函数恒成立问题端点效应

1、函数恒成立专题01：可求最值型基础知识：（ 1）不等式 f (x) 0 在定义域内恒成立，等价于 0f x ；min（2）不等式 f (x) 0 在定义域内恒成立，等价于 f x max 0 。【例 1】【重庆文】若对任意的 x 0，f (x) 12x x x c c 恒成立，求 c 的取值范 4 ln 3 4 2 24 ln 3 4 2 2围。【例 2】函数 f ( x) (x 1) ln( x 1) kx 1在区间 ( 1, ) 上恒有 f ( x) 0 ，求k 可以取到的最大整数。2 x g x a x a 【变式 1】函数 ( ) 2 4 , ( ) ln ( 0)f x x ，若 f

2、 (x) 4x g(x) 恒成立，求 a 的取值范围。x【变式 2】【2012新课标文】设函数 f x e ax 2 求 f (x) 的单调区间； 若a 1，k 为整数，且当 x 0时， (x k) f (x) x 1 0，求 k 的最大值。【变式 3】【2012新课标理】已知函数 f (x) 满足f1x 1 2( x) f (1) e f (0) x x 2 求 f (x) 的解析式及单调区间；12 若 f (x) x ax b ，求 (a 1)b 的值。2第 1 页 共 10 页专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟2【例 1】【20

3、10天津】函数 ( ) 1 f x x ，对任意3 x 2x , , f ( ) 4m f (x) f (x 1) 4 f (m) 恒成立，求实数 m 的取值范围。2 m2 x2 x【变式 1】【2010安徽】若不等式 (a )( 1) 0 对一切 x 0,2 恒成立，求a 的取值范a围。【例 2】若函数 f (x)1 12 在 ,x axx 2上单调递增，求 a的取值范围。12 b x【变式 2】【2012湖北】若 f ln( 2) 在( 1, ) 上是减函数，求b的取值范围。( x) x21 2 bx b x b R【变式 3】【2014江西】已知函数 f (x) (x ) 1 2 ( )

4、 ，若 f (x) 在区间 ) (0, 上单3调递增，求 b的取值范围。第 2 页 共 10 页专题0 3：端点与一次函数、二次函数基础知识：（1）研究发现， 恒成立与区间的端点有很深的渊源。 首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2）一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。 x 在( 1,1) 上单调递增，求 k 的取值范围。【例 1】【2009北京】若 f (x) xe (k 0)引申：我们的习惯思维都是默认字母 x 为函数的自变量， 而像 a, m,t 这样的字母代表参数，但其实

5、x,a, m, t 这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将 x 视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。3 ax 【例 2】【2009福建】已知函数 ( ) 3 1f x x 的导函数为 f ( x), g( x) f (x) ax 3. 若对满足 1 a 1的一切 a 的值，都有 g( x) 0，求实数 x 的取值范围。a 1【例 3】【2008天津】已知函数 f (x) x b(x 0), a, b R，若对于任意的 ,2 a ，不x 21等

6、式 f (x) 10 在 ，4 上恒成立，求 b 的取值范围。4a 33 x a x2【变式】【 2008 安徽】设函数 f ( 1) 1，其中 a 为实数。(x) x3 2 已知函数 f (x) 在x 1处取得极值，求 a 的值；2 x a 已知 f (x) x 1对任意 a 0, 恒成立，求实数 x 的取值范围。第 3 页 共 10 页（3）对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，2 bx c a 那情形又如何呢？设 ( ) ( 0)f x ax 在 ， 上不单调且恒大于零， 那么f (x) 在b b， 上递减，在 ,2a 2a上递增，故 f (x) 的最大值也必

7、然在端点处取得。所以对于任何一个函数 f ( x) 而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下：2 bx c a f (x) ax ( 0)在 x1, x2 上非正，等价于ffx1x20,0;2 bx c a f (x) ax ( 0) 在 x1, x2 上非负，等价于ffx1x20,0;3 2【例 1】已知函数 f x x ax bx c( ) 在区间 1,0 上单调递减，则2 b2a 的取值范围是_.13 mx m x2 2【例 2】函数 f 3 1在区间 1,2 上单调递增，则实数 m 的取值范围是 _.

