高中物理奥林匹克竞赛专题分子动理论共66张

1、首,页,上,页,下,页,退,出,1,第六章,气体动理论基础,6-1,平衡态,温度,理想气体状态方程,6-2,理想气体压强公式,6-3,温度的统计解释,6-4,能量均分定理,理想气体的内能,6-5,麦克斯韦分子速率分布定律,6-6,玻耳兹曼分布律,6-7,分子的平均碰撞次数和平均自由程,6-8,气体内的输运过程,首,页,上,页,下,页,退,出,2,6-1,平衡态,温度,理想气体状态方程,6.1.1,平衡态,1,热力学系统,热力学系统分类,根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种,1,孤立系统与外界既无能量交换，又无物质交换的系统,2,封闭系统与外界只有能量交换，但无物质交换的系统,3,开

2、放系统与外界既有能量交换，又有物质交换的系统,由大量微观粒子（分子、原子等微观粒子）所组成的宏观,物体或系统,平衡态,指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性,质不随时间变化的状态,称热平衡态,首,页,上,页,下,页,退,出,3,系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡,热平衡、相平衡中,从微观的角度应理解为动态平衡态,若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很,大，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡,态时，上述宏观量不仅是,稳定的,指不随时间变化）还是,均匀,的,即不随位置变化,平衡态是一种是理想概念,处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此,

3、可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来,描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫,系统的宏观参量,首,页,上,页,下,页,退,出,4,我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几,个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态,参量,主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量,化学参量，电磁参量,体积,V,压强,P,热力学温度,T,摩尔数,v,6.1.2,温度,温度概念,温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量,温度概念的建立是以热平衡为基础的,首,页,上,页,下,页,退,出,5,首,页,上,页,下,页,退,出,6,处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性,质，我们把描述系统

4、这一共同宏观性质的物理量称为系统的,温度,温标,温度计,温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标,即,温度的数值表示法,其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性,其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性,其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷,热程度分为若干度,主要有三个步骤,温度计,即测温的工具,首,页,上,页,下,页,退,出,7,热力学温标,规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡共存的状态）为,273.16K,一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文,lord,Kelvin,在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热,力学温标,例如，（一个大气压下,对水的冰点，

5、华氏温标为,32F,0,攝氏温标为,0C,0,对水的沸点，华氏温标为,212F,0,攝氏温标为,100C,0,由热力学温标可导出摄氏温度,t,选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所,得的温度数值，一般情况下并不完全相同,首,页,上,页,下,页,退,出,8,6.1.3,理想气体状态方程,1,理想气体,2,理想气体的状态方程,热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样,的关系叫系统的状态方程,弹,性,分,子,与,器,壁,间,分,子,间,忽,略,分,子,间,作,用,力,从,微,观,定,义,理,想,三,大,实,验,定,律,P,不,太,高,不,太,大,在,室,温,下,从,宏,观,定

6、,义,克拉珀龙方程,RT,M,M,PV,mol,式中是气体普适常量，在中,8.31,J,mol,1,K,1,M,mol,是气体的摩尔质量,过程方程,2,2,2,1,1,1,T,V,P,T,V,P,首,页,上,页,下,页,退,出,9,状态图（图、图、图,气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态,图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同,的状态在状态图中对应点不同,在状态图中，一条光滑的曲,线代表一个由无穷多个平衡态,所组成的变化过程，如右图所,示,1,1,1,T,V,P,A,2,2,2,T,V,P,B,曲线上的箭头表示过程进,行的方向,由于非平衡态不能用一组确切的状态参量

7、来描述，因此在,状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之,对应,首,页,上,页,下,页,退,出,10,6-2,理想气体压强公式,6.2.1,分子模型,3,分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守,动量和能量守恒定律,即,理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守,经典力学规律的弹性质点,1,分子可以看作质点,除特别考虑,2,除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力,首,页,上,页,下,页,退,出,11,6.2.2,分子性质,每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶,然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具,有统计平均意义，称为统计规律性,在平衡态，当重力的影

8、响可以忽略时，容积内各处的压,强、密度、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动,故我们可以认为,6,1,1,每个分子向各个方向运动的机会均等,6,N,2,对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等,首,页,上,页,下,页,退,出,12,以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质,4,每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰,撞而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同,分子，不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子,2,2,2,2,3,1,v,v,v,v,z,y,x,例如,2,2,2,2,z,y,x,v,v,v,v,3,分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等,首,页,上,

