双曲线的几何性质_高二数学教案

1、数学教案双曲线的几何性质_高二数学教案 _模板 4双曲线的几何性质（第课时目标1 课时）1 熟悉双曲线的几何性质。2 能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。3 能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。教学过程（） 情景设置 叙述椭圆的几何性质，并填写下表：方程性质图像 （略）范围 -axa，-byb对称性 对称轴、对称中心顶点 （ a,0）、（ b,0）离心率 e= (几何意义 ) 探索研究 1类比椭圆的几何性质，探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。双曲线与椭圆的几何性质对比如下：方程性质图像

2、（略）（略）范围 -axa，-bybxa,或 x-a,y r对称性 对称轴、对称中心对称轴、对称中心顶点 （ a,0）、（ b,0） （ -a,0）、（ a,0）离心率 0e= 1e= 1下面继续研究离心率的几何意义：（ a、 b、 c、e 关系： c2=a2+b2, e= 1）2.渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把画出来吗？（不能）通过列表描点， 能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。我们能较为准确地画出曲线y= ,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x 轴、 y轴无限接

3、近）此时，x 轴、 y 轴叫做曲线y= 的渐近线。问：双曲线有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y= =当 x 无限增大时，就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=与直线 y= 无限接近。这使我们猜想直线y= 为双曲线的渐近线。直线 y= 恰好是过实轴端点a1 、a2 ，虚轴端点b1 、b2 ，作平行于坐标轴的直线所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。证法 1：如图，设m （x0,y0 ）为第一象限内双曲线上的仍一点，则x=a, y= b 与渐近线越y0=，

4、m （ x0,y0 ）到渐近线ay-bx=0的距离为：mq =点 m 向远处运动，x0 随着增大，mq 就逐渐减小，故把 y= 叫做双曲线的渐近线。3离心率的几何意义m 点就无限接近于y= e= ， c a, e 1 由等式 c2-a2=b2,可得 = = =e 越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭）e 越大越大，双曲线开口越大（开阔）4巩固练习求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。 4x2-y2=4 4x2-y2=-4已知双曲线的渐近线方程为x2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程 m （4， ） m （ 4， ） 知识应用与解题研究例 1求双曲线9y2-16x2=144

5、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例 2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图； 它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为 55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）提炼总结1. 双曲线的几何性质及a、 b、c、 e 的关系。2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。3. 双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。执教： 夏青峰 （全国小学数学赛课一等奖获得者，江苏省特级教师，江苏省无锡市江阴华士实验学校小学部校长）记录 / 评析： 张金龙 （江苏省吴江市实验小学）一、

6、课前交流“引领 ” 师：同学们，下面老师要和大家要一起度过美好的40 分钟，大家欢迎吗？真欢迎还是假欢迎？那作为小主人你想说什么？（教师亲切的话语，顿时勾起学生学习的浓厚兴趣。） 生：欢迎客人老师来到我们江苏扬州宝应县。我们的大门永远敞开欢迎您。（掌声。）师：（屏幕出示一张青蛙素描图。）你看见了什么？学生：蟾蜍。师：是青蛙啊，（众笑）哦，我画的是青蛙，你说的是蟾蜍啊。（又笑）那么我倒过来放，你又看到了什么？生：我看到了一个码头。师：看来不同的角度可以看出不同的事物。再出示一 。 ：看 了什么？生：一个人在吹喇叭。生：一个大鼻子的人在抽烟。（此 ，教 适 行健康教育，吸烟有害健康！ 学生从小知道

7、 一点，非常重要，不可小 、更不可忽 ！ 然此 看似与数学教学关系不大。） ：有没有看到漂亮女孩的 ？生：没有。生：我看到了。不同的角度可以看到不同的 西。 ：我再 大家一个非常 而又非常 答的 ，1 加 1 等于几？生： 等于 2 。 ： 了。等于 1 。你 老 教 “ ”了。 （众笑，激趣。 ） ：比如，一 橡皮泥加一 橡皮泥等于 一 橡皮泥。 ：7 加 8 等于？（1 ！）不同的 角看1 ，看到的不同。（再如， 2+5 7 ， 2+5=1 ，即： 2 天 +5天 =1周。） 析： 借班上 ， 生 前交 ，看似 、平淡、多余， 属不可或缺的必要 之一，尤其是像“第三届新教育 研 会”等 全

