(最新整理)2003考研数三真题及解析

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2、小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1） 设 其导函数在处连续，则的取值范围是。(2） 已知曲线与轴相切,则可以通过表示为 .（3) 设，而表示全平面，则= .(4) 设维向量；为阶单位矩阵，矩阵， ，其中的逆矩阵为，则 .（5) 设随机变量 和的相关系数为0.9， 若，则与的相关系数为 .(6) 设总体服从参数为2的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于 。二、选择题：本题共6小题,每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(1） 设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 （ )(a) 在处左极限

3、不存在. (b) 有跳跃间断点.（c) 在处右极限不存在. (d) 有可去间断点。 (2） 设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(a) 在处的导数等于零。 (b）在处的导数大于零。(c) 在处的导数小于零。 (d) 在处的导数不存在.（3） 设，,则下列命题正确的是 ( ）(a) 若条件收敛，则与都收敛.(b） 若绝对收敛,则与都收敛.(c） 若条件收敛,则与敛散性都不定。（d) 若绝对收敛，则与敛散性都不定。 (4) 设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( ）(a) 或。 （b） 或.（c) 且。 （d) 且。 （5) 设均为维向量，下列结论不正确的是 ( ）（a) 若

4、对于任意一组不全为零的数,都有，则线性无关.（b) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(c） 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.（d) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. （6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面,=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次,则事件( )(a） 相互独立。 (b） 相互独立. （c) 两两独立。 (d） 两两独立. 三 、(本题满分8分)设，试补充定义使得在上连续。四 、(本题满分8分)设具有二阶连续偏导数，且满足，又, 求五 、(本题满分8分)计算二重积分其中积分区域六、（本题满分9分）求幂级数的

5、和函数及其极值。七、（本题满分9分）设, 其中函数在内满足以下条件： ，且， (1) 求所满足的一阶微分方程；(2) 求出的表达式。八、（本题满分8分）设函数在0,3上连续,在（0，3)内可导,且.试证：必存在，使九、（本题满分13分)已知齐次线性方程组 其中 试讨论和满足何种关系时，（1） 方程组仅有零解;（2） 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分)设二次型，中二次型的矩阵的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求的值；(2) 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量的概率密度为

6、 是的分布函数。 求随机变量的分布函数.十二、（本题满分13分)设随机变量与独立，其中的概率分布为 ,而的概率密度为,求随机变量的概率密度。2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（1）【答案】【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量。【详解】是参变量，是函数的自变量，要使该式成立，必须，即. 当时, 要使在处连续,由函数连续的定义应有由该式得出。 所以在处右连续的充要条件是(2)【答案】【详解】设曲线与轴相切的切点为,则。 而，有又在此点坐标为0（切点在轴上)，于是有,故，所以 (3)【答案】【详解】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，则二重积分只需

7、在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可=（4)【答案】1 【详解】这里为阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可由题设，有=，于是有，即，解得 已知,故(5）【答案】【详解】利用方差和相关系数的性质，又因为仅是减去一个常数，故方差不会变,与的协方差也不会变，因此相关系数也不会变，且 又，所以（6）【答案】【分析】本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量,当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值:【详解】本题中满足大数定律的条件，且=,因此根据大数定律有依概率收敛于二、选择题

8、（1）【答案】 【详解】方法1：直接法：由为奇函数知，；又由,知在处没定义,显然为的间断点，为了讨论函数的连续性，求函数在的极限存在，故为可去间断点方法2：间接法：取，此时=可排除三项(2）【答案】【详解】由函数在点处可微,知函数在点处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得在点处的两个偏导数都等于零 从而有选项正确(3)【答案】【详解】由,知，若绝对收敛，则收敛. 再由比较判别法，与都收敛，后者与仅差一个系数,故也收敛，选(b）（4）【答案】(c）【分析】 的伴随矩阵的秩为1, 说明的秩为2，由此可确定应满足的条件【详解】方法1:根据与其伴随矩阵秩之间的关系知秩()=2,它的秩小于

9、它的列数或者行数，故有有或当时，显然秩, 故必有 且 应选(c)方法2:根据与其伴随矩阵秩之间的关系，知，. 对作初等行变换当时，从矩阵中可以看到的秩为,与秩,不合题意(排除(a)、(b)）故,这时故,且时，秩(）=2,故应选（5)【答案】（b） 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等价表现形式应注意是寻找不正确的命题【详解】(a): 若对于任意一组不全为零的数，都有 ，则必线性无关. 因为若线性相关，则存在一组不全为零的数，使得 ，矛盾 可见(a)成立(b)： 若线性相关，则存在一组（而不是对任意一组不全为零的）数，都有 （b）不成立（c) 线性无关，则此