8、( x) x3第 4 页 共 10 页专题0 4：端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。3 ，当 a 0时，若函数 f (x) 在区间 1,2 上是单调2【例 1】已知函数 f (x) x 3(a 1)x 6ax函数，求 a 的取值范围 .3 x 【例 2】【2008江苏】设函数 ( ) 3 1f x ax ，若对于 x 1,1 总有 f (x) 0恒成立，则 a=_.说明：在例 1 和例 2 中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终

9、结果，但例 1 通过端点可以不必考虑单增情形， 例2 通过端点可以缩小 a 的范围，我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情形：（1） f (x) 在区间 a,b 的端点 a和b 处均有定义且ff(a)(b)0,0;（2） f (x) 在区间 a,b 的端点 a 或b 处无定义或区间是无限区间 a, , ,b ；（3） f (x) 在区间 a,b 的端点 a 或b 处有 f (a) 0或 f (b) 0。一、端点处的取值有意义且不为 0【例 1】【2008天津】设 f (x) 是定义在 R上的奇函数，且当 x 0时，2f (x) x ，若对任意

10、的x t,t 2 ，不等式 f (x t) 2 f (x) 恒成立，则 t 的取值范围是（ ）A. 2,B. 2,C. 0,2D. 2, 1 2,第 5 页 共 10 页2 a x a【例 2】若 f ( ) (3 ) 2 0在 0 ,1 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 _x ax3 ax2 x【变式 1】【2013全国卷】已知函数 f (x) x 3 3 1，当x 2, 时，f (x) 0，求a的取值范围。【变式 2】【2012江西】已知函数2 x 在 0 ,1 上单调递减， 求a 的取值范f (x) ax (a 1) x 1e围。33 x2 a【变式 3】【2010天津】已知函数 1,

11、 0f (x) ax ，若在区间212,12上 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围。二、端点处的取值没有意义且趋于无穷f (x) ln x 的定义域是 0, ，且当 x 趋于 0 时，f (x) ln x 趋于负无穷，当x 趋于 时，f (x) ln x趋于正无穷， 为了后面方便表述， 记 f (0) , f ( ) 。然后不管函数 f (x) 在区间的端点 a 处有没有意义， 也不管 a 是否为无穷， 我们均记 f (a) 为当 x 趋于a 时 f (x) 的值。这样的记法为了后面的叙述。【例 1】【2012新课标】当1x log0 x 时， 4 a x ，则 a 的取值范围是（ ）

12、2A. 2 20, B. ,1 2 2C. 1, 2 D. 2 ,212 a x x【例 2】函数 f (1 ) ( 0) ，若 f ( x) 0对定义域内任意 x 恒成立， 求实数( x) a ln x x2a的取值范围。1【例 3】【2012天津】函数 f ( , x 1, , f ( mx) mf ( x) 0恒成立，则实数 m 的取x) xx值范围是 _.2 x g x ex x ，若x 2时，f (x) kg(x) ， 【例 4】【2013新课标】设函数 ( ) 4 2, ( ) 2 ( 1)f x x求k 的取值范围。第 6 页 共 10 页2 ，若对于任一实数 x ， 【例 5】

13、【2009江西】已知函数 f (x) 2mx 2(4 m)x 1, g( x) mxf (x) 与g (x) 的值至少有一个为正，则 m 的取值范围是 _.2 x x【变式 1】不等式 loga ( 2 3) 1( 2) 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）xA.1 10, B. ,13 3C. 1,3 D. 3,x2【变式 2】【2011 北京】设函数 kf (x) ( x k) e ，若对于任意的 x 0, ，都有f1(x) ，e求实数 k 的取值范围。【变式 3】【2014江苏】已知函数x exf (x) e ，其中 e是自然对数的底数， 若关于 x 的不等 x 在 0, 上恒成立，求

