初三数学第13讲圆的辅助线添加学生版

1、第13讲圆的常见辅助线 （不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加） （不用添加内容，也不做修改） 垂径定理解题应用举例 垂径定理的 题设和结论 结论 题设 平分弦直线(直径)?直线过圆心（直径）? 直线平分弦所对优弧?直线垂直于弦?直线平分弦所对劣弧?注意：题设中的两个条件缺一不可 。 （不用添加内容，也不做修改） （不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加） 一、利用垂径垂直平分弦，证有关线段相等，F引垂线，垂足分别为E，AB相交，过A，B向CD例1如图，AB是O的直径，弦CD与 。求证：CE=DF CM=DM，于证明：过O作OMCDM， AE/OM/FB， AECD，BFCD， AB

2、中点， 又O是 EF中点（平行线等分线段定理）， M是 CE=DF。 EM=MF， 两点是轴D 说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、 也应关于FF是垂足，那么E，对称点，欲证CE=DF，那么EF也必是轴对称点，由于E， 某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 利用垂径平分弦所对的弧，处理角的关系 二、，点到BC的距离为2cm已知ABC内接于O，且AB=AC，O的半径等于6cm，O 例2 求AB的长。不会是分析：因为不知道ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，ABC 的距离点到BC在BC为斜边，圆心OBC上，这与O直角三角形，

3、因为若是直角三角形，则所以需分两种情况进矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，为2cm 行讨论： ， 可知， ）（1 假若ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC 连结AO，于D并延长交BC中点，点A是弧BC ，可得由垂径推论 ADBC，且BD=CD 再连结OB， 这样OD=2cm， BDOB=6cm在RtOBD中， 可求出的长， 则长可求出，AD 的长。RtABD则在中可求出AB ，D于BC交AO连结 是钝角三角形，如图，若ABC ）2（ ，BC，再连结OB OD先证ODBC，平分 的长，BD长，然后求出AD由OB=6cm， OD=2cm，求出 中求出AB的长。从而在RtAD

4、B ，OB1略解：（）连结AO并延长交BC于D，连结 AB=AC， ，ADBC且BD=CD， OD=2，BO=6， 222222?6?OBOD =BD=4， 在RtOBD中，由勾股定理得： ， 在RtADB中，AD=OA+OD=8?222262?84BDAD? (cm) =4 由勾股定理可得：AB=2， BD=4）同（1）添加辅助线求出 （2 在RtADB中，AD=AO-OD=6-2=4， ?2222?4424BD?AD?3? (cm)， 由勾股定理可得：AB= 36 4。cm AB=4cm或确定圆心与三说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状， 角形的位置关系，防止丢解

5、或多解。 三、利用垂径定理，构造勾股定理 例3已知如图：直线AB与O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。 证明：作OEAB于点E， CE=ED， OA=OB， AE=BE， AC=BD。 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。 变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点， 求证：AC=BD。 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明， 所变化的是A，B两点位置。 0CD，求EB=5cm，DEB=60相交于点CDE，已知AE=1cm，的直径例4如图，OAB和弦

6、的长。 ，AE=1，EB=5 ODOFCD解：作于F，连结， AB=3， AB=6，OA= OE=OA-AE=3-1=2， 20 DEB=60，在RtOEF中， 10 EOF=30，EF=OE=1， 2 223?EF?OE OF=， 3 ，RtOFD中，OD=OA=3OF=， 在 ?2 2226?OD?OF?33? (cm)DF=， 6 (cm) OFCD，DF=CF， CD=2DF=2 因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，说明：常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解弦心距，半径问题， 决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线

7、，然后用垂径定理来解题。 AB=6cm，OCAB于CO的半径为6cm，弦，以O为圆心OC的长为半例5、如图大径作圆，交OA、OB于点D、E。 (1)求小O的半径OC的长 (2)求证：ABDE O OC的长的问题实际上是一个解直角三角形的问题，分析：求DE ABDE则可以利用三线八角来完成。而求证ABC（1） 解：OA=OB=AB=6cm AOB为等边三角形 底边AB上的高OC也是底边上的中线 22?33(6cm?3) OC=（2） 证明：AOB是等边三角形 00 DOE=60OD=OE， 在ODE中， A=AOB=60 0 ODE=60 ODE为等边三角形 ODE=A DEAB 说明：这里用到

8、了等腰三角形“三线合一”的性质，若要证明“OC垂直平分DE”，如何表达较为简便？ 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M ?BD?ADBC?AC，AM=BM . 求证：， 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、?OB或AC、BC即可 证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB C BAMO OBM中RtOAM和Rt在OBOA? ?OMOM?OBM RtRtOAM AM=BM CD对称点A和点B关于 CD对称 O关于直径 A档练习题：BP垂足为P，且，CD是O的弦，CDAB，1、（2013年潍坊市）如图，O的直径AB=12. ） AP=1:5,则CD的长为

