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文档简介

1、椭圆型方程的五点差分格式,微分方程数值解,计算科学系,杨韧,1,椭圆型方程的五点差分格式,第三章,椭圆型方程的差分格式,0,2,2,2,2,y,u,x,u,Laplace,方程,2,2,2,2,y,x,g,y,u,x,u,Poisson,方程,2,2,2,2,y,x,g,u,y,x,f,y,u,y,x,e,x,u,y,x,d,y,u,y,x,c,x,u,y,x,a,一般方程,2,椭圆型方程的五点差分格式,3.1,正方形区域中的,Laplace,方程,Dirichlet,边值问题的差分模拟,设,是,xy,平面中的具有正方形边界,的,一个有界区域，考虑,Laplace,方程的第一边值,Dirich

2、let,问题,0,2,2,2,2,y,x,y,x,f,y,x,u,y,x,y,u,x,u,3,椭圆型方程的五点差分格式,网格节点,l,m,处的二阶中心差商代替,二阶微商,l,m,1,l,1,m,l,m,l,1,m,l,m,1,2,1,1,2,2,2,h,u,u,u,x,u,m,l,m,l,m,l,2,1,1,2,2,2,h,u,u,u,y,u,m,l,m,l,m,l,4,椭圆型方程的五点差分格式,Laplace,方程的五点差分格式,3.6,为,截断误差为,O(h,2,0,4,1,1,1,1,1,2,m,l,m,l,m,l,m,l,m,l,U,U,U,U,U,h,U,l,m,1,U,l,1,m,

3、4,U,l,m,U,l,1,m,U,l,m,1,5,椭圆型方程的五点差分格式,令,则,Laplac,方程的五点差分格式为,3.8,即,m,l,m,l,m,l,m,l,m,l,m,l,U,U,U,U,U,h,U,1,1,1,1,2,4,1,1,2,1,0,M,m,l,U,m,l,1,2,1,0,4,1,1,1,1,M,m,l,U,U,U,U,U,m,l,m,l,m,l,m,l,m,l,6,椭圆型方程的五点差分格式,例,1,用五点差分格式求解,Laplace,方程,在区域,内的近似解，边界值为,取,0,2,2,2,2,y,u,x,u,4,0,4,0,y,x,y,x,4,0,0,4,80,0,y,y

4、,u,y,u,4,0,180,4,20,0,x,x,u,x,u,1,y,x,h,7,椭圆型方程的五点差分格式,解,网格点如图所示,U,7,U,8,U,9,U,4,U,5,U,6,U,1,U,2,U,3,u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20,u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180,u(0,3)=80,u(0,2)=80,u(0,1)=80,u(4,3)=0,u(4,2)=0,u(4,1)=0,8,椭圆型方程的五点差分格式,180,4,180,4,260,4,0,4,0,4,80,4,20,4,20,4,100,4,9,8,6,9,8,7,5,8,7

5、,4,9,6,5,3,8,6,5,4,2,7,5,4,1,6,3,2,5,3,2,1,4,2,1,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,9,椭圆型方程的五点差分格式,180,180,260,0,0,80,20,20,100,4,1,0,1,0,0,0,0,0,1,4,1,0,1,0,0,0,0,0,1,4,0,0,1,0,0,0,1,0,0,4,1,0,1,0,0,0,1,0,1,4,1,0,1,0,0,0,1,0,1,4,0,0,1,0,0,0,1,0,0,4,1,0,0,0,0,0,1,0,1,4

6、,1,0,0,0,0,0,1,0,1,4,9,8,7,6,5,4,3,2,1,U,U,U,U,U,U,U,U,U,10,椭圆型方程的五点差分格式,矩阵方程,AU=K,K,由边界条件所确定，解得,U,U,1,U,2,U,3,U,4,U,5,U,6,U,7,U,8,U,9,A,1,K,55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000,45.3571 112.8571 111.7857 84.2857,T,1,0,0,0,1,0,0,0,1,4,1,0,1,4,1,0,1,4,I,B,B,I,I,B,I,I,B,A,其中,T,K,180,180,260,0,0,80,2

7、0,20,100,11,椭圆型方程的五点差分格式,12,椭圆型方程的五点差分格式,加密网格，取,h = 0.5,13,椭圆型方程的五点差分格式,14,椭圆型方程的五点差分格式,定义向量,为,从左到右，自下而上,的自然次序排列的未知函,数值，则正方形区域,中的内部节点上的,M,1,2,个线性方程,写为矩阵方程,AU=K,其中,K,由边界条件确定,T,M,M,M,M,M,M,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,1,1,1,2,1,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,2,1,1,1,2,1,0,4,1,1,1,1,M,m,l,U,U,U,U,U,m,l,m,l,m,l,m,l,m,l,15,

8、椭圆型方程的五点差分格式,1,1,4,1,1,4,1,1,4,1,1,4,M,M,B,2,2,1,1,M,M,B,I,I,B,I,I,B,I,I,B,A,16,椭圆型方程的五点差分格式,3.2,Neumann,边值问题的差分模拟,表示函数,u,沿着边界的外法线方向导数,在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替,1,0,1,0,0,2,2,2,2,y,x,y,x,g,n,u,y,x,y,x,y,x,y,u,x,u,n,u,17,椭圆型方程的五点差分格式,讨论左边界,x = 0,上的导数边值条件的差分模拟,又由点,0,m,的五点差分格式,消去,U,1,m,得,1,2,1,2,0,0,1,1