9、页,下,页,退,出,13,压强的统计解释,设器壁光滑，考虑速度为,v,i,的分子,现讨论其对于,面的碰撞,i,v,x,v,y,v,z,v,x,y,z,1,l,2,l,3,l,1,A,2,A,0,设一容器，边长为,1,2,3,内有个分子,i,x,i,x,i,x,i,x,mv,mv,mv,P,2,对于,i,分子,先考察一个分子（例如,i,分子）一次碰撞中给予器壁,A,1,的,冲量,ix,mv,2,由牛顿第三定律,i,分子给予器壁的冲量为,首,页,上,页,下,页,退,出,14,i,分子在单位时间内施于,A,1,面的平均冲力,i,分子单位时间内与,A,1,面碰撞的次数为,1,2,l,v,i,x,则,i

10、,分子单位时间内施于,A,1,面的总冲量（冲力）为,1,2,2,l,v,mv,ix,ix,力,秒,次,秒,其量纲关系为（力,所有分子在单位时间内对器壁的冲力,对,i,求和,2,1,1,1,ix,N,i,A,v,l,m,F,2,2,2,2,1,1,2,Nx,x,x,N,i,ix,v,v,v,v,N,v,v,v,v,Nx,x,x,x,2,2,2,2,1,2,故若令,表示分子在,X,方向速率平,方的平均值,2,1,1,ix,mv,l,N,i,ix,v,l,m,1,2,1,首,页,上,页,下,页,退,出,15,2,1,2,x,N,i,ix,v,N,v,那么,于是所有分子在单位时间内施于,A,1,面的冲

11、力为,2,1,x,v,N,l,m,N,i,ix,ix,N,i,A,v,l,m,v,l,m,F,1,2,1,2,1,1,1,求压强的统计平均值,3,2,1,l,l,l,N,n,令,为分子数密度（即单位体积内的分子数,又由统计平均的观点有,2,2,3,1,v,v,x,所以,2,3,1,v,nm,P,3,2,1,l,l,F,P,A,由压强的定义,2,3,2,1,x,v,m,l,l,l,N,2,1,3,2,2,v,m,n,首,页,上,页,下,页,退,出,16,引入分子平均平动动能,2,2,1,v,m,w,压强的微观解释,2,气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞,冲力的时间平均值,因此，对

12、少量分子或个别分子上述公式不成立,气体压强与大气压强的区别,前者如上所述，后者则是空气重量所致,w,n,P,3,2,1,压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的,统计平均结果,这就是宏观量,P,与微观量,之间的关系,w,首,页,上,页,下,页,退,出,17,6-3,温度的统计解释,6.3.1,温度的统计解释,RT,M,M,PV,mol,RT,M,V,M,P,mol,Nm,M,m,o,l,A,M,Nm,1,A,N,m,P,R,T,V,N,m,理想气体方程,nkT,P,A,R,k,N,玻尔兹曼恒量,1,23,23,10,38,1,10,022,6,31,8,K,J,k,在中,A,N,R,T

13、,V,N,nkT,为阿伏加德罗常数,A,N,首,页,上,页,下,页,退,出,18,w,n,nkT,P,3,2,则有,3,2,w,k,T,2,1,3,2,2,mv,kT,或,w,温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量,宏观量温度,T,是一,统计概念,上式给出的是“动态”的含义，非平衡态系统不能用温,度,来描述,是,大量分子,无规则热运动的集体表现，是,分子平均平动,动能的量度,此即宏观量,T,与微观量,的关系，这说明,首,页,上,页,下,页,退,出,19,4,温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质,心参照系，平动动能是系统的内动能,上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子,的

14、平均平动动能就相同,nKT,P,6,阿伏加德罗定律的一种表述,即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密,度相同,这是一个很有用的公式,温度和系统的整体运动无关,例如铜块中的自由电子在时平均平动动能为,4.23eV,3,零点能的问题,首,页,上,页,下,页,退,出,20,6.3.2,气体分子的方均根速率,kT,v,m,2,3,2,1,2,m,KT,v,3,2,称之为气体分子的方均根速率,mol,M,RT,3,首,页,上,页,下,页,退,出,21,6-4,能量均分定理,理想气体的内能,6.4.1,自由度,什么叫自由度,决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数,首,页,上,页,下,页,退,出