8、国性的重大教研活 。夏青峰 老 作 道而来的客人教 ，利用 前短 的两三分 教学，激趣引 ，从而一定程度上 短 生心理距离， 造了 松和 、自由活 的 堂氛 ， 制造了必需的学生心理磁 ；千方百 力求 堂成 学生数学思 的运 ！ 二、 起 “起跑 ” ：今天我 学 的内容是五年 学生学 的，你 三年 束，有信心学好 ？有了信心 要有好的学 方法。（跳一跳，摘果子！ ） ：今天我 学的内容是 “分数的意 ”。 （教 随即板 。 ） ：关于分数，我 已 知道了什么？（教 借用 powerpoint演 稿形式， 物投影，呈 。） 生 1：分子、分母和分数 。 ：你能 个例子 ？（教 ，引出 。） 生

9、：把一个苹果分成 2 份，取其中的1 份就是 1/2 。 （ 生 到第 3 遍，才悟出是 “平均分 ”，教 没有急于求成， 而是 学生自我 正。从而突出概念的关 “平均分 ”。 的学 是刻骨 心的！） 生 2 ：我 知道了分数的大小。比如： 4/52/5。生 3 ：我 知道分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。 ：老 也想 我自己知道的一些知 。投影出示 4 副 ： 然都表示1/4 ，但是可以看到古希腊人、古中国、古印度人、阿拉伯人用了不同的表示方法。三千多年前，用嘴巴的形状代表分数，后来逐 演 到 在的1/4，（教 依次向学生介 分数的 史渊源） 析：小学数学新 程 准指出： 数学教学活

10、必 建立在学生的 知 展水平和已有的知 基 之上。夏 老 在教学 分数的意 一概念 ，就是从学生学情出 ， 短的一句 “你已 知道了什么 ” 起了学生已有的知 ，找到了新知与旧知的 接点，改 了 的概念教学“ 复 引新 练习 巩固 ” 的程式化、 僵化的四 教学。教 借助 代教育媒体手段向学生介 分数的由来， 适 渗透了数学文化思想。 入部分，教 于知 构的 革， 于教 全新的 程理念，使学生的思 开始了有效的“起跑 ”。 三、文本 - “ 加速 ” ：你 有什么 ？你 想知道什么？（教 借用 powerpoint演 稿形式， 物投影，再次呈 。） 生 1 ：最大的分数是什么？生2 ：分数能乘

11、除 ？生3：分数可以做 用 ？生4 ： 什么会有分数？ （学生 里装 着一系列数学 ，学生的思 是期待点燃的火种！ 非数学知 的 容器！） ： 些 ， 相信大家可以通 看 ，也可以上网 料等方法自己去解决。 ： 在就 大家看 ， 哪些已 明白？哪些 不太明白，通 看 哪些可以自己解决，哪些 解决不了？我 就一起来解决。学生看 。 ：好，通 自学 本，你又知道了什么？生1 ：如果把一个 西平均分成若干分，其中有几分就可以用分数表示。生2：分数是怎么 生的？我知道了分数 生的原因。生3 ：如果把 多物体合在一起，就可以用自然数表示 ： 有什么看不懂的地方？生4 ：一个数字， 什么称它 自然数？ ：

12、 板 ： 1 与 “ 位 1” 。 （教 及 正 里的“1”是指 位 “1”，与自然数的 1是有区 的。学生 生成，教 理就地取材，“随意 ”列 ：像 在的一个班 ，一个大会 所有的人，都可以看作 位“ 1 ”。） 生 5： 什么不能 二分之一是一半呢？ （能的。 ）生6 ： 什么不 的 形可以看成一个整体？（教 “信手 ”板 板画一个个不 形，引 学生可以将它看成一个整体。） 析：建构主 教学 ： 学生的知 建构不是教 授与 出的 果，而是通 ， 通 与学 境 的交互作用来 的。如果 以往的概念教学，教 重于直 演示、通 例 学生来理解定 ，那么，新 程中， 堂活 生了 化，教 的 堂角色也

13、 生了 化。 本是知 的 体，是教 的教和学生学的中介物，它 教学起着指 作用。 文本， 使学生真正走近（ ）了“分数 ”的世界，分数的意 一 中，学生 于 位“ 1 ”的理解是一个 点， 夏 老 大胆放手 学生提出 ，辨析 ， 真正体 了学生是学 的主体，帮助学生 思 的“加速 ” 。 四、操作 “ 冲刺 ” ：我 要学会自己出 考自己。 在来 行 “ 三关 ”游 。【第一关】 ： 你的眼力。1 、出示一个 方形， 出其中的一部分， 学生目 是其中的几分之几？（1/3。 ） 什么看出三分之一？把一个 方形平均分成三份，表示 的一份。学生回答后，教 板 ：1/3 是把一个 方形平均分成 3 份

