高等数学第三十三讲几何应用

1、1,高等数学,第三十三讲,2,第六章,利用元素法解决,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,3,什么问题可以用定积分解决 ,由于定积分的产生有其深刻的实际背景。因此,定积分的应用也是非常广泛,利用定积分解决实际问题的关键是如何把实际,问题抽象成定积分问题,建立定积分表达式解决这类问题经常使用的方法,就是元素法,什么是元素法,我们不妨回顾一下利用定积分概,念解决曲边梯形面积及变速直线运动的路程所采用的,方法。即四步法,分割、算近似、求和、取极限,或 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限,4,定积分的元素法,定积分表达式的步骤,1、根据问题的具体情况选取一个变量。例如,为积分

2、变量，并确定它的变化区间,2、在,内任取一个典型小区间,作代表，然后求出所求量,在这个小区间上相应,部分量的近似值，即,称其为所求量,的积分元素,3、以所求量,的元素,为被积表达式，在,上作定积分，即得,这就是所求量,的定积分表达式,以上方法称为定积分的元素法（或微元法,是关键一步,5,采用元素法计算平面面积的步骤,1、取,为积分变量，其,变化区间,2.在,上任取一代表性,小区间,相应于这个,小区间上的面积,为窄矩形,3、以面积元素,上作定积分，使得所求面积,为被积表达式，在,6,如何应用定积分解决问题 ,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为

3、整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法成为元素法 (或微元分析法,元素的几何形状常取为,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,近似值,精确值,7,第一节,一、 直角坐标系情形,二、 极坐标系情形,平面图形面积,第六章,8,一、直角坐标系情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为,9,例1. 计算两条抛物线,在第一象限,所围图形的面积,解: 由,得交点,定上、下限,域边两线夹,两线,与,域中一线穿,定被积函数,10,例2. 计算抛物线,与直线,的面积,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,注：对y

4、作为积分变量上下夹定限，从左向右穿定,被积函数,11,例3. 求椭圆,解: 利用对称性,所围图形的面积,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,12,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,13,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积,解,14,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积,解,利用对称性,15,二、极坐标系情形,若将直角坐标系中的原点取为极点,轴的正半轴取为极轴,设直角坐标系中点,的坐标,极坐标系中点,的坐标,称为极坐标的极径,称为极坐标的极角,把,由极轴出发

5、逆时针方向为正,两坐标系中变量间关系,1、极坐标系,16,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答,问 的变化范围是什么,1,2,17,例1：将下列圆用极坐标表示,3,18,4,19,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,20,对应 从,例5. 计算阿基米德螺线,解,点击图片任意处 播放开始或暂停,0 变到 2 所围图形面积,21,例6. 计算心形线,所围图形的,面积,解,利用对称性,22,心形线(外摆线的一种,即,点击图中任意点 动画开始或暂停,尖点,面积,弧长,参数

6、的几何意义,23,例7. 计算心形线,与圆,所围图形的面积,解: 利用对称性,所求面积,24,例8. 求双纽线,所围图形面积,解: 利用对称性,则所求面积为,思考: 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积,答案,25,内容小结,平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,26,作业,P205 1 (1) (4) （5）; 2；4； 5 (2) , (3) ;6 B 2,27,三、极坐标系情形,第二节,一、 直角坐标系情形,二、 参数方程情形,平面曲线的弧长,第六章,28,平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限

7、,即,并称此曲线弧为可求长的,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的,证明略,则称,注：曲线,在,上光滑,在,上连续,29,一、 曲线弧由直角坐标方程给出,弧长元素(弧微分),因此所求弧长,用元素法,1） 取 x 为积分变量,2）在,上任取一个小区间,相应的,积分下限一定小于积分上限,30,例1 计算曲线,的一段弧的长度,解,31,例2. 求连续曲线段,解,的弧长,32,二、曲线弧由参数方程给出,弧长元素(弧微分),因此所求弧长,33,例3. 计算摆线,一拱,的弧长,解,34,三、 曲线弧由极坐标方程给出,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分),自己验证,注：在弧微分的计算中,则 积分下限一定小于

8、上限,35,例4. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长,解,用分部积分法,36,内容小结,平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,37,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s,提示: 交点为,弧线段部分,直线段部分,以 x 为积分变量 , 则要分,两段积分,故以 y 为积分变量,38,作业,P206 8; 9; 10 B 9,39,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第三十四讲,40,第三节,一、平行截面为已知的立体体积,二、 旋转体的体积及侧面积,立体体积及侧面积,第六章,41,一、已知平行截

9、面面积函数的立体体积,设所给立体,2 对应于小区间,的体积元素为,3 所求立体体积为,上连续,则用元素法求得,界于过,轴上,两点且垂直于,轴的两平面之间，其垂直于,轴的截面积为,的体积,1 取,为积分变量，其变化区间为,42,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积,例1,一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,43,思考: 可否选择 y 作积分变量 ,此时截面面积函数是什么 ,如何用定积分表示体积 ,提示,44,垂直 x 轴的截面是椭圆,例2. 计算由曲面,所围立体(椭球体,解,它的面积

10、为,因此椭球体体积为,特别当 a = b = c 时就是球体体积,的体积,45,二、旋转体体积,1、旋转体是指平面图形绕着该平面上某直线旋转一周,而成的立体，该轴称为旋转轴,例如：圆锥可以看着是由直角三角形绕着它的一条,直角边旋转一周而成的旋转体,球体可以看着半园绕着它的直径旋转一周而成的,旋转体,一般地说,绕着某个坐标轴旋转一周而得到的立体,旋转体总可以看着由平面上的曲边梯形,46,运用定积分计算,旋转一周围成的立体体积时,有,由连续曲线段,的立体体积时,有,由连续曲线段,直线,及,的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周形成,直线,及,轴所围成,轴所围成的曲边梯形,47,例3. 计算由椭圆,所围图形

11、绕 x 轴旋转,而成的椭球体的体积,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,利用对称性,48,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,49,例4,求曲线,解,与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积,或,利用对称性,50,柱壳体积,说明,柱面面积,51,例5,求曲线,解,与 直线 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积,52,例6. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,53,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限,

12、注,54,分部积分,注,利用“偶倍奇零”,55,柱壳体积,用柱壳法绕 y 轴旋转而成的体积为,柱面面积,56,偶函数,奇函数,57,例7 求位于曲线,与直线 y = 2 围成的,x = 0 到 x = 2 的一块平面图形,绕 y 轴旋转所产,生的旋转体体积Vy,解 先求簿圆柱壳体的体积,其高,从,58,例8. 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明,证,利用柱壳法,则,故,59,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积,提示,选 x 为积分变量,旋转体的体积为,例9,若选 y 为积分变量, 则,60,

13、例10. 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积,解: 利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,61,三、旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积,取侧面积元素,62,侧面积元素,的线性主部,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意,侧面积为,63,例1. 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式,64,例2. 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S,解: 利用对称性,绕 x 轴旋转,65,星形线,星形线是内摆线的一种,点击图片任意处 播放开始或暂停,大圆半径 Ra,小圆半径,参数的几何意义,当小圆在圆内沿圆周滚动,时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线,66,例3. 试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积,提示,方法1 利用对称性,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S,67,求侧面积,利用对称性,上式也可写成,它也反映了环面微元的另