2011年高考理科数学试题及答案 全国卷1

1、学习资料收集于网络，仅供参考 2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1） 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 2?i的共轭复数是（ (1)复数 ） 1?2i33i?ii?i ） （）D ） （B （A）（C 55（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） （0，+?） x?23 1?xy?2y?y?x x(B) y?1 （C（A） (D) ） 是（ 如果输入的N是6，那么输出的p（3）执行右面的程序框图， （A）120 （B）720 （C）1440 5040 ）（D 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自

2、参加其中一个小组，每3（4）有 ） 位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（3211）（D ） （B （C） ）（A 4323? 5）已知角（xx?2ycos2）（上，则的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线 =4343? ）D （ ） （C ）B ）（A （ 5555 6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，（ ）则相应的侧视图可以为（ 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 （7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB 为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ） 32 （C）2 A ） （B

3、） （D）3 （51a? ） 8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（?xx?2? xx?40 ）（D （C）20 ）-40 （B）-20 （A ） （ 及轴所围成的图形的面积为 （9 ）由曲线，直线xy?y2x?y?16106 ）（D （C） （ B）4 （A） 33?，有下列四个命题 （ （10）已知a与b均为单位向量，其夹角为 ） ?22? 0,?1?P:a?b,?1?P:a?b? ? 1233? ,1?P:a?P:a?b?1?b?0,? ? 4333?其中的真命题是 （ ） ,PP,PP,P,PPP （D） （C） （B）（A 31434221?，为且正周期的）（11设函

4、数最小)(?x?x?)?cos(0,(fx)?sin( 2 （ ） ，则)()x?fx?f(?3?,0,在） （B 单调递减 ） （A在单调递减 )f()f(xx? 442?3?,0,单调递增单调递增） ）在 （D在（ C)ff()(xx? 442?1?y的图像所有交点的横坐标之和等于（ (12)函数）的图像与函数 4)?2siny?x(2?x x1- 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每

5、小题5分。 3?2x?y?9,?（13）若变量满足约束条件则的最小值为 。 yx,yz?x?2?6?x?y?9, ? 2。轴上，离心率为）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在（14FF,xxOyC 212ABFVF 。16，那么的方程为 过 的直线L交C于两点，且 的周长为B,AC21 则棱锥的球面上，且,（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球32AB?6,BC?OABCD的体积为 。 ABCDO? 中，则的最大值为 ）在 。 （13AC?B?60,BC?ABC2ABV 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） ?2a2a?3a?1,a?9aa

6、. 等比数列的各项均为正数，且62321n?a的通项公式；)求数列 （n?1b?loga?loga?.?loga,求数列的前n 项和. （）设? n331n23b?n(18)(本小题满分12分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四 . ABCD,ADPD底面边形，DAB=60,AB=2 ；BD证明：()PA A-PB-C的余弦值。PD=AD，求二面角()若 分）（本小题满分12）（19102质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于某种产品的质量以其质量指标值衡量，件这种产品，并测配方）做试验，各生产了100BA的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为配方和 量了每件产品

7、的质量指标值，得到下面试验结果： 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 B配方生产的产品的优质品率；A（）分别估计用配方， t的关系式为y(单位：元)与其质量指标值（）已知用B配方生成的一件产品的利润 （以试验的分布列及数学期望.X（单位：元），求X从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为 结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 12分）20）（本小题满分（rruuuuuOA/MB ，点满足上，My = -3在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线ruuruuuruuuruuuBA?AB?MBMA?， 。M点的轨迹为曲线C 的方程；（）求

8、C 距离的最小值。点到lC在P点处得切线，求OC（）P为上的动点，l为 分）（本小题满分12（21）bxaln?x)f(03?2y?f(x)(1,f(1)xy? 。已知函数，曲线处的切线方程为在点 x?1xab 、的值；（）求klnx?)(?xf10x?xk时，（）如果当，且的取值范围。 ，求 x1x? 24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。22请考生在第、23、 - 1：几何证明选讲分）选修4 22（）（本小题满分10 ABCAC?ABC?ABED的上的点，如图，分别为且不与的边xnABADAE、的AC，m，的长为的长是关于顶点重合。已知的长为20?14x?

9、xmn 的两个根。方程 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 CBDE四点共圆；，（）证明： ，m?4,n?6C?A?90?BDE所在圆的半径。， ，且（）若，求，(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为 1?2cos?x?为参数） （?2sin?y?2?uuuvuuuvOP?2OM,P点的轨迹为曲线上的动点，P点满足C M是C21()求C的方程 2?与C 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线的异于极点的交点为A，()在以O为极点，x1 3AB . B，求与C的异于极点的交点为2 分(24)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲x(x

10、)?x?a?3f 0a? 。,其中设函数2?3x(x)?f1?a （）当的解集；时，求不等式?1?x|x?0)?f(x （）若不等式，求的解集为a的值。 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题 （1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题 22yx 23781? （13）-6 （15）（ （1614） 168三、解答题 （17）解： 12232a9aa?a?9a?q。，由所以 得（）设数列a的公比为qn 6234391?q。 a0,由条件可知故 312a?3a?12a?

