191勾股定理（沪科版）

1、19.1勾股定理,第一课时,受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高,毕达哥拉斯 (公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家,情境再现,相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客在宴席上他看着朋友家的方砖地面发起呆来主人觉得非常奇怪，就想过去问他谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.后来知道是因为他从中发现了直角三角形三边的数量关系，赶着回家证明去了,那么，他朋友家的地板到底是怎样呢？我们也观察一下看看能发现什么,A、B、C的面积有什么关系,如果用三角形的边长表示正方形面积，你会发现等腰直角三角

2、形三边有什么关系,SA+SB=SC,等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上述结论是否依然成立,a2 + b2 = c2,A,B,C,图1,图2,4,9,13,9,25,34,sA+sB=sC,两直角边的平方和 等于斜边的平方,分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论,交流与猜想,设：直角三角形的三边长分别是a、b、c，猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系,a,b,a2+b2=c2,每个小方格的面积均为1,c,b,C,a,合作探究,利用准备好的四个全等的直角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边,动手实践：这四个全等的直角三角形可

3、以拼成一个正方形吗？有些什么不同的方法,思考：拼出的正方形面积用含a、b、c的式子可以怎么表示？ 能得到我们要证明的结论吗,方法一,验证猜想,a2 + b2 = c2,b,C,a,大正方形的面积可以如何表示,ba,方 法 二,a,a,b,c,a2 + b2 = c2,b,大正方形的面积可以如何表示,这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图”赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色,史话弦图,赵爽弦图,有趣的总统证法: 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,a2 + b2 =

4、 c2,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,a2 + b2 = c2,勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方,c,b,a,公式变形,c2=a2 + b2,a2=c2b2,b2 =c2-a2,受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高,学以致用,已知直角三角形任意两边求第三边,学以致用,勾股定

5、理有什么作用呢,一定要在直角三角形中哦,1.在ABC中, C=90，a =6,c=10, 则b=_,8,牛刀小试,2、 ABC中，C=90 若a=3cm, b=4cm,则c= _cm 若a=12cm, c=13cm,则b= _ cm 若c=17cm, a =8cm,则b= _ cm,5,5,15,第二课时,19.1勾股定理,1、 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,2、勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和， 等于斜边c的平方:,3、勾股定理的主要作用是 ：在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长,复习回顾,4、我们利用“面积法”证明勾股定理，这体现了

6、数学中数形结合的思想,判断题： 直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的式子： a2+b2 =c2 ( ) . . 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5. (,能力比拼,1、如图已知a3，b4 求c=,2、如图已知： c 10，a6， 求b=,3、如图已知： c 13，a5， 求阴影部分面积,运用勾股定理时应注意： 在直角三角形中，认准直角边和斜边； 两直角边的平方和等于斜边的平方,4、在 ABC中, C=90,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_,斜边为上的高为_,24,4.8,15,120,小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，

7、发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗,售货员没搞错,想一想,荧屏对角线大约为74厘米,勾股定理在实际生活中的应用,即 742 = 5476,3,1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了_步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步,勾股定理在实际生活中的应用,4,5,A,B,C,路,4,2、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6米，问至少需要多长的梯子,8m,B,C,A,6m,解：根据勾股定理得： AC2= 62 + 82 =36+64 =100 即：

8、AC=10（不合题意，舍去） 答：梯子至少长10米,古代笑话一则 有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。请问同学们这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适,探究1,一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么,2m,D,C,A,B,1m,第三课时,19.1勾股定理,c,b,a,c2=a2 + b2,a2=c2b2,b2 =c2-a2,勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,判断正误,一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为,复习,1.一个直角三角形的两边长分别为3和

9、4,则第三边长为 2直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为10cm，则这个直角三角形的面积为，斜边上的高为 等腰ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，则底边上的高为，面积为_ 5等腰直角ABC中，C=90，AC=2cm，那么它的斜边上的高为,6cm,cm,练一练,一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗,A,C,O,B,D,探究2,一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗,A,C,O,B,D,探究2,

10、一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗,A,C,O,B,D,探究2,从题目和图形中，你能得到哪些信息,分析: DBODOB 求BD,可以先求OB、OD,阿满想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来旗杆的高度吗,A,B,C,5米,x+1)米,x米,如图，某公园有这样两棵树，一棵树高8m，另一棵树高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 多少米,8m,2m,8m,第四课时,19.1勾股定理

11、,试一试,在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少,D,A,B,C,解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD =AB =（x+1）尺,在直角三角形ABC中，BC=5尺,由勾股定理得：BC2+AC2=AB2,即 52 + x2 = (x+1)2,25 + x2 = x2 +2x + 1,2x = 24,x =12， x+1=13,答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺,A,D,C

12、,B,D,B,A,说明：在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要的应用在有直角三角形时，可直接应用；在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造重要条件,如图，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13.求SABC,C,A,D,B,如图，已知：在中，D于，交于，求的周长,E,C,A,1,1,1,如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗,C,解：连结BE,DE是AB的中垂线 AE=BE,在RtABC 中 根据勾股定理,设AE = x，则EC=(10 x,BE2=BC2+

13、EC2,x2=62 (10 x)2,解得 x = 6.8,EC=106.8=3.2cm,折叠问题,第五课时,19.1勾股定理,如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕,若AB=9,BC=3,求FC的长,解：由已知AF=FC,设AF=x，则FB = 9x,在R t FBC中，根据勾股定理: FC2=FB2BC2,即 x2=(9x)232,解得 x=5 即 FC=5,折叠问题,D,x,矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕EF的长,A,B,C,D,F,E,x,10,10,8,6,4,8x,折叠问题,设EF = x,如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米,18,30,24,在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高,D,A,B,C,