圆锥截线方程的投影分析

1、圆锥截线方程的投影分析假想用一个平面去剖切圆锥体，圆锥面与该平面的交线叫做圆锥截线。通常所说的圆锥截线是指它的实际形状，为了分析方便，本文先从圆锥截线的三维正交投影谈起。设圆锥轴线垂直于水平面，圆锥母线的倾角为，截平面的倾角为，以圆锥顶点作为坐标原点建立直角坐标系，如上图所示。设截平面的正面投影过任一点Q(,)。截平面与圆锥面交线（以下简称截交线）的正面投影为一直线，水平投影和侧面投影就是本文所求。由直线方程的点斜式公式，很容易得出截交线正投影的方程 z=ytg-(tg-) 联系正投影和水平投影，很容易得出辅助圆的方程 x2+y2=ztg2 联立式和式，消去变量z可得x2tg2+y2tg2-t

2、g2+2(tg-)ytg-(tg-)2=0 式即为截交线水平投影的方程。联立式和式，消去变量y可得x2tg2tg2+z2tg2-tg2+2(tg-)ztg2+(tg-)2tg2=0 式即为截交线侧面投影的方程。截平面与圆锥的相对位置不同，截交线的方程和形状也相应不同。需要分别讨论。在讨论之前，有必要明确和的取值范围：090（否则不成其为圆锥）090（否则不必要）一、当(tg-)=0即截平面过圆锥顶点时式简化为 x2tg2+y2tg2-tg2=0 式简化为 x2tg2tg2+z2tg2-tg2=0 1、时由式可得 y=tgtg2-tg2x 此时截交线的水平投影为过原点的两条直线（特殊情况=90时

3、，图像缩为一条直线y=0）。由式可得 z=tgtgtg2-tg2x 此时截交线的侧面投影为过原点的两条直线（特殊情况=90时，图像反映截交线的实际形状z=xtg）。2、=时由式可得x=0，即此时截交线的水平投影为与y轴重合的一条直线。由式可得x=0，即此时截交线的侧面投影为与z轴重合的一条直线。3、时分别由式和式可得 X=0且y=0； X=0且z=0此时截交线的水平投影和侧面投影都只是一个点（即坐标原点）。二、当(tg-)0时，也分下列三种情况讨论1、时式可变形为： y-(tg-)tgtg2-tg22(tg-)tgtg2-tg22-x2(tg-)tg2-tg22=1 此时截交线的水平投影是两条

4、双曲线（特殊情况=90时，由式可得y=,图像缩为一条直线），其实轴在y轴上，顶点坐标为： x0=0；y0=(tg-)tgtg式可变形为： z-(tg-)tg2tg2-tg22(tg-)tgtgtg2-tg22-x2(tg-)tg2-tg22=1 此时截交线的侧面投影是两条双曲线(特殊情况=90时，反映其实际形状，此时可由式得z2tg2-x22=1)，其实轴在z轴上，顶点坐标为： x0=0；z0=-(tg-)tgtgtg2、=时式可变形为： y=(tg-)2tg-tg2(tg-)x2 此时截交线的水平投影是一条抛物线，其对称轴与y轴重合，顶点坐标为： x0=0； y0=(tg-)2tg式可变形为

5、： z=-tg22(tg-)x2-(tg-)2 此时截交线的侧面投影是一条抛物线，其对称轴与z轴重合，顶点坐标为： x0=0； z0=-(tg-)23、时式可变形为： x2(tg-)tg2-tg22+y+(tg-)tgtg2-tg22(tg-)tgtg2-tg22=1 这是一个椭圆方程，即此时截交线的水平投影为一个椭圆（特殊情况=0时为一个圆，x2+y2=tg2），椭圆中心坐标为x=0，y=-(tg-)tgtg2-tg2，两个半轴长度分别为：x轴方向tg-tg2-tg2；y轴方向(tg-)tgtg2-tg2。式可变形为： x2tg-tg2-tg22+z+(tg-)tg2tg2-tg22(tg-)tgtgtg2-tg22=1 这是一个椭圆方程，即此时截交线的侧面投影为一个椭圆（特殊情况=0时为一条直线，z=）,其中心坐标为：x=0，z=-(tg-)tg2tg2-tg2，两个半轴长度分别为：x轴方向tg-tg2-tg2；y轴方向(tg-)tgtgtg2-tg2。以上就是圆锥截线的正交投影分析，文中给