10、向量组的秩为；反过来，若向量组的秩为,则线性无关，因此(c）成立（d) 线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关,可见(d)也成立综上所述，应选(b)【评注】 原命题与其逆否命题是等价的 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得成立，则线性相关 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性（6)【答案】c【分析】(1) 两事件相互独立的充要条件：（2） 三事件相互独立的充要条件：(i)两两相互独立； (ii)【详解】方法1:因为,，且，可见有，,故两两独立但不相互独立；不两两独立更不相互独立，应选

11、(c）方法2:由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立;反之，两两独立不一定相互独立可见(a)不正确，因为如果正确,则(c)也正确,但正确答案不能有两个；同理，（b)也不正确. 因此只要检查（c)和(d）故(d）错,应选（c)三【详解】为使函数在上连续，只需求出函数在的左极限，然后定义为此极限值即可令，则当时，,所以定义，从而有，在处连续 又在上连续，所以在上连续四【详解】由复合函数的求导法则，得 从而 所以 =五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算作极坐标变换：设，有记，则 =因此 ，六【分析】(1） 和函数一般经过适当的变换后,考虑对其逐项求积分后求和，再求导即

12、可得和函数；或者先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数本题可直接采用后者(2） 等比级数求和公式【详解】先对和函数求导对上式两边从0到积分 由， 得为了求极值,对求一阶导数，令,求得唯一驻点 由于， 由极值的第二充分条件，得在处取得极大值,且极大值为 七【分析】题目要求所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对求导，并将其余部分转化为用表示，导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程即可【详解】（1) 方法1：由，有=可见所满足的一阶微分方程为相应的初始条件为方法2：由,有=又由 有,，于是可见所满足的一阶微分方程为相应的初始条件为(2） 题（1）得到所满足的一阶微分方程，求的

13、表达式只需解一阶微分方程又一阶线性非齐次微分方程的通解为所以 = =将代入上式,得. 所以 八【分析】题目要证存在，使得其一阶导数为零,自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续,且端点处函数值相等题目中已知，只需要再证明存在一点，使得，然后在上应用罗尔定理即可 条件等价于问题转化为1介于的最值之间,最终用介值定理可以达到目的【详解】方法1：因为在0,3上连续，所以在0,2上连续，则在0,2上必有最大值和最小值（连续函数的最大值最小值定理)，于是，,三式相加 从而 由介值定理知，至少存在一点，使因为， 且在上连续，在内可导，由罗尔定理知，必存在，使方法2：由于，如果中至少有一个等于

14、1，例如，则在区间上对使用罗尔定理知，存在使 如果中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1即至少有一个大于1，至少有一个小于1,由连续函数的介值定理知，在区间内至少存在一点使在区间对用罗尔定理知，存在，使证毕九【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等可先将所有行对应元素相加,然后提出公因式，再将第一行的（1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值【详解】方程组的系数行列式=(1) 当，即且时，秩，方程组仅有零解（2) 当时,，原方程组的同解方程组为 由可知，不全为零不妨设，得原方程组的一个

15、基础解系，（3) 当时，。 这时,原方程组的系数矩阵可化为 由此得原方程组的同解方程组为,， 原方程组的一个基础解系为十【分析】 特征值之和等于的主对角线上元素之和，特征值之积等于的行列式，由此可求出 的值；进一步求出的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵【详解】(1)二次型的矩阵为 设的特征值为，由题设得，解得（2） 求矩阵的特征值，令，得矩阵的特征值对于 解齐次线性方程组，系数矩阵为，得基础解系,对于，解齐次线性方程组,系数矩阵为，得基础解系由于已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得

16、，令矩阵，则为正交矩阵 在正交变换下，有,且二次型的标准形为【评注】本题求也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型的矩阵对应特征多项式为设的特征值为，则 由题设得，解得第一步求参数见数学复习指南p361重要公式与结论4，完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学三p47第九题十一【分析】先求出分布函数的具体形式，从而可确定 ，然后按定义求的分布函数即可注意应先确定的值域范围，再对分段讨论【详解】易见,当时，; 当时,对于,有设是随机变量的分布函数 显然，当时，=0；当时，=1 对于，有于是，的分布函数为十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行