2017年电大信息技术与教育技术1形成性考核册 1

1、 第八章 二重积分的计算方法第二节一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习 1 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页 平行截面面积为已知的立体的体积复习: 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积. 也可用定积分来计算), 轴的截面面积为Ax(x设所给立体垂直于 的体积元素为 则对应于小区间, 上连续 因此所求立体体积A xa xb2 18102019年月日星期五 上页 目录 返回 下页 莱布尼兹公式 牛顿 定理 则 , 函数)莱布尼兹公式( 牛顿 - 故 2, 根据定理: 证x?Cf(x)dx

2、?(Fx)?ax ? )F(d(x)x?Fx)?(af 因此a 得 记作 3 18102019年月日星期五 上页目录 返回 下页 定积分的换元法 函数 设函数定理1: 满足 ?;?(?)a,(b)1) ?,)(t在上有连续导数,2) 则4 日星期五月年20191018 上页 目录 返回 下页 定积分的分部积分法 则,上有连续导数b)在a,x设u(x),v( 定理2 b a?)()vx)(?ux()v(x)?uxxx?u()v(: 证上积分a,b两端在bbb?x()xvdx)?u)(xv(xdx?u()(xxu()vaaabb ?x(xd)()vx?u)xu?()xv(aa5 日星期五月年201

3、91018 上页 目录 返回 下页 一、利用直角坐标计算二重积分 顶为设曲顶柱体的0?)x,yz?f(z 曲顶柱体的底为y?)x(x)?y?(?21)yD?(x,?Dba?x?bx?x,ax?, 平面 任取截柱体000 ?)(x02?y,y)d?(fx)(Ax 截面积为00?)(x01 X型区域 为故曲顶柱体体积b?)(xb?2?xd? dy),(V?fxyy)d,(fxxxA?()daDa?)(x16 18102019年月日星期五 上页目录 返回 下页 , 若曲顶柱的底为同样?d(y),cy?D?y(x,)x(y)?21y 则其体积可按如下两次积分计算d?d)y(xV?,f?)yx?(2D?

4、)?(yx1d?)(y?2yyd? ?xf(x,y)dcc?)(y1ox ? )(y2?xxf(,y)d?)(y1 型区域Y7 日星期五月年20191018 上页 目录 返回 下页说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , y?yddx(x,y)f 则有 ?)x(y?Dd2?)(x)(yx?b2?)(x?y2yf(x,y)d?x?d1D?)(xya1?)y?x(1?c)(yd2?x)dyxf(,y?dxaob?)y(c1. 必要时还可以交换积分序,可选择积分序, 为计算方便y 可将它分成若干(2) 若积分域较复杂2D , -型域X-型域或Y 则1D3?oDDDDx321 日星期五

5、188 月10年2019 目录上页 返回 下页 补充说明)f(x,y 当被积函数, 在时D上变号 由于)yx,(yfx)(fx,y?f(,y)(x,)?f?,f(xy)22)fy(fy(x,)x, 均非负21 . 因此上面讨论的累次积分法仍然有效9 年201910日星期五18月 目录上页 返回 下页y?1y?x?2,0?1? . 计算积分，其中是正方形区域: 1例yxddD2xDyy111122? 解： ydxd yxd?d.x?d22242xxx101D22? 2计算是由直线，其中例1?x?dy1y?x?x?yDD1?y 和 所围成的闭区域 1（）画出积分区域 解题步骤：D 型型，又可看成）

6、（2即可看成?Y?XD 10 102019年月 18日星期五 上页目录 返回 下页?,dxy 3. 计算例 及直线 是抛物线其中D D. 所围成的闭区域 y 型区域，1 解法D 是 X-22x?yD?2d?xxydyxyd?oD1x41?DD?21x14x?xd?yxydx?dyxyd012x?x?x2xy14 ?xd?0?xd2012x?11 2019年日星期五1810月 目录上页 返回 下页?,yxd 及直线 3. 计算例 D 是抛物线其中D. 所围成的闭区域 y22xy? 解法2 画出积分区域的图形D 区域，这是 Y-ox41?, 先对 积分 y x 后对2y?x?2?y2?xxydy?

7、ddxy?21?Dy?12?y222521?y?dy?(?yy2)y?dxy22y21?1? 好比解法21 ！显然解法12 18102019年月日星期五 上页 目录 返回 下页xsin计算例4. ?,ydxd 是直线其中D xD. 所围成的闭区域 yxy?若先对x 积分， 画积分区域图形， 解xxsinsin?x?D?xyddy?dxd 则?Oxxxy0Dxsin 因为 的原函数不能用初等函数表示，因此x 改用另一种顺序的累次积分，于是有xsinxsinxsin?xx?ydxdyx?dxydd?dxxx0000D? ?xx?dsin2?0说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.

8、日星期五18月10年13 2019 上页 目录 返回 下页y 设D是由直线例5. 0,x? 1 及 围成的区域1?yxy?Dxy? 试计算:(图21-6),xO 2y?2?dxeI?. 的值621?图D、 则有x 的积分, 解若用先对y 后对 112y2?.dyI?xdxex02y? 由于e 因此改用另一种顺序的原函数无法求得, : 的累次积分来计算 14 日星期五 18102019年月 上页目录 返回 下页111yy22y?32?y?y?Iedyxxe?dyd 300011?12y2?Dey?dxy? 60xO1?11 22y?y2?yy2ed?ye? 6?00图21?61?1 2y1?e?