14、，表示 1份的数。 2、出示一个 ，阴影部分可用什么分数表示？（学生猜 是 1/3、 1/2、 3/8 上是一个 的八分之三）教 板 ：3/8 是把一个 平均分成 8份，表示 3 份的数。 3、教 出示的部分是整个 形的四分之一。（露出的是一个小三角形） ，你能根据老 画的，画出下面的 形 ？老 告 你，答案可能不止是一种。 学生操作， 接着上台展示自己的画。 ：关 看什么？生： 看露出一份。 （学生展示的作品多姿多彩，生生互 ，充分体 学生富于个性的思 以及每个人的主 能 性。） 老 也出示多种情况的 。（ 明有很多可能性， 展示思 的多角度。 ） 【第二关】：快速 答。 1 、 笔 ： ：

15、把6 枝 笔平均分 3 人，每人几枝？（2 枝） ：把 8枝 笔平均分 4人，每人几枝？ （ 2枝） ：把一盒 笔平均分 2 人，每人得多少？（ 1/2 ） ：把一盒 笔平均分 6 人，每人得多少？（1/6）生：把6 枝 笔平均分给 3 人，每人得其中的1/2。 ： 什么把6 枝 笔平均分 3 人，每人得2 枝， 可以用 1/2表示呢？把8 枝 笔平均分 4人，每人 2枝，可以用1/2 表示 ？假如把 100 枝 笔平均分成2 份，每一份也可以用1/2表示 ？（ 一 主要 学生弄清楚一些 笔所表示的一个整体，平均分成2份后，都可以用1/2 来表示。） 2 、画 ： ：出示 6枝 笔，我要拿走它

16、的2/3， 拿走几枝？生：4 枝。 什么？提 后板 ： 2/3 是把一盒 笔平均分成3 份，表示 2份的数。 ：出示1根小棒，我拿走了它的 1/5， 一共有几根小棒？（5 根） ：出示 2根小棒，我拿走了它的1/5 ， 一共有几根小棒？（10根） ：出示2根小棒，我拿走了它的1/5， 一共有几根小棒？ （15 根）教 出示了三幅用不同的 笔数表示相同的五分之一的画， 学生画出遮盖的部分。学生操作后，展示学生作品。小 后板 ：1/5是把（）平均分成（）份，表示 （）份的数。 （【第三关】可能由于 关系没有完成，估 是“ 手 小棒 ”之 的学生操作性游 。 ） ：（ 行 堂小 ，形成完整的 堂板

17、，将分数的意 逐 抽象、概括、提升。） ： 生 照着板 ， 行 堂小 ，教 疑 。 析：数学概念是“生活的具像 ”，又是具体形象事物的抽象与“升 ”， 小学生以形象思 主的特点，夏 老 没有直接奉献真理 把 本上 成的分数的意 告 学生， 一 的教学， 当学生 生了 烈的探索欲望后， 教 就及 了一系列的操作活 ， 了学生的多种感官来参与概念学 ，引 学生猜一猜，想一想， 手画一画， 身体 ，合作交流，向学生提供了充分从事数学活 的机会，帮助他 在自主探索和合作交流的 程中真正理解和掌握“分数的意 ”， “ 学生在做中学 ”。 教 主要抓住了不同物体所表示的整体平均分成2 份后，其中的一份都可

18、以用1/2表示；反 来，同 是1/5，由于 位 “1“不同， 上表示的 笔的枝数却不同。 整个新 的学 ， 教 看似淡化了定 概念的教学， 上引在核心 ， 在关 ， 化了定 概念，教 成了真正意 上的学 者、引 者与合作者，借助于 堂 个思 “ 运 ” ，不着痕迹地引 学生理解了分数的真正含 。数学教学也真正体 了数学活 的教学，是 生之 、学生之 交往互 与共同 展的 程。整堂 ，学生 趣盎然，就在不 意 ，学生建立了数感，理解了“分数的意 ”， 充分 明夏 老 的数学 堂是一个充 灵性、 生成的 堂， 从引 学生 “起跑 “到 “加速 ”，最后 “冲刺 ”，水道渠成，他使每个学生 得了成功

