函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

1、精品文档函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用、知识回顾：1、对于给定区间D上的函数f(x)，如果，则称f(x)是区间D上的增(减)函数.2、 判断函数单调性的常用方法：观察图像法、定义法3、关于函数单调性还有以下一些常见结论： 两个增(减)函数的和为 ; 一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是； 奇函数在对称的两个区间上有 的单调性；偶函数在对称的两个区间上有的单调性；4、函数的奇偶性：(1)对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：如果 那么函数f(x)为奇函数；如果，那么函数f (x)为偶函数.(2)奇函数的图象关于 寸称，偶函数的图象关于 寸称.周期函数的定义：对于函数f x，存

2、在非0常数T,使得对于其定义域 内总有f x T f x，则称的常数T为函数的周期。5、函数的周期性f x的周期为2a ;如f x af x的周期为2a ；如f x af x的周期为4a ；对于三角函数y As in xB.y A cos xB，其周期T对于y Atan xB.y Acot xB，其周期T若yf x关于直线x a, x b ab对称，则yf x 一定为周期函数，2 b a为y f x的周期二、例题例 1、已知 f (x)ax7bx5 cx3 dx 5，其中 a,b,c,d 为常数，若 f ( 7)7，则f (7) (构造奇偶函数)变式1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，贝U

3、f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=变式2、已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在0,)上递减，那么一定有A.f( 3)4f(a2a 1)B.f( 3)4f(a2a 1)C.f ( 3)f(a2a 1)D.f ( 3)f(a2a 1)44例2、若f(x)=-x2+2ax与g(x) 在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是x 1A ( 1,0) (0,1) B(1,0) (0,1 C. (0, 1) D. (0,1变式1、若函数 f(x)=a x b在0,+ %上为增函数,则实数 a、b的取值范围是.例3、已知奇函数f (x)是定义在(2,2)上的减函数，若f (m 1) f

4、 (2m 1)0,求实数m的取值范围变式1、已知f(x)是R上的增函数，A (0, 1) , B (3,1)是其图象上的两点，则不等式|f(x 1)| 1的解集为例4、已知函数f(x) x 22 ax 2(1) 若方程f(x)0有两不相等的根，求a的取值范围；(2) 若函数f(x)满足f (2) f (0)，求函数在x 5,5 的最大值和最小值；(3 )若a为任何实数，讨论f(x)在x 5,5的最小值.(条件ff(C)改为f(1 R f(1 *有什么区别)变式1、已知函数y x2 2x 3在区间0，m上有最大值3,最小值2,则m的取 值范围是A、 1 , +x)B、0, 2C、(-X, 2D、

5、1 , 22变式2、已知二次函数f (x) ax bx(a 0)满足条件：f (5 x) f (x 3)且方程f (x) x有等根，求f (x)的解析式；是否存在实数m,n(m n)，使得f (x)的定义域为m, n，值域为3m,3n。例 5、已知函数 f(x), x F，那么集合(x, y)|y=f(x), x F A (x, y)|x=1中所含 元素的个数是()A. 0B . 1 C. 0 或 1D . 1 或 2分析：这个问题是求函数y=f(x), x F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的 关系，当1 F时有

6、1个交点，当1 F时没有交点，所以选C.例6、(一次函数f(x)=kx+h(k丰0),若mvn有f(m)0, f(n)0,则对于任意x (m, n)都有f(x)0,试证明之；证明： 当 k0 时，函数 f(x)=kx+h在 x R 上是增函数，mvxvn, f(x)f(m)0;当 kv0 时，函数 f(x)=kx+h在 x R 上是减函数，mvxvn, f(x)f(n)0.所以对于任意x (m, n)都有f(x)0成立.。例7.设f (x)定义在(0，+ )上的单调增函数，满足f(xy) f(x)+f(y) , f(3) 1。求:(1) f(1)；(2)若f(x)+f(x 8) 2,求x的取值

