输出连续时间线性时不变系统能控性判别矩阵为若系统完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n个线性无关。nnp1.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“列向搜索方案”用格栅图的方法在Qc中搜索n个线性无关的列向量。考察n维多输入多输出连续时间线性时不变系统能控性判别矩阵为136格栅图b1b2b3b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn＝61

2

3搜索到1＋

2＋

3＝n停止。1＝3，

2＝2，

3＝1，l＝3Qc中的6个线性无关的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3

格栅图b1b2137b1b2b3b4A0A1A2A3A4A51

2

31＝3，2＝1，

3＝22.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“行向搜索方案”rankB=r<pn＝6，p＝4，r＝3搜索到1＋2＋

3＝n停止。{1,2,3}为系统的能控性指数集。Qc中的6个线性无关的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,

Ab3BABA2BA3BA4BA5Bb1b2138龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形在系统极点配置综合问题中有着广泛的用途。考察完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统能控性判别矩阵为rankB=r<p采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n个线性无关的列向量，并组成非奇异矩阵：其中{1，2，，r}为系统的能控性指数集，且1＋2＋＋r＝n龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形在系统极点配置综合问题中有着139构造变换矩阵S{1，2，，r}为系统的能控性指数集，且1＋2＋＋r＝n构造变换矩阵S{1，2，，r}为系统的能控性指140对于完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统rankB=r<p基于线性非奇异变换，可导出系统的龙伯格能控规范形对于完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统ran141无特殊形式r列P-r列无特殊形式r列P-r列142例：已知完全能控的连续时间线性时不变系统试将其变换为龙伯格能控规范形解：1.写出能控性判别矩阵Qc采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3个线性无关的列向量b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2b1b2A0A1A21

21＝2，2＝1rankB=r=p=2Qc中3个线性无关的列向量为b1，b2，Ab1例：已知完全能控的连续时间线性时不变系统试将其变换为龙伯格143由Qc中找出的3个线性无关的列向量组成非奇异矩阵：1＝2，2＝1由Qc中找出的3个线性无关的列向量组成非奇异矩阵：1＝2，144龙伯格能控规范形为：龙伯格能控规范形为：1454.10连续时间线性时不变系统的结构分解系统按能控性分解

设不完全能控n维多输入多数出连续时间线性时不变系统的状态空间描述为在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k个线性无关列q1,q2，…，qk；其次，在除Qc外的n维状态空间中，任意选取n-k个线性无关列qk+1,qk+2，…，qn，构成非奇异变换P-1

结构分解的实质是以明显的形式，将不完全能控或/和不完全能观测的系统分解为不同的四部分，其目的既可以深入了解系统的结构特征，又可以深入揭示状态空间描述与输入输出描述间的关系。能控性判别矩阵的秩4.10连续时间线性时不变系统的结构分解系统按能控性分146引入非奇异线性变换其中可使系统实现按能控性的结构分解：状态向量的非奇异线性变换，不改变系统的能控性及能控程度。引入非奇异线性变换其中可使系统实现按能控性的结构分解：状态147经非奇异变换后，系统的动态方程写为于是可得能控子系统动态方程为：不能控子系统动态方程为：由于输入u的作用，只能改变能控振型位置，不能改变不能控振型位置，这对系统分析和综合具有重要意义。结构分解形式惟一性和结果的不惟一性。基于结构分解式的能控性判据。特征值为能控振型特征值为不能控振型经非奇异变换后，系统的动态方程写为于是可得能控子系统动态方148例：已知试按能控性进行规范分解解：系统不完全能控，取能控子系统动态方程为不能控子系统动态方程为例：已知试按能控性进行规范分解解：系统不完全能控，取149系统按能观测性分解

设不能观测系统的动态方程为其能观测性矩阵Qo=[C,CA,CA2,…,CAn-1]T的秩为m<n，选出其中m个线性无关行，再加任意n-m个行，构成非奇异变换F系统按能观测性的结构分解对偶于系统按能控性的结构分解。系统按能观测性分解