19、的体 。 松、活 、 在的数学 ，无疑 我 打开了一扇 “概念教学 ”的新 “天窗 ”！ 争 与商榷 相关 接 1 “可以 学生 不 ？！ ” 李 西老 的点 ：我特 欣 夏青峰 老 的数学 ， 这 是我迄今 止听 的最好的一堂数学 （我迄今 止只听 一趟小学数学 ）。 夏 老 的成功，在于他真正把教的 程 化成了学的 程，一切服 于学生的学 ！ 整堂 ，学生活 ， 夏 老 的引 都非常巧妙，不是 学生配合夏 老 ，而是 夏 老 去 “迎合 ”学生心灵的需要。非常精彩！ 在听 夏 老 的 候， 我不止一次地想： 如果我小学 候的数学老 是夏 老 ，那我 在可能是一名数学教 呢！当然，如果硬要挑

20、刺的 ，我也可以挑一个刺。先 一个笑 ， 在不是 鼓励学生 ？！在一堂 上，有个学生 言，把本来 是“ 6 ”的正确答案， 成“ 7 ”了，老 却表 他 ：“很好，你的答案基本上接近正确答案了！”（下面的老 大笑。）很 憾呀，今天我 的夏 老 不幸也犯了 的 “ ”当学生把八分之三 成三分之一的 候，夏 老 是 表 的：“很好，差不多！ ”我在思考：我 的老 什么不可以在 堂上 孩子 “不 ”呢？ 争 与商榷 相关 接2注重 ，追求完美 与 夏 老 商榷 蒋文利 老 的点 ： 在教育在 第三届新教育 会 上，“ 理想的 堂” 中， 听取了特 教 夏青峰 老 一 数学 ，感触很深。夏 老 由浅入

21、深，由易到 ，循序展 ，把一个大 分化成若干个小 ，分散 点， 各个突破，化 易， 步步相扣， 遵循知 的内在 律， 学生了解了“ 分数 ” 定 的来 去脉。学生在夏 老 的 引下，一步步地走 了快 的数学殿堂。一堂 ，老 思 敏捷，学生 极主 ， 生互 明 ，配合默契。但我 夏 老 于 堂 的完整性的注重 超 了 堂即 生成的本身，以至于本 有几点 得 真商榷的地方。第一、没把学生的想象力引向深入。夏 老 在 “ 三关 ” ，出示例 ： “露出的部分是整个 形的四分之一， 想象一下整个 形”， 好，手段妙，能力培养目 十分明确。不 ， 我 夏 老 点 不到位， 出示 形急于求成，一古 儿的把

22、全部答案展示了出来， 一来， 不能 是完全扼 学生的想象力，但是至少不能把学生的想象力引向深入，不能像 李 西老 的那 思 “ 碰撞 ”。想象力是人 造的源泉，没有想象就没有 造 明，特 小学生更需要想象力。假如 夏 老 在学生回答完此 之后， 启 追 ， 有其他情况 ？再 出一点 学生互相交流探 一下，我想，学生也 会找出我 教 所想不到的 果呢？比如：空 立体 （正四面体），如果学生想不到，老 可以用 物 展示， 可以 学生把正四面体涂色展开，然后再 比 交流， 既培养了学生的 手 能力， 又把新 程理念深入落 。 学生就可以在数学的海洋里 翔。因 数学的学 方式不 是 一的、枯燥的、 以

23、被 听 和 主的方式，而 是一个充 活力的 程。在 堂教学中， 学生留出足 的探索空 ， 所有的学生提供表 的机会，使学生主 参与教学思 程， 展学生的智力，培养学生能力。而喜 手是儿童的天性，所以教学 ， 尽可能多地 学生提供机会， 学生通 手操作 数学 生 趣， 而 自主探索 （当然由于借班上 ，学生学情不甚了解，又因 关系“ 三关 ”游 中的第三关未能及 完成，估 是“ 手操作 小棒 ”之 的学生操作性游 ）；并尽可能多地 学生提供合作交流的机会， 学生在交流合作中，学他人之 ， 己之短，并在交流中感受不同的 解，从而使学生从不同角度感知知 。第二、被老 忘的学生在想什么？不 哪位老 上

24、 ， 提 学生 ， 都有不 手的， 于不 手的学生， 作 老 就可以 而不 ？什么 的 堂是理想的 堂， 是 手的、 快的、和 的、主 的、全 参与的。假如你叫一个没 手的 （可能是一个成 差的学生， 也可能是一个性格内向的沉默学生） 回答 ，答 了，你的一句称 也 能改 他的自我判断；答 了，你鼓励的目光、温暖的 语，也许可以改变他的未来，但是，可惜的是，在夏 老师的这节课上，举手回答问题的很多，被叫到的也很多， 而那些始终没有举手的学生却一个也没有得到老师的垂青，无形之中，这些安静的学生便成了被遗忘的部分，成了热闹兴奋的课堂上，不被老师关心的陪衬。如果是因为公开课才造成了这种关怀的偏差的话

