高中新课程数学(苏教)二轮复习《必考问题5 解三角形》(命题方向把握+命题角度分析,含解析)[学校材料]

1、必考问题5解三角形【真题体验】1(2012南京、盐城模拟)在ABC中，已知sin Asin Bsin C234，则cos C_.解析因为sin Asin Bsin C234，由正弦定理可得abc234，不妨设a2k，b3k，c4k(k0)，则由余弦定理可得cos C.答案2(2010江苏，13)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cos C，则_.解析6cos C6abcos Ca2b2,6aba2b2，a2b2.由正弦定理得：上式4.答案43(2011江苏，15)在ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c.(1)若sin2cos A，求A的值；(2)若cos A，b

2、3c，求sin C的值解(1)sin2cos A，sin Acos A，cos A，又A(0，)A.(2)cos A，b3c，a2b2c22bccos A8c2，a2c.由正弦定理得：，而sin A，sin C.(也可以先推出直角三角形)【高考定位】高考对本内容的考查主要有：正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题试题类型可能是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题【应对策略】解三角形是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是与三角函数的综合更加是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解

3、答题需要熟练掌握三角形中的基本定理及其变形，以及正、余弦定理与三角函数的结合问题必备知识1正弦定理及其变形2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.2余弦定理及其推论a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.3面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.4三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：ABC.(2)ABCabcsin Asin Bsin C.(3)abco

4、s Cccos B.必备方法1三角形中的三角函数是三角函数图象和性质的一个重要方面的应用，解决的关键是要善于应用诱导公式、同角三角函数的基本关系等三角函数基础知识对三角函数解析式进行化简、变形，同时要注意有关角的范围限制2正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角3利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角命题角度一正、余弦定理与三角函数的结合问题命题要点 正、余弦定理与三角函数结合命题是高考的一个方面，往往以三角函数为载体考查解三

5、角形知识【例1】 (2012天一、淮阴、海门中学联考)已知函数f(x)sin 2xcos2x，xR.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c，f(C)0，若sin B2sin A，求a，b的值审题视点 听课记录审题视点 (1)将原函数解析式通过恒等变换化简成yAsin(x)形解决；(2)通过正、余弦定理的结合解题解(1)f(x)sin 2xsin1，则f(x)的最小值是2，最小正周期是T.(2)f(C)sin10，则sin1，0C，2C，2C，C，sin B2sin A，由正弦定理，得，由余弦定理，得c2a2b22abcos，即a2b

6、2ab3，由解得a1，b2. 对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理【突破训练1】 (2012苏州调研)在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若f(x)cos2(xA)sin2(xA)，求f(x)的单调递增区间解(1)由，得.a2b2c2bc.由余弦定理，得cos A.0A，A.(2)f(x)cos2(xA)sin2(xA)cos2sin2cos 2x.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，f(x)的单调递增区间为k，k(k

7、Z)命题角度二正、余弦定理与三角形面积的结合问题命题要点 根据条件求面积大小、最值或范围；已知三角形面积，求其它元素【例2】 (2012南通调研)在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，bcos B是acos C，ccos A的等差中项(1)求B的大小；(2)若ac，b2，求ABC的面积审题视点 听课记录审题视点 由已知条件结合三角恒等变换，正、余弦定理及三角形的面积公式解决解(1)由题意，得acos Cccos A2bcos B.由正弦定理，得sin Acos Ccos Asin C2sin Bcos B，即sin(AC)2sin Bcos B.ACB,0B，sin(AC)sin B

8、0.cos B，B.(2)由B，得cos B，即，ac2.SABCacsin B. 三角形中的面积公式一般与正弦定理、余弦定理的应用有密切关系，而在解决问题时又要充分应用三角恒等变换公式三角恒等变换公式是解决三角函数类问题、三角形问题的工具，在复习时要注意这个特点【突破训练2】 在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知sin A.(1)若a2c2b2mbc，求实数m的值；(2)若a，求ABC面积的最大值解(1)sin A，2sin2A3cos A，即2cos2A3cos A20，解得cos A或2(舍去)，又0A，A.由余弦定理，知b2c2a22bccos A.又a2c2b2m

9、bc，可得cos A，m1.(2)由余弦定理及a，A，可得3b2c2bc，再由基本不等式b2c22bc，bc3，SABCbcsin Abcsin bc，故ABC面积的最大值为.命题角度三解三角形在实际问题中的应用命题要点 应用正弦定理、余弦定理求距离或航行方向；与三角函数综合考查，求解最值等实际问题【例3】 (2012南师附中模拟)如图，现有一个以AOB为圆心角，湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)，半径OC和线段CD(其中CDOA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若OA1 km，AOB，

10、AOC.(1)用表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围审题视点 听课记录审题视点 (1)在OCD中利用正弦定理解三角形求得CD；(2)建立函数f()的关系式，求导解得解(1)由CDOA，AOB，AOC，得OCD，ODC，COD.在OCD中，由正弦定理，得CDsin，；(2)设渔网的长度为f()由(1)可知，f()1sin.所以f()1cos，因为，所以，令f()0，得cos，所以，所以.当变化时，f()，f()的变化状态如下表：f()0f()极大值所以f().故所需渔网长度的取值范围是. 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题

11、意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案【突破训练3】 (2012南京模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC，(1)设ABx米，cos Af(x)，求f

12、(x)的解析式，并指出x的取值范围(2)求四边形ABCD面积的最大值解(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理，在CBD中，BD2CB2CD22CBCDcos C.因为A和C互补，所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A.解得cos A，即f(x).其中x(2,5)(2)四边形ABCD的面积S(ABADCBCD)sin Ax(5x)x(9x).x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)由g(x)2x(x

13、214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得x4(x7和x舍)所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以S的最大值为6.故所求四边形ABCD面积的最大值为6 m2.5做到考虑问题要全面，审题要注重细节一、考虑问题不全面，造成漏解【例1】 在ABC中，若a，b，A30，则边c_.解析由正弦定理得，解得sin B，所以B或，当B时，c2；当B时，c.答案2或老师叮咛：由角的正弦值求角的大小时，要注意解的个数，防止漏解，如本题由sin B 求得B时，很容易由于考虑问题不全面而漏解.二、对题中条件不能充分应用使范围扩大【例2】 在锐角ABC中，若C2B，则的取值范围是_解析由正弦定理