15、,22,X,Y,Z,X,Y,Z,C,c,理想气体的刚性分子,A,单原子分子,3,个自由度,视作质点,B,双原子分子,决定质心,3,个自由度,确定转轴方位,2,个自由度,中的两个,C,三原子以上的分子,6,个自由度,视为刚体,实际气体,不能看成刚性分子，因原子之间还有振动,5,i,气体分子的自由度,与气体分子的结构有关,6,i,首,页,上,页,下,页,退,出,23,6.4.2,能量均分定理,kT,v,m,2,3,2,1,2,2,2,2,2,3,1,v,v,v,v,z,y,x,而,2,1,3,1,2,1,2,1,2,1,2,2,2,2,v,m,v,m,v,m,v,m,z,y,x,1,分子的平均平动

16、能平均地分配在每一个平动自由度上，且,每一个平动自由度上的平均平动能的大小都是,1/2)kT,之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，相互碰,撞后达热平衡的结果,2,3,3,1,kT,kT,2,1,首,页,上,页,下,页,退,出,24,2,能量按自由度均分定理,上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间,都能通过碰撞而交换能量）。即得,在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那,一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势,在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相,等，每一个自由度的能量均为,kT,2,1,这就是能量按自由度均分定理,3,气体分子的平均总动能，气体

17、分子的热运动能量,1,一个自由度为,i,的刚性分子所具有的平均总动能为,kT,i,k,2,首,页,上,页,下,页,退,出,25,单原子分子,kT,k,2,3,全为平均平动能,双原子分子,kT,k,2,5,kT,2,3,平均平动能为,平均平动能为,多原子分子,kT,k,2,6,平均转动能为,kT,2,3,kT,2,3,动动能和振动势能,包括振动自由度上的振,还应,其热运动能量,因其还有振动自由度,对于非刚性分子,就是分子的热运动,分子的平均总动能,对于刚性分子,2,首,页,上,页,下,页,退,出,26,6.4.3,理想气体的内能,什么是内能,内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用,势

18、能之总和,内能是态函数,理想气体内能,由于理想气体不计分子间相互作用力，因此,理想气体,的内能仅为热运动能量之总和,是热力学状态参量,P,V,T,的函数，即,P,V,T,是相对量。因为状态参量是相对量,首,页,上,页,下,页,退,出,27,设热力学体系内有,N,个刚性分子，则,N,个分子的平均,总动能的总和,即内能为,kT,i,N,E,2,由于我们只讨论刚性分子，所以,理想气体刚性分子的内能,只是：所有分子的平均总动能之总和,RT,i,M,M,E,mol,2,kT,N,i,m,N,Nm,o,o,2,RT,i,M,M,mol,2,kT,i,N,E,2,首,页,上,页,下,页,退,出,28,I,这

19、说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理,想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的,温度有关，而与过程无关，即,T,R,i,T,R,i,M,M,E,mol,2,2,II,单原子气体,双原子气体,多原子气体子,RT,E,2,3,RT,E,2,5,RT,E,2,6,首,页,上,页,下,页,退,出,29,6-5,麦克斯韦分子速率分布定律,几个概念的说明,1,概率,1,离散型随机变量的概率（如掷骰子,等可能事件的概率,N,所有可能的试验结果数,m,有利于A的结果数,A,P,事件,A,出现的概率,2,连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布,随机变量在,X+dX,间隔内的概率,dX,X,

20、X,dP,X,称之为随机变量,X,的概率密度,概率具有以下性质,1,概率的取值域为,0P,A,1,2,各种可能发生事件的概率总和等于,1,即,首,页,上,页,下,页,退,出,30,考虑事件的统计规律时，个别事件的,偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地,位，而且一般说来，不可能从个别事件所,遵从的规律导出其所遵从的统计规律,对于随机变量，则为,1,dX,X,1,所有可能的试验结果,的结果数,i,于A,i,有利,i,i,A,P,此式称为概率归一化条件,2,统计分布律,一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律,3,概率和统计值都遵从涨落规律,首,页,上,页,下,页,退,出,31,6.5.1,气体分子的