9、,M,m,g,x,u,h,U,U,m,y,m,m,m,0,4,0,1,0,1,0,1,1,m,m,m,m,m,U,U,U,U,U,0,m,1,1,m,0,m,1,m,0,m,1,18,椭圆型方程的五点差分格式,边界,x = 0,上,3.14,边界,x = 1,上,3.15,边界,y = 0,上,3.16,边界,y = 1,上,3.17,m,m,m,m,m,hg,U,U,U,U,0,1,0,1,0,1,0,2,2,4,m,M,m,M,m,M,m,M,m,M,hg,U,U,U,U,1,1,1,2,2,4,0,0,1,0,1,1,0,2,2,4,l,l,l,l,l,hg,U,U,U,U,M,l,M,

10、l,M,l,M,l,M,l,hg,U,U,U,U,1,1,1,2,2,4,19,椭圆型方程的五点差分格式,边界,x = 0,2U,1,m,U,0,m,1,4U,0,m,U,0,m,1,2U,M-1,m,U,M,m,1,4U,M,m,U,M,m,1,U,l,1 , 0,4U,l,0,U,l,1 , 0,2U,l,1,U,l,1 , M,4U,l,M,U,l,1 , M,2U,l,M-1,边界,x = 1,边界,y = 0,边界,y = 1,20,椭圆型方程的五点差分格式,在顶点,0,0,取偏导数的平均值作为外法线方向,导数,用一阶中心差商代替微商,在顶点,0,0,五点差分格式为,故,0,0,2,

11、0,0,g,y,u,x,u,1,0 0,0 1,0,0,1,0,-1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,2,2,2,g,h,U,U,h,U,U,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,4,hg,U,U,U,U,0,4,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,U,U,U,U,U,0,0,0,0,1,0,0,1,4,4,2,2,hg,U,U,U,21,椭圆型方程的五点差分格式,在四个顶点,0,0,0,M,M,0,M,M,0,0,1,0,0,1,0,0,4,2,2,4,hg,U,U,U,M,M,M,M,hg,U,U,U,0,1,0,1,0,4,2,2,4,0,0,1,1,0,4,2,2,4,M

12、,M,M,M,hg,U,U,U,M,M,M,M,M,M,M,M,hg,U,U,U,1,1,4,2,2,4,22,椭圆型方程的五点差分格式,例,1,在单位正方形区域上解,Laplace,方程的,Nenmann,问题,解,网格节点如图所示,2,1,1,0,1,0,0,2,2,2,2,h,y,x,y,x,g,n,u,y,x,y,x,y,x,y,u,x,u,U,7,U,8,U,9,顶点,U,4,U,5,内点,U,6,边界点,U,1,U,2,U,3,23,椭圆型方程的五点差分格式,矩阵方程为,9,8,7,6,4,3,2,1,9,8,7,6,5,4,3,2,1,2,2,0,2,2,2,4,2,0,2,0,

13、0,0,0,0,1,4,1,0,2,0,0,0,0,0,2,4,0,0,2,0,0,0,1,0,0,4,2,0,1,0,0,0,1,0,1,4,1,0,1,0,0,0,1,0,2,4,0,0,1,0,0,0,2,0,0,4,2,0,0,0,0,0,2,0,1,4,1,0,0,0,0,0,2,0,2,4,g,g,g,g,g,g,g,g,h,U,U,U,U,U,U,U,U,U,24,椭圆型方程的五点差分格式,令,则矩阵方程为,B,I,I,B,I,I,B,A,I,B,2,2,1,1,1,4,2,1,4,1,2,4,T,g,g,g,g,g,g,g,g,g,9,8,7,6,4,3,2,1,2,2,0,2

14、,2,T,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,9,8,7,6,5,4,3,2,1,hg,AU,2,25,椭圆型方程的五点差分格式,3.3,混合,Robins,边值条件,0,2,2,2,2,y,x,y,x,n,u,y,x,u,y,x,y,x,y,u,x,u,其中,0,y,x,y,x,26,椭圆型方程的五点差分格式,例,1,用五点差分格式求解,Laplace,方程,在区域,内的近似解，边界值为,取,0,2,2,2,2,y,u,x,u,4,0,4,0,y,x,y,x,4,0,0,4,80,0,y,y,u,y,u,4,0,180,4,0,0,x,x,u,x,u,y,1,y,x,h,27,椭圆型方程

15、的五点差分格式,解,网格节点如图所示,U,10,U,11,U,12,U,7,U,8,U,9,U,4,U,5,U,6,U,1,U,2,U,3,u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180,u(0,3)=80,u(0,2)=80,u(0,1)=80,u(0,0)=80,u(4,3)=0,u(4,2)=0,u(4,1)=0,u(4,0)=0,28,椭圆型方程的五点差分格式,180,4,180,4,260,4,0,4,0,4,80,4,0,4,0,4,80,4,0,2,4,0,2,4,80,2,4,12,11,9,12,11,10,8,11,10,7,12,9,8,6,11,9,8

16、,7,5,10,8,7,4,9,6,5,3,8,6,5,4,2,7,5,4,1,6,3,2,5,3,2,1,4,2,1,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,29,椭圆型方程的五点差分格式,180,180,260,0,0,80,0,0,80,0,0,80,4,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,4,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,4,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,4,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1

17、,0,1,4,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,4,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,4,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,4,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,4,0,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,0,4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,1,4,1,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,1,4,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,U,30,椭圆型方程的五点差分格式,1,0,0,0,1,0,0,0,1,4,1,0,1,4,1,0,1,4,2,I,B,B,I,I,B,I,I,B,I,I,B,A,其中,T,K,180,180,260,0,0,80,0,0,80,0,0,80,31,椭

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