7、范围例8、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= f(x),则,f(6)的 值为(B)(A) 1(B) 0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由 fx2f xf x 4 f x 2 f x由f x是定义在R上的奇函数得f0 0，二f 6 f 4 2 f 2 f 00 ,故选择B。【窥管之见】本题用到两重要性质：f x a f x f x的周期为2a ; 如f x是定义在R上的奇函数，贝U f 00。例9、设f(x)是定义在R上的奇函数，且y f x的图象关于直线x -对称，则f (1)+2f (2)+ f (3)+ f (4)+

8、 f (5)=_0.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：f 0 f 0得f 00，假设f n 0因为点(n , 0)和点(n 1,0)关于x 1对称，所以f n 1 f n f n 02因此，对一切正整数n都有：f n 0从而：f1 f 2 f 3 f 4 f 50。本题答案填写：0例10、( 2006福建卷)已知f(x)是周期为2的奇函数，当Ox 1时，f(x) lg x.635设 a f (-), b f(-), c f (-),则522(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) cab解：已知f (x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f (x) lg x.6443

9、1151设a f( ) f( ) f( ), b f( ) f () f( ) , c f( ) f( )0,55522222c a b，选 D.例11、(2006年安徽卷理)函数f x对于任意实数x满足条件f x 25,则 f f 5【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由f x 2亡得fx 4f(x)，所以f(5)f(1)5，则f( 5)f( 1)1f( 1 2)【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外,般都比较灵活。本题应直观理解“只要加2,则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也例12、设f x是上的奇函数，f x 2 f x，当OW x 1

10、时，f x x，则f (7.5)等于(A.0.5)B. 0.5C.1.5解析：由 f x 2 f x f 7.5f 5.5 f 3.5f 1.5D. 1.50.5，又 f x是奇函数，故f 0.5 f 0.50.5，故选择Bo例13、( 2005福建卷)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2) 0， 贝昉程f(x) =0在区间(0, 6)内解的个数的最小值是(B )A. 5B. 4C. 3D. 2解析：由f (x)的周期性知，f(2) f 5 f 1 f 1 f 40即至少有根1, 2, 4, 5。故选择Bo例14、( 05广东卷)设函数f(x)在(，)上满足f(2 x) f(2

11、x), f(7 x) f(7 x)，且在闭区间0, 7上，只有 f(1)f(3)0 .(I)试判断函数y f(x)的奇偶性；(n)试求方程f(x) =0在闭区间-2005, 2005 上的根的个数，并证明你的结论.解:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 y f(x)的对称轴为 x 2 和 x 7, 从而知函数yf(x)不是奇函数,由f(2 f(7 f(x) 又 f (3)x)f (2 x)x)f (7 x)f(xf(0)f(x)f (x)10),从而知函数y0,故函数f(x)f(x)0,而f (7)f(2 x)f(7 x)10)丄 f(2 x)(II)由f(7 x

12、)f(x) f(x(II)又 f (3) f (0)0, f(11)f (4 x) f(4 x) f(14 x)f (14 x)f(x)的周期为T 10yf (x)是非奇非偶函数；f(4 x)1 f (4f(14 x)x) f (14 x)f(13)f( 7) f( 9)0y f (x)在0,2005上有 402故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解，从而可知函数个解,在-2005.0上有400个解，所以函数y f (x)在-2005,2005上有802个解.作业：1、 f (x)为(，)上的减函数，a R，贝U()(A) f(a) f(2a) ( B) f(a2)f(a) (C) f (a2 1) f(a) (D) f(a2 a) f(a)2、如果奇函数f(x)在区间3, 7上是增函数，且最小值为5,那么在区间7, 3上是()A 增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5D 减函数且最大值为53、定义在1,1上的函数y f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a2 a 1) f (4a 5)0 ,求实数a的范围。4、已知二次函数f (x) ax2 bx满足f (1 x) f (1 x)，且方程f (x) x有两个相 等实根，若函数f(x)在定义域为m,n上