9、（ D. A. B. C. 如右图，在，以点2年黄石)中，、(2013， 为半径的圆与，则 为圆心，的长为交于点 D. A. B. C. C 的直径，弦CD是如图，相于点G，直线与3、(2013河南省) B A D 切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】 （B） （A） ）D） （CADBC （ ，AB=8cm，且垂足为ABABO20134、（?泸州）已知的直径CD=10cm，是O的弦，CD，M ）的长为（则AC DC A Bcm 或cm或cmcm cm cm ，CD=3cmAB=8cm，垂足为点ABOD如图，?（5、2013广安）已知半径与弦互相垂直，C若 则圆O ）的半径为（ Ccm 5

10、B A Dcm 4cm cm B档练习题 6、（2013?绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ） A 4 m B 5m C 6m D 8m ）（ AB=4，OC=1，则OB的长是C7、（2013?温州）如图，在O中，OC弦AB于点， C DA B ，连E并延长交AOO于点（2013?嘉兴）如图，O的半径OD弦AB于点C，连结8、 ）的长为（ 结EC若AB=8，CD=2，则EC 8 C D A B 222 ，用图中折叠后，圆弧恰好能经过圆心O3cm?莱芜）将半径为的圆形纸片沿AB9、（2013 ） 阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧

11、面，则这个圆锥的高为（ D A B C ，则，AB，垂足为P若CD=8OP=3的直径，弦徐州）如图，、10（2013?AB是OCD ）的半径为（ O BA 10 8 D35 C ，AB=16，已知排水管的半径)(201311、浙江丽水一条排水管的截面如图所示，OB=10水面宽 是OC到水面的距离则截面圆心OD. 8 A. 4 B. 5 C. 6 档练习题C，则下列结论错DB于F，连接BC，2013、（?宜昌）如图，DC 是O直径，弦ABCD12 ）误的是（ DBC=90F=BF AC OF=CF D A B O，则C，且OC=3毕节地区）如图在O中，弦AB=8，OCAB，垂足为、13（2013

12、? ） 的半径（ 6 10 C 8 D A 5 B BAC=交AB于点E，且AE=CD=8，、14（2013?南宁）如图，AB是O的直径，弦CD ）BOD，则O的半径为（ 34 DA B 5 C 4 ）201315、（年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ D. B.4 C. A.3 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，分、12）、（2013甘肃兰州416 ，则该输水管的半径为（，水面最深地方的高度为2cm ）如果水面AB宽为8cm6cm 5cm DBA3cm 4cm C ，）中，以原点17、（2013?内江）在平面直角坐标系xOyO为圆心的圆过点A（13

13、，0 O直线y=kx3k+4与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ） A、当弦PB最长时，APC是等腰三角形。 B、当APC是等腰三角形时，POAC。 0C、当POAC时，ACP=30. 0D、当ACP=30，PBC是直角三角形。 19、（2013?宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，OB连结，CD=DE=4弦， ，则图中两个阴影部分的面积和为OD 20、（2013?宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕AB的长为 cm （2013?包头）

14、如图，点A、B、C、D在O上，OB21AC、，若BOC=56， 则ADB= 度 22、（2013?株洲）如图AB是O的直径，BAC=42，点D是弦AC的中点，则DOC的度数是 度 23、（2013?黄冈）如图，M是CD的中点，EMCD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 24、（2013?绥化）如图，在O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若O的半径为2，则弦AB的长为 25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与O相切于点A，AC、CD是O的两条弦，且CDAB， 若O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 26、（2013?张家界）如图，O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40，则BOD=

15、27、（2013?遵义）如图，OC是O的半径，AB是弦，且OCAB，点P在O上，APC=26，则BOC= 度 28、（2013陕西）如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 2920137O为坐标原点，点年广州市）如图，在平面直角坐标系中，点、（ C C G H 6,0PO,AA，则点）在第一象限，与轴交于，两点，点的半径为的坐标为（ _. P的坐标为 落在了包含一圆弧EF如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子30、(2013年深圳市)米，测得型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6的中点到弦3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH其影长为2.4米，同时测得EG的长为 GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。 E，垂足为点（2013?白银）如图，在O中，半径OC垂直于弦AB BAC；（1）若OC=5，AB=8，求tan的位置关系，并加以ODAC=BAC，且点D在O的外部，判断直线AD与（2）若 证明 1=上，在O与点E，点PAB?31、（2013黔西南州）如图，AB是O的直径，弦CD C， ；CB1）求证：PD（3，求O的直径 BC=3（2）若，sinP=5 32、（2013?恩