25、，那这不是公开课的作秀吗？如果日常课堂上也是如此，那么就更加值得反思了，因为，对于部分学生人文关怀的无意识缺失，久而久之，势必会影响其心理性格的健康发展。我想，这似乎也是一个非常值得重视的问题。函数的图象 (二 )一、教学目的1使学生进一步理解自变量的取值范围和函数值的意义2使学生会用描点法画出简单函数的图象二、教学重点、难点重点： 1理解与认识函数图象的意义2培养学生的看图、识图能力难点：在画图的三个步骤的列表中，如何恰当地选取自变量与函数的对应值问题三、教学过程复习提问1函数有哪三种表示法？(答：解析法、列表法、图象法)2结合函数y=x 的图象，说明什么是函数的图象？3说出下列各点所在象限

26、或坐标轴：新课1画函数图象的方法是描点法其步骤：(1)列表要注意适当选取自变量与函数的对应值什么叫“适当 ”？ 这就要求能选取表现函数图象特征的几个关键点比如画函数y=3x 的图象，其关键点是原点(0 ，0)，只要再选取另一个点如m(3 ， 9)就可以了一般地， 我们把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，这就要把自变量与函数的对应值列出表来(2)描点我们把表中给出的有序实数对，看作点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点(3)用光滑曲线连线根据函数解析式比如y=3x ，我们把所描的两个点(0， 0)， (3， 9)连成直线一般地，根据函数解析式，我们列表、描点是有限的几个，只需在平面直

27、角坐标系中，把这有限的几个点连成表示函数的曲线(或直线 )2讲解画函数图象的三个步骤和例画出函数y=x+0.5 的图象小结本节课的重点是让学生根据函数解析式画函数图象的三个步骤，自己动手画图练习：选用课本练习(前一节已作：列表、描点，本节要求连线)补充题：画出函数y=5x 2 的图象作业：选用课本习题四、教学注意问题1注意渗透数形结合思想通过研究函数的图象，对图象所表示的一个变量随另一个变量的变化而变化就更有形象而直观的认识把函数的解析式、列表、图象三者结合起来，更有利于认识函数的本质特征2注意充分调动学生自己动手画图的积极性3认识到由于计算器和计算机的普及化，代替了手工绘图功能故在教学中要倾

28、向培养学生看图、识图的能力课 题： 角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用 “旋转 ”定义角的概念，理解并掌握“正角 ”“负角 ”“象限角 ”“终边相同的角 ”的含义。 2.掌握所有与角终边相同的角(包括 角 )的表示方法。 3.从 “射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点： 终边相同的角的表示内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的， 并由此深

29、刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念， 并给以表示，从特殊到一般， 归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。教学过程：一、复习引入：1回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘 ”。 2生活中很多实例会不在范围如：体操运动员

30、转体 ，跳水运动员向内、向外转体经过1 小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。 二、讲解新课： 1角的概念的推广 “旋转 ”形成角一条射线由原来的位置oa ，绕着它的端点 o 按逆时针方向旋转到另一位置ob，就形成角 旋转开始时的射线oa 叫做角 的始边，旋转终止的射线ob 叫做角 的终边，射线的端点o 叫做角 的顶点突出“旋转 ” 注意： “顶点 ”“始边 ”“终边 ”“正角 ”与 “负角 ”“零角 ”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角 ”与 “负角

31、”是由旋转的方向决定的。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角记法：角或可以简记成。意义用 “旋转 ”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如： a=210b=-150 g=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转 2 周（ 3602=720）3 周（ 3603=1080）3还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。2 “象限角 ”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，

32、 我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限 ,我们称其为界限角）下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角 (各举两例 )例如：30、390、-330 是第一象限角， -195 、120是第二象限角, 585 、1180是第三象限角， 300、 -60 是第四象限角。 90、0、-180 都是界限角。 3终边相同的角观察： 390，-330 角，它们的终边都与30角的终边相同探究：终边相同的角都可以表示成 一个0 到360 的 角与个 周角 的 和 ：390=30+360 -330 =30 -360 30=30 +0360 对于任意一个角， 若其终边与相同，那么它们之间都相差360的整数倍， 则，等它们的始边和终边都相同。结论： 所有与角 终边相同的角连同a 在内可以构成一个集合：（即：任何一个与角a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和。 ）注意以下四点： (1) ；(2) a