预讲练结四步教学法高中数学 25平面向量应用举例练新人教A版必修4

1、 2. 5平面向量应用举例（练） 一、选择题，则两个力的合力的大3N51一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为) ( 小为 A103N B0N 65N CD.56N 2C 答案 253解析5 根据向量加法的平行四边形法则，合力6(N)f的大小为则小船在静水的速度驶向对岸，河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s2) 中的速度大小为( 26m/s 210m/s AB12m/s DC46m/s B 答案|v|2，船的实际速度为v，则|v1|，小船在静水中的速度为解析 设河水的流速为v1v2v1. v10， 0，vv1v2vv1v22vv1v2|v2|110004

2、 104226. 3(2010山东日照一中)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，x1y1的值为(则 ) x2y222A. B 3355C.D 66答案 B 解析 因为|a|2，|b|3，又ab|a|b|cosa，b23cosa，b6，可得cosa，b1.即a，b为共线向量且反向，又|a|2，|b|3，所以有3(x1，y1)2(x2，2(x2y2) 3y1x1222x2，y1y2，所以y2)?x1，从而选B. 333x2y2x2y24已知一物体在共点力F1(lg2，lg2)，F2(lg5，lg2)的作用下产生位移S(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为(

3、 ) Alg2 Blg5 C1 D2 答案 D 解析 W(F1F2)S(lg2lg5,2lg2)(2lg5,1)(1,2lg2)(2lg5,1)2lg52lg22，故选D. 5在ABC所在的平面内有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是( ) 11B. A. 23- 1 - 32 D. C. 43C 答案 边上的三等是CA，所以点P0PC，即PC2AP解析 由PAPBPCAB，得PAPBBAPBCS2PC. 分点，如图所示故3ACABCS 5，则(10,10)(4，3)，设开始时点P的坐标为6点P在平面上作匀速直线运动，速度v) m)( 速度单位：秒后点P的坐标为(m/s，

4、长度单位：30,25) (2,4) BA(10) (5，5) DC(10C 答案 的坐标为：解析 5秒后点P 3)(10，5)10,10)(5(4，) e| ，则( 满足：7已知向量a，eae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae) (aaAae Be) (ae)Ce(ae) D(aC 答案 ，解析 由条件可知|ate|2|ae|2对tR恒成立，又|e|1 et2aeR10对t恒成立，t22a 即4(ae)28ae40恒成立 1)20恒成立，e(a0. (ae1)20e1，a而 e)0，即ee)(ae2即ae1，e(a，nOB，设OCmOA30OB，已知|OA|1|OB|3，OA，点C在A

5、OB内，AOC8m) 则( n13 BA. 333 3 CD. 3 2B 答案 ，nOAOAm|OA|2OBm解析 OC |23n，nmOAOCOBOB|OBm|m|OC|OA|cos303. ，1n3ncos60|OC|OB- 2 - 二、填空题 的取值范围是_，且a与ab的夹角为锐角，则实数b9已知a(1,2)，(1,1)5 答案 且03a与a b均不是零向量，夹角为锐角，解析 5a(ab)0，530，. 3当a与ab同向时，abma(m0)， 即(1，2)(m,2m) 01m? ，得1m22m?5且0. 310已知直线axbyc0与圆O：x2y24相交于A、B两点，且|AB|23，则OA

6、OB_. 答案 2 解析 |AB|23，|OA|OB|2， AOB120. OAOB|OA|OB|cos1202. 三、解答题 11已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB. 求证：ADCE. 证明 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 a12?0，a，a. E，C(0,0)A(a,0)a，则，B(0，a)，D，设AC?323a12?a，a，a. AD，CE?3231a2ADCEaaa0，ADCE. 32312ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：ADBFDC. 证明 如图

7、，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC(2，2) 设AFAC， - 3 - ，22)，(0,2)BAAF(2，2)(2则BF1,2) 又DA( 0，DA由题设BFDA，BF2. )0，22(2232412?， ，DFBFBFBD，?3333又DC(1,0)， DADB5cosADB， 5|DA|DB|DFDC5cosFDC， 5|DF|DC|又ADB、FDC(0，)，ADBFDC. 13(2010江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线

8、的长； (2)设实数t满足(ABtOC)OC0，求t的值 解析 (1)由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则ABAC(2,6)，ABAC(4,4) 所以|ABAC|210，|ABAC|42. 故所求的两条对角线长分别为42和210. (2)由题设知OC(2，1)，ABtOC(32t,5t) 11由(ABtOC)OC0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t. 514一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？ 解析 如图所示，设AC为

9、水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题意ACAE，在RtADE和?ACED中， |DE|AC|2，|AD|4，AED90. - 4 - 2|DE，|23|AD|2|AE|10.5h. ，用时sinEAD，EAD302 120答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成角时能最快到达B码头，用时半小时1三点共上，且BNBD，求证：M，N，C在15在?ABCD中，点M是AB的中点，点NBD3 线 . BM证明 MNBN111 )BNBA，BD(BABC因为BM332111 BC所以MN，BABA23311. BABC631 BABC，由于M

10、CBCBM2MN. 3MN，即MC可知MC又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线 16如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PAEF. 分析 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出PA和EF的坐标，证明其模相等即可 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 ?2222?， ，(0)，则FE，Pa)a，则A(0，设|DP|，a，0?2222?2222?，PA所以EF ，a，a?2222因为|EF|222aa2，|PA|222aa2，所以|EF|PA|， 即PAEF. 17如图所示，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAC，E是垂足，F是DE的中点，- 5 - BE. 求证AF ABAC，且D是BC的中点，证明 0. BD，ADADBC0. AEDE又DEAC， DE的中点