21、速率分布,分布函数,如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动,速率,在经典物理中为,0,按照从小到大的排列，分,成一系列相等的速率区间，例如从,0,1,0,0,m,s,1,0,0,2,0,0,m,s,2,0,0,3,0,0,m,s,i,如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底,在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全,是偶然的，无规则的,即随机的），毫无意义的,对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对,于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规,律,首,页,上,页,下,页,退,出,32,ii,如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是,大量分子的整体，例如我们考察：

22、在某一平衡态下，分布,在各个速率区间内的分子数,占总分子数,N,的百分比,这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思,路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律,首,页,上,页,下,页,退,出,33,1,麦氏速率分布曲线,若以,v,为横轴,f,v,的值为纵轴，以分布函数作曲线，这,就是麦氏速率分布曲线,1,图中小方块面积的物理意义,小方块的面积为,v,v,f,表示分子速率分布在,v,附近,v,v,v,区间内的分子数占总,分子数,N,的百分比,v,N,N,v,f,v,f(v,v,p,N,N,首,页,上,页,下,页,退,出,34,2,曲线下总面积,由小方块面积可知，曲线下总面积为,0,dv,v,f

23、,由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为,1,是一个常数,虽然曲线形状与温度等有关，但总面积将保持不变,首,页,上,页,下,页,退,出,35,2,分布函数的归一化条件,dv,v,Nf,N,v,v,2,1,则,表示分布在,v,1,v,2,区间内的分子数,dv,v,Nf,dN,可,得,由,dv,dN,N,v,f,1,首,页,上,页,下,页,退,出,36,2,1,v,v,dv,v,f,N,N,1,0,分布在,v,1,v,2,区间内的分子数占总分子数的百分比,或一个分子的速率处于,v,1,v,2,区间内的概率,1,0,0,N,dN,dv,v,f,N,分布在,0,速率区间内所有的分子，其与总分子数的比,

24、值是,1,即,1,0,dv,v,f,这就是分布函数的归一化条件的数学表示,一个分子的速率分布在,0,的所有可能区间的概率当然是,1,首,页,上,页,下,页,退,出,37,dv,dN,N,v,N,N,v,f,v,1,0,lim,这就是麦氏速率分布函数,3,麦克斯韦速率分布函数,将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一,系列相等的速率间隔，即,v,1,v,1,v, v,2,v,2,v,然后考察,分布在速率间隔,v,v,内的分子数,N,占总分子数的百分比,N/N,为了进一步消除速率间隔,v,的影响，将比值,N/N,除,以,v,即得,N/N,v,取极限，并令极限值为以,f(v,表示,其是速率,

25、v,的确定函数。即,首,页,上,页,下,页,退,出,38,速率分布函数的物理意义,一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时,单,位,速,率,间,隔,内,的,概,率,率,v,附,近,其,分,子,的,速,率,分,布,在,速,一,个,分,子,总,分,子,数,的,百,分,比,速,率,间,隔,内,分,子,数,占,分,布,在,速,率,v,附,近,单,位,或,首,页,上,页,下,页,退,出,39,麦氏速率分布函数式,2,2,2,3,2,2,4,v,e,kT,m,v,f,kT,mv,式中,T,为气体的热力学温度,m,是分子的质量，是玻,尔兹曼恒量,6.5.2,麦克斯韦速率分布规律,一个分子在,v,v,d,v,

26、区间内的概率为,2,3,2,2,2,4,2,m,v,k,T,d,N,m,e,vd,v,N,k,t,首,页,上,页,下,页,退,出,40,6.5.3,分子速率的,3,个统计值,1,最概然速率,p,v,与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子,的最概然速率,v,p,物理意义是,对所有相同的速率区间而言，速率在含有,v,p,区间内的分子数占总分子数的百分比最大,或：气体分子的速率取,v,p,附近值的概率为最大,首,页,上,页,下,页,退,出,41,2,2,2,3,2,2,4,v,e,kT,m,dv,d,k,T,mv,kT,mv,kT,mv,e,v,kT,m,v,e,v,kT,m,2,2,2