9、e? 6?011.? 3e6 15 月年20191018 日星期五 上页目录 返回 下页 交换下列积分顺序例6. 2x2x82?22? ydfxI?(dxx,yf(x,)dy?y)d20002: 解: 积分域由两部分组成y 228?y?x2?12?yx0?x80?y?:,D:D 2?21220?x22?x?2?2xy?12DD2D将DD? 则Y型区域 , 视为121xo2222y?x?28y?:D?2?y0?228?y?ydxd,I?f(xy)y?df(x,y)dxD0y2 16 日星期五 18月102019年 目录上页 返回 下页 交换下列积分顺序练习. 1(y?44)? f(xdy,y)d

10、x2 y?04?33?y12y?(2) f(x,y)?y(x,)dxddyxdyf1000 17 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页. 求两个底圆半径为 R 的直角圆柱面所围的体积例7 : 设两个直圆柱方程为解z R, 利用对称性, 考虑第一卦限部分22x?zR 其曲顶柱体的顶为oRy x 则所求体积为22xR?R 22?ydxd?8xR?00R 22?x)?8?(Rxd018 1810年2019月 日星期五 上页 目录 返回 下页 二、利用极坐标计算二重积分y?kk =常数在极坐标系下, 用同心圆 r ?k? 为及射线 分划区域 =常数, D ?kr?r)n,(k12?xo

11、kk 小区域的面积则除包含边界点的小区域外,22?11?)?(rrr?kkkkkk22 ?rkkr?rr?k?kkkrkk? 内取点在 ),r,( 对应有kkk?sinr,cos?r?kkkkkk19 月1018日星期五 年2019 目录 上页 返回 下页n ?rrsin)r?cos?limf(r,kkkkkkk?0?1k?d,xy)(f?)cos(frsin,r?drrd 即DD20 18102019年月日星期五 上页 目录 返回 下页 ）二重积分化为二次积分的公式（1 区域特征如图 ?)(r?)()?r?D221 设,D: 则?drsinr)rdf(rcos1oD?)(?2?rd)rcos

12、f(rsin,r?d?)r?(2?)(?1?)(r?1o2019年10月18日星期五 21 上页 目录 返回 下页二重积分化为二次积分的公式（2） 区域特征如图 ?)(0?r?D: 对特别地, ?2?0?)?(r ?ddf(rcossin,rr)rD?)2(?orr?sind)f(rcosd,r00若 f 1 则可求得D 的面积 1?22?d?d)?( 2D0 22 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页 二重积分化为二次积分的公式（3）?)r?( 区域特征如图 D?,?).?(0?A?rdrd),rsinrf(cosD?)(?.)rdrcosr,r?dsin(f?0 日星期五1

13、8月1023 年2019 目录上页 返回 下页思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 ? 的变化范围是什么 ? 问y (2) (1) ?y)r?(?)r?( Dx?;?0(1)?: 答?)?2( 22 24 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页22?yd?y)dxln(1?x 计算二重积分 ，其中例8 DD是单位圆域： 221?x?y 222? 解：,?ln(1?d)dy)dxdy?ln(1?xDD212?)d?ln(1d00?1122?d?(1)ln(1?)?200?(2ln2?1) 25 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页?dxdy

14、f(x,y)的极坐标二次积分写出积分 例9.D形式，其中积分区域2,xy?1?xD?(,y)|1?x?x?10. ?cosx?r? 221?x?y解：在极坐标系下? ?sin?ry?1?r,所以圆方程为 11y?x?r,直线方程为?cossin?1?dxdy,f(xy)?2.r,sin)rdrrf(?dcos10?Dcossin?26 日星期五18月10年2019 目录 上页 返回 下页 222 其中 例计算10 .?a?yxD:a0?r? 故 :解 在极坐标系下,D:?2?0?a2?2 r?rdre?drrd?d? 原式0D0 2a?)(1e?2x? 由于e 故本题无法用直角 , 的原函数不

15、是初等函数. 坐标计算27 18102019年月日星期五 上页目录 返回 下页 可得到一个在概率论与数理统计及工程上利用例10: 注?2x?dxe 非常有用的广义积分公式20 222xx,y)|?y?R?解：D(1D2S222y?2R?D(x,y)|xDS22DD1?R0x0?R,?y)(S?x,y|R2D?D?S?0?x0,y 显然有2122yx?,e0?2222y?x?y?x?22?dxdy?e?dxdyey?x.edxdy? DSD122019年10月18日星期五 28 上页 目录 返回 下页22y?x?dxdyeI?又SRRR222?2x?x?y?;?(e)dxdy?edxe00022

16、?yx?Idxdye 1D1?R22R?r?(1?e); ?2rdrde? 400?222y?x?R2?I?edxdye1(?);同理2 4D2 29 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页,?III?21 ?R222Rx22?R?);e?(1?)?()edx?(1e 440?,?I?R,I?,当时2 1 44 ?2?2x?(edx)?R?,I?,即,时故当0 44?2x?edx.所求广义积分 0 2 30 月18日星期五 102019年 上页目录 返回 下页22 被圆柱面x2ax?y? 求球体11 例. 立体的体积所截得的(含在柱面内的) ?z?r?2acos,00D:? 解:

17、 设2 由对称性可知22o?drdrrV?44a?yDa2?cosa2 22?r4a?rdx0?cosa2r? a2?2323)a(?32331 1810年月日星期五 2019 目录 上页 返回 下页)(xy?y 内容小结y2D : 直角坐标系情形 ? 若积分区域为)xyy?(1axb )by(x2?yy)x,y)d?ddx,f(xf( 则2D)x(ay1d ? 若积分区域为