3 4函数的单调性与曲线的凹凸性

1、第四节,函数的单调性,与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、曲线的凹凸性与拐点,三、小结,一、单调性的判别法,x,y,o,x,f,y,x,y,o,x,f,y,a,b,A,B,0,x,f,0,x,f,定理,0,2,0,1,上单调减少,在,那末函数,内,如果在,上单调增加,在,那末函数,内,如果在,导,内可,上连续，在,在,设函数,b,a,x,f,y,x,f,b,a,b,a,x,f,y,x,f,b,a,b,a,b,a,x,f,y,a,b,B,A,证,2,1,b,a,x,x,2,1,x,x,且,应用拉氏定理,得,2,1,1,2,1,2,x,x,x,x,f,x,f,x,f,0,1,2,x,x,0,x

2、,f,b,a,内,若在,0,f,则,1,2,x,f,x,f,上单调增加,在,b,a,x,f,y,0,x,f,b,a,内,若在,0,f,则,1,2,x,f,x,f,上单调减少,在,b,a,x,f,y,例,1,解,1,的单调性,讨论函数,x,e,y,x,1,x,e,y,0,内,在,0,y,函数单调减少,0,内,在,0,y,函数单调增加,注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用,导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一,点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,D,又,问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调,定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调,的，则该区间称为函数的单

3、调区间,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间,的分界点,方法,0,数的符号,然后判断区间内导,的定义区间,来划分函数,不存在的点,的根及,用方程,x,f,x,f,x,f,单调区间求法,例,2,解,3,12,9,2,2,3,的单调区间,确定函数,x,x,x,x,f,D,12,18,6,2,x,x,x,f,2,1,6,x,x,得,解方程,0,x,f,2,1,2,1,x,x,时,当,1,x,0,x,f,上单调增加,在,1,时,当,2,1,x,0,x,f,上单调减少,在,2,1,时,当,x,2,0,x,f,上单调增加,在,2,单调区间为,1,2,1,2,例,3,解,3,2,的单调区间,确定函数,x

4、,x,f,D,0,3,2,3,x,x,x,f,0,导数不存在,时,当,x,时,当,0,x,0,x,f,上单调增加,在,0,时,当,x,0,0,x,f,上单调减少,在,0,单调区间为,0,0,3,2,x,y,例,4,证,1,ln,0,成立,试证,时,当,x,x,x,1,ln,x,x,x,f,设,1,x,x,x,f,则,0,0,0,x,f,x,f,可导,且,上连续,在,上单调增加,在,0,0,0,f,时,当,0,x,0,1,ln,x,x,1,ln,x,x,即,注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,例如,3,x,y,0,0,x,y,上单调增加,但在,二、曲线的凹凸性与拐点,问题,如何研究曲

5、线的弯曲方向,x,y,o,1,x,2,x,x,f,y,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,x,y,o,x,f,y,1,x,2,x,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,1,曲线凹凸性的定义,定义,的（或凸弧,上的图形是（向上）凸,在,那末称,如果恒有,的（或凹弧,上的图形是（向上）凹,在,那末称,恒有,点,上任意两,如果对,上连续,在区间,设,I,x,f,x,f,x,f,x,x,f,I,x,f,x,f,x,f,x,x,f,x,x,I,I,x,f,2,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,的,或凸,内的图形是凹,在,那末称,的,或凸,内的图形是凹,且在,内连续,在,如果,b,a,x,f,

6、b,a,b,a,x,f,x,y,o,x,f,y,x,y,o,x,f,y,a,b,A,B,递增,x,f,a,b,B,A,0,y,递减,x,f,0,y,定理,1,0,2,0,1,上的图形是凸的,在,则,上的图形是凹的,在,则,内,若在,一阶和二阶导数,内具有,在,上连续,在,如果,b,a,x,f,x,f,b,a,x,f,x,f,b,a,b,a,b,a,x,f,2,曲线凹凸的判定,例,1,3,的凹凸性,判断曲线,x,y,解,3,2,x,y,6,x,y,时,当,0,x,0,y,为凸的,在,曲线,0,时,当,0,x,0,y,为凹的,在,曲线,0,0,0,点,是曲线由凸变凹的分界,点,注意到,连续曲线上凹

7、凸的分界点称为,曲线的拐点,定理,2,如果,x,f,在,0,0,x,x,内存在二阶导,数,则点,0,0,x,f,x,是拐点的必要条件是,0,0,x,f,1,定义,注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,2,拐点的求法,证,二阶可导,x,f,存在且连续,x,f,三、曲线的拐点及其求法,0,两边变号,在,则,x,x,f,x,f,0,0,是拐点,又,x,f,x,0,取得极值,在,x,x,f,条件,由可导函数取得极值的,0,x,f,方法,1,0,0,0,x,f,x,x,f,且,的邻域内二阶可导,在,设函数,1,0,0,0,即为拐点,点,变号,两近旁,x,f,x,x,f,x,2,0,0,0,不是拐点,点,