27、,2,3,2,2,2,2,2,2,4,0,2,1,2,2,4,2,2,2,3,2,p,v,v,k,T,mv,kT,mv,e,v,kT,m,2,2,1,4,1,p,m,o,l,m,o,l,k,T,R,T,R,T,v,m,M,M,将函数,f(v,对,v,求导得,0,p,v,v,dv,df,首,页,上,页,下,页,退,出,42,2,平均速率,v,N,v,v,N,i,将麦氏速率分布函数式代入得,dv,v,e,kT,m,dv,v,vf,v,kT,mv,3,0,2,2,3,0,2,2,4,m,kT,v,8,N,vdN,0,N,dv,v,vNf,0,0,dv,v,vf,mol,M,RT,8,1.60,m,o

28、l,RT,M,首,页,上,页,下,页,退,出,43,N,v,v,N,i,2,2,m,kT,dv,v,e,kT,m,v,k,T,mv,3,2,4,4,0,2,2,3,2,2,m,kT,v,3,2,N,dN,v,0,2,N,dv,v,Nf,v,0,2,0,2,dv,v,f,v,mol,M,RT,3,1.73,m,ol,R,T,M,3,方均根速率,2,v,首,页,上,页,下,页,退,出,44,1,温度与分子速率,T,v,M,RT,v,p,mol,p,即,2,f(v,v,m,相同,设它们的温度分别为,73K,273K,1273K,6.5.4,麦克斯韦分布曲线的性质,首,页,上,页,下,页,退,出,45

29、,2,质量与分子速率,m,v,m,kT,v,p,p,1,2,即,f(v,v,T,相同,m,3,m,2,m,1,m,1,m,2,m,3,首,页,上,页,下,页,退,出,46,6,玻耳兹曼分布律,6.6.1,麦克斯韦速度分布律,前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分,子按速度的分布，就是要找出速度分量在,v,x,v,x,dv,x,v,y,v,y,dv,y,v,z,v,z,dv,z,区间的分子数占总分子数的百分比,麦克斯韦推导出了速度分布律,2,2,2,3,2,2,2,x,y,z,m,v,v,v,k,T,m,f,v,e,k,T,z,y,x,v,v,v,kT,m,dv,dv,dv,e,kT

30、,m,N,dN,z,y,x,2,2,3,2,2,2,2,在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比,即称之为气体分子的速度分布函数，为,首,页,上,页,下,页,退,出,47,6.6.2,玻耳兹曼分布律,麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布,律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密,度是均匀分布的,既稳恒又均匀,首,页,上,页,下,页,退,出,48,z,y,x,kT,mv,dv,dv,dv,e,kT,m,N,dN,2,2,3,2,2,由麦氏速度分布函数,如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场,等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这,时分子的分布除了考虑,速度

31、区间,dv,x,dv,y,dv,z,外，还,要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在,x,x+dx,y,y+dy,z,z+dz,区间内的分子数占总分子数的,比率，即考虑,位置区间,dxdydz,若,引,入,平,均,平,动,动,能,表,示,式,E,m,v,k,1,2,2,则,上,式,可,写,成,首,页,上,页,下,页,退,出,49,z,y,x,k,T,E,dv,dv,dv,e,kT,m,N,dN,k,2,3,2,即：在没有外力场时，分子按速度的分布只与分子的动能有关,如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势,能，即,p,k,E,E,E,由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分

32、子数,密度在空间的分布也将与位置有关。从某种意义上讲,统计分布律,子数密度在力场中,则是从能量角度讨论分,玻氏分布律,统计分布律,的,子数密度在没有力,是从速度的角度讨论分,麦氏分布律,首,页,上,页,下,页,退,出,50,玻耳兹曼把麦氏速度分布推广,由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数,密度在空间的分布也将与位置有关,dxdydz,dv,dv,dv,e,kT,m,A,N,dN,z,y,x,k,T,E,E,p,k,2,3,2,dxdydz,dv,dv,dv,e,kT,m,C,dN,z,y,x,k,T,E,E,K,p,2,3,2,kT,E,kT,E,E,e,e,K,p,称,玻耳兹曼

33、因子,比例常数,dxdydz,dv,dv,dv,e,kT,m,C,dN,z,y,x,k,T,E,2,3,2,上式为玻耳兹曼分布,首,页,上,页,下,页,退,出,51,1,体积元,dV=dxdydz,内的总分子数,2,2,3,0,d,e,kT,m,dV,e,n,dN,kT,E,kT,E,k,p,dv,v,e,kT,m,dV,e,n,dN,k,T,m,v,k,T,E,p,2,2,2,3,0,0,4,2,2,dv,v,d,2,4,因为在速率空间中有,所以，有,如令,n,0,表示势能,E,p,0,处单位体积内具有各种速度的分子总,数，则在空间体积元,dxdydz,内的分子数，为,dxdydz,dv,d

