二次函数与不等式

1、二次函数背景下不等式问题解法探究函数问题历来是高考命题的重点，考查内设计新颖，形式多样，综合性强其中以函数为不等式问题，是知识网络的一个交汇点，同时也是高考命题的热点问题之一。探求二次函数背景下的不等式问题，实质是将二次函数的相关性质实行适当转化，再归结为某个不等式问题其中二次函数性质的基本中义和图象特征，是问题转化的知识基础所以，在实际解题中要注重从概念、图象出发，实行逻辑分析、推理和判断，并结合不等式的相关知识求解问题结论。一、借助不等式性质，实现参数代换转化 例1、 已知函数，当时，求证：；，则当时，求证：。分析：本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定

2、值，而是与条件相对应的“取值范围”，所以，我们能够把用 、来表示,。证明：(1)由，从而有(2)由 从而 将以上三式代入，并整理得评析： 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 二、借助函数与方程根的关系，巧用零点式出奇招。例2、 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，能够写出函数的表达式，从而得到函数的表达式. 证明：由题意可知., , 当时，.又, ,综上可知，所给问题获证. 评析：利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式，对于求解与二次方程根相关的不等式问题效果明显。三、借助顶点

3、式，对称轴、最值、判别式显合力例3、 已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。解：(1)(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，于是 即 （3）.设，则.问题转化为：对恒成立. 即 对恒成立. （*）故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，因为二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：.此时，故在取得最小值满足条件.四、 借助函数图象，数形结合显神功二次函数的图像为抛物线，具

4、有很多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决相关二次函数的问题，能够化难为易，形象直观.（一） 利用对称性求解 例4、 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.解：由题意 .由方程的两个根满足, 可得且, ，即 ，故 .评析： 二次函数的图像关于直线对称， 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.解题时若能很好地利用这种对称性，往往会起到简化问题的目的。（二）利用二次方程根的分布特征转化例5、 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，所以

5、能够考虑利用上述图像特征去等价转化. 解：设，则的二根为和.（1）由及，可得 ，即，即 两式相加得，所以，;（2）由, 可得 .又，所以同号. ，等价于或,即 或解之得 或.评析：二次函数的图像具有连续性，且因为二次方程至多有两个实数根. 所以存有实数使得且在区间上，必存有的唯一的实数根. （三）利用二次函数的单调性例6、 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的. 要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.证明：由题意知：， ， .由时，有，可得 . ,.（1）若，则在上单调，故当时， 此时问题获证. （2）若，则当时，又， 此时问题获证.