8、不变号,两近旁,x,f,x,x,f,x,例,2,1,4,3,3,4,凹、凸的区间,的拐点及,求曲线,x,x,y,解,D,12,12,2,3,x,x,y,3,2,36,x,x,y,0,y,令,3,2,0,2,1,x,x,得,x,0,3,2,3,2,0,0,3,2,x,f,x,f,0,0,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,1,0,27,11,3,2,3,2,3,2,0,0,凹凸区间为,方法,2,0,0,0,0,0,0,0,的拐点,线,是曲,那末,而,且,的邻域内三阶可导,在,设函数,x,f,y,x,f,x,x,f,x,f,x,x,f,例,3,2,0,cos,sin,的拐点,内,求曲线,x,x,y,解,

9、sin,cos,x,x,y,cos,sin,x,x,y,sin,cos,x,x,y,0,y,令,4,7,4,3,2,1,x,x,得,2,4,3,f,0,2,4,7,f,0,内曲线有拐点为,在,2,0,0,4,7,0,4,3,0,0,0,的拐点,是连续曲线,也可能,点,不存在,若,x,f,y,x,f,x,x,f,注意,例,4,3,的拐点,求曲线,x,y,解,0,时,当,x,3,1,3,2,x,y,9,4,3,5,x,y,0,均不存在,是不可导点,y,y,x,0,0,y,内,但在,0,上是凹的,曲线在,0,0,y,内,在,0,上是凸的,曲线在,0,0,3,的拐点,是曲线,点,x,y,三、小结,曲线

10、的弯曲方向,凹凸性,改变弯曲方向的点,拐点,凹凸性的判定,拐点的求法,1, 2,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,思考题,设,x,f,在,b,a,内二阶可导，且,0,0,x,f,其中,0,b,a,x,则,0,x,0,x,f,是否一定为,曲线,x,f,的拐点？举例说明,思考题解答,因为,0,0,x,f,只是,0,x,0,x,f,为拐点,的,必要条件,故,0,x,0,x,f,不一定是拐点,例,4,x,x,f,x,0,0,f,但,0,0,并不是曲线,x,f,的拐点,一,填,空题,1,函,数,7,18,6,2,2,3,x,x,x,y,单调区间为,_,_,2,函,数,2,1,2,x,x,y,在区

11、间,1,1,上单调,_,在,_,上单调减,3,函数,2,2,ln,x,x,y,的单调区间为,_,单减区间为,_,二,确定下列函数的单调区间,1,x,x,x,y,6,9,4,10,2,3,2,3,2,2,x,a,a,x,y,0,a,3,x,x,y,2,sin,练,习,题,1,五,试,证明曲线,1,1,2,x,x,y,有三个拐点位于同一直线,上,六,问,a,及,b,为何值时，点,1,3,为曲线,2,3,bx,ax,y,的拐点,七,试,决定,2,2,3,x,k,y,中,k,的值,使曲线的拐点处,的法线通过原点,一,1,3,1,单调增加,3,1,单调减少,2,增加,1,1,3,1,1,1,0,1,1,

12、0,0,1,二,1,在,1,2,1,0,0,内单调减少,在,1,2,1,上单调增加,2,在,3,2,a,a,内单调增加,在,3,2,a,a,上单调减少,练习题,1,答案,3,在,3,2,2,k,k,上单调增加,在,2,2,3,2,k,k,上单调减少,2,1,0,k,四,1,e,a,1,时没有实根,2,e,a,1,0,时有两个实根,3,e,a,1,时只有,e,x,一个实根,一,填,空题,1,若,函数,x,f,y,在,b,a,可导,则曲线,x,f,在,b,a,内取凹的充要条件是,_,2,曲,线上,_,的点，称作曲线的拐点,3,曲,线,1,ln,2,x,y,的拐点为,_,4,曲,线,1,ln,x,y

13、,拐点为,_,二,求曲线,x,e,y,arctan,的拐点及凹凸区间,三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式,2,2,y,x,y,x,e,e,e,y,x,四、求曲线,2,sin,2,cot,2,a,y,a,x,的拐点,练,习,题,2,三,证,明下列不等式,1,当,0,x,时,2,2,1,1,ln,1,x,x,x,x,2,当,4,x,时,2,2,x,x,3,若,0,x,则,3,6,1,sin,x,x,x,四,方,程,0,ln,a,ax,x,有几个实根,五,设,x,f,在,b,a,上连续，在,b,a,内,x,f,试证,明：对于,b,a,上任意两,1,x,2,x,有,2,2,2,1,2,1,x,f,x,f,x,x,f,提示：方法,1,0,x,f,x,f,单增；方法,2,0,x,f,利用泰勒公式,一,1,b,a,x,f,在,内递增或,0,x,f,b,a,x,