34、v,dv,e,kT,m,n,dN,z,y,x,k,T,E,2,3,0,2,即,首,页,上,页,下,页,退,出,52,dV,e,n,dN,kT,E,p,0,表示在空间某位置（具有,E,p,的体积元,dV,dxdydz,内的总,分子数,分子数密度按势能分布的规律,上式两边除以体积元,dV=dxdydz,kT,E,p,e,n,n,0,即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能,E,p,的增加,而呈指数衰减,0,1,dv,v,f,又,首,页,上,页,下,页,退,出,53,例,6.2,设有,N,个粒子，其速率分布函数为,0,0,0,0,0,0,0,2,2,0,2,a,v,v,v,v,a,f,v,a,v

35、,v,v,v,v,v,v,1,作出速率分布曲线,2,由,N,和,求,a,值,0,v,3,求,p,v,4,求,N,个粒子的平均速率,v,5,求速率介于,0,之间的粒子数,0,2,v,6,求,区间内粒子的平均速率,0,0,2,v,v,v,首,页,上,页,下,页,退,出,54,解,1,速率分布曲线如图,6.11,所示,图,6.11,2,由分布函数必须满足归一化条件，即,0,1,f,v,dv,有,0,0,1,2,1,2,f,vd,v,a,v,所以,0,1,a,v,3,由,的物理意义知,0,p,v,v,p,v,4,N,个粒子的平均速率,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,2,v,v,v,v,d,N,

36、a,a,v,v,f,v,d,v,v,v,d,v,v,a,v,d,v,v,N,v,v,首,页,上,页,下,页,退,出,55,5) 0,内粒子数,0,2,v,0,0,0,0,2,2,2,2,0,0,0,0,0,0,8,v,v,v,v,a,a,N,N,d,N,N,f,v,d,v,N,v,d,v,N,v,d,v,v,v,0,0,2,v,v,6,内平均速率,v,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0,2,2,0,0,7,7,8,v,v,v,v,v,v,v,v,v,v,a,v,vd,v,v,d,N,v,N,f,vd,v,v,v,v,a,N,N,f,vd,v,v,d,v,v,首,页,上,

37、页,下,页,退,出,56,6-7,分子的平均碰撞次数和平均自由程,问题的提出,前面已经说过：分子速率在几百米,秒的数量级，但为什,么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢,原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞,首,页,上,页,下,页,退,出,57,6.7.1,平均碰撞次数,碰撞频率,指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数,Z,平均碰撞频率,一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值,z,Z,2,2,Z,d,v,n,首,页,上,页,下,页,退,出,58,6.7.2,平均自由程,自由程,平均自由程,分子在连续两次碰撞之间所经历的直线路径,分子在连续两次碰撞之间所经历的直线自由程的平

38、均值,2,2,kT,d,p,当温度恒定时，平均自由程与气体的压强成反比，压强越小,空气越,稀薄,平均自由程越长,首,页,上,页,下,页,退,出,59,决定,和,的因素,z,u,d,n,z,2,这样，在,A,分子运动的路径上，凡分子中心与,A,分子中心的,距离小于或等于分子有效直径,d,的分子都会与,A,分子发生碰撞,为此我们以,A,分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径,d,为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的,分子，都会与,A,分子发生碰撞,假定气体中只有一个分子（例如,A,分子）以平均相对速率,运动，而其它分子认为是静止不运动的,u,A,u,u,首,页,上,页,下,页,退,出,60,理论证明：气体分子的平均相对速率,与平均速率,间有,u,v,v,u,2,v,d,n,z,2,2,n,d,z,v,2,2,1,n,这说明：平均自由程,与分子数密度,成反比,对于理想气体,kT,p,n,nkT,p,即,首,页,上,页,下,页,退,出,61,说,明,P,1,即,真,空,度,越,高,越,大,的,数,量,级,是,1,0,7,m,是,分,子,有,效,直,径,的,1