14、实数 m 的取值范围。式mf ( x) e m 1x【变式 4】【2012北京文】已知 ( ) ( 2 )( 3), ( ) 2 2 f x m x m x m g x ，若 x R, f (x) 0 或g( x) 0，则 m 的取值范围是 _.x【变式 5】【2012北京理】已知 f ( ) ( 2 )( 3), ( ) 2 2 ，若同时满足（ 1）x m x m x m g xx R, f (x) 0或 g( x) 0；（2） x , 4 , f ( x)g (x) 0 ，则m 的取值范围是 _.第 7 页 共 10 页三、端点处的取值为 0（1）若多项式函数 f (x) 满足 f (a)

15、 0 ，则 f ( x) 一定可以分解成 f (x) ( x a) g( x) 这种形式，其中 g (x) 也为多项式函数。4 2 在 1,1 上是增函数， 求a 的取值范 【例 1】【2009全国卷】已知 f (x) 3ax 2(3a 1)x 4x围。2 ax【例 2】【2012浙江理】设 a R，若 x 0时均有 (a 1) 1 ( 1) 0，则a _.x x13 x m2 x m f x2【例 3】【2009 天津】已知 ( 1) , 0, ( ) 0 f (x) x 有三个不同的实根，分3别为 0,x , ( ) 若对任意的 x x1, x2 , f ( x) f (1 ) 恒成立，求

16、 m 的取值范围。1 x x x2 1 2【变式 1】【2008全国卷】设函数3 3 2f (x) ax x ，若 g(x) f (x) f ( x)(0 x 2) 在x 0处取得最大值，求 a 的取值范围。 3 2 有三个不同的实根，分别为 0, , ( )【变式 2】【2011 湖北】已知 x 3x 2x mx x1 x x x ，2 1 2且对任意的3 x x m x2x x1, x ，x 3 2 ( 1) 恒成立，求实数 m 的取值范围。23 2 注意：若多项式函数有明显的根， 分解因式能够将函数降次， 特别是形如 f x ax bx cx( )2 bx c 的多项式函数， 是高考中的

17、常见情形， 它可以分解成 ( ) ( )f x x ax ，需掌握此多项式。第 8 页 共 10 页（2）若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式， 这些函数虽然在端点处的值为零，但不能将它们分解，对此需用以下知识点： f (x) 0在 a,b 上恒成立，若 f (a) 0 ，则 f (a) 0 ；若 f (b) 0，则 f (b) 0 f (x) 0在 a,b 上恒成立，若 f (a) 0 ，则 f (a) 0；若 f (b) 0 ，则 f (b) 0特别提醒：这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。【例 1】【2007全国理】 已知函数f (x)x eex 证明： f (x) 的导

18、数 f (x) 2； 若对所有 x 0都有 f (x) ax ，求 a 的取值范围。【例 2】【2008全国文】 已知函数fx(x) x(e 1) ax2 若1a ，求 f (x) 的单调区间；2 若x 0时， f (x) 0，求 a 的取值范围。【例 3】【2008全国理】 已知函数f (x)2sin xcosx 求 f (x) 的单调区间； 如果对任何 x 0时，都有 f (x) ax ，求 a 的取值范围。【例 4】【2010新课标理】 已知函数fx 2(x) e 1 x ax 若a 0，求 f (x) 的单调区间； 若x 0时， f (x) 0，求 a 的取值范围。【例 5】【2013全国理】 已知函数f (x) ln(1 x)x(11xx) 若x 0时， f (x) 0，求 的最小值； 设数列 an 的通项 an1 1 1 11 ，证明： a n an ln 2 。2 n2 3 n 4第 9 页 共 10 页【例 6】【2014全国理】已知函数 f (x) ex e x 2x . 讨论 f (x) 的单调性； 设g(x) f (2 x) 4bf ( x) ，当 x 0时， g( x) 0 ，求b 的最大值； 已知1.