11、3aq?1a?，所以。 由得 212113 学习资料 学习资料收集于网络，仅供参考1 a=。故数列a的通项式为nn n3alog?.?loga?logab ）（ n3313n2).?n?(1?2 1)n?n(? 21121)?2(? 故 1nn?bn(n?1)nn112111111?)?.?(?.?2(1?)?(?)? 1n?3nn?1bbb22n21n21? 所以数列n项和为的前 b1n?n (18)解：A3BD?AD?2AB?DAB?60?, 由余弦定理得（）因为, 222? = ABAD，故从而BD+ADBD? ABCD，可得BD又PDPD底面? BDPBDA平面PAD. 故 所以xxy

12、z，射线为坐标原点，AD的长为单位长，DA为D-轴的正半轴建立空间直角坐标系（）如图，以D? 0,0,11A,0,0P3,0?1,3,0CB0， 。,则vuuuvuuuuuv 1,0,0)(?3,?1),BC?AB?(?1,3,0),PB?(0, ruuu?0,AB?n? ? （x,y,z），则设平面PAB的法向量为n=ruu?0,?PB?n? 0?3y?x 即 0?z?3y 3)3,1,( 因此可取n=ruu?0,?PBm? ，则 设平面PBC的法向量为mruuu?0,BC?m? 72?4 3?ncosm,? ，（可取m=0-1 ） 772 27? 的余弦值为故二面角A-PB-C 7 学习资

13、料学习资料收集于网络，仅供参考 （19）解 22?8=0.3，所以用（）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为A配方生产的产品 100 。的优质品率的估计值为0.332?10?0.42，所以用配方生产的产品中优质品的频率为由试验结果知，用BB配方生产的产品 1000.42 的优质品率的估计值为?102,11090,9494,102,的频率分其质量指标值落入区间配方生产的100件产品中，（）用B 别为0.04，,054, 0.42，因此P(X=4)=0.42, P(X=2)=0.54, P(X=-2)=0.04, 的分布列为即X X的数学期望值EX=-20.04+20.54+40.42=

14、2.68 (20）解： ()设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). uuuruuuruuurMBABMA=(x,-2). =(0,-3-y), -x,-1-y）所以, =（ruuuruuuruuuMBABMA=0, 即（-x,-4-2y）+?）? 再由题意可知（ (x,-2)=0. 12x-2. 所以曲线C的方程式为y= 41112l 所以x的斜率为为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,)()设P(x,y 000224120?y?2?2y?xxx)x(?yxx?y?l 因此直线，即的方程为。 00000022|2y?x|1200?dx?2y?l，所以 的距离.点到则O又 0

15、0424x?012x?414 02 2?(x?4?)?2,d 0222x?4x?4002xl2. 点到=0时取等号，所以O距离的最小值为当0 ：）（21解 学习资料 学习资料收集于网络，仅供参考1x?)lnx?(b x?f(x)? （） 22x1)(x?1,?f(1)?1?(1,1)03?x?2y? 即由于直线 的斜率为，故，且过点?1 2,?f(1)? 2?1,b?1b?a?1 ，解得。 ?1a,?b? 2?21lnx?)?f(x （）由（）知，所以 x?1x21)1(k?1)(x?lnxk)?(?)?(2lnxf(x) 。 2xxx?1x1?21)(k?1)(x?xh(x)?2ln)(x?

16、0 考虑函数，则 x2x?1)x?2(k?1)(?h(x) 。 2x221)?(kxx?1)?h(x)0?0h(1)?h(x)10k?x? 时，。而，由知，当，故(i)设 2x10?(x)h0?(x)x?(0,1)h，可得当； 时， 2x?11?0 ）（x）（）-+）0，即f（从而当x0,且x1时，f（x x1x?x?1x12 h? (x）0, 而ii（）设0k0, 故 k1?11? 0，可得hx） 2k1?x?11h?）xh0，可得（ （而h1）=0，故当x1（，+）时，h（x）设（iiik此时1.）（x0, 2x1? 0,与题设矛盾。?0 k 综合得，的取值范围为（-， （22）解： AC

17、B中， ADEI（）连接DE，根据题意在和 AC, AD AB=mn=AE AEAD? ACB ADECAB,DAE=.又即从而 ABAC 学习资料 学习资料收集于网络，仅供参考 因此ADE=ACB 四点共圆。 所以C,B,D,E2=12. =2,x的两根为m=4, n=6时，方程xx-14x+mn=0（）21AB=12. ， AD=2故 ，因DHH点，连接作AC，AB的垂线，两垂线相交于CE的中点G,DB的中点F，分别过G，F取DH. ，半径为四点所在圆的圆心为H，D，EB，D，E四点共圆，所以C，B为C，10(12-2)=5. DF= AC. 从而HF=AG=5，由于A=90GH，故AB, HF 22 四点所在圆的半径为5故C,B,D,E 23）解：（xy,).由于则由条件知M(M点在C上，所以 （I）设P(x,y),1 22x?2cosa,?sx?4coa ?2 即?yny?4?4sia?a2?2sin? ?2?C 的参数方程为从而2?4cos?x?为参数） （?4sin4?y?8sin?4sin?CC。的极坐标方程为（）曲线的极坐标方程为 ，曲线21?4sin?CA，与的极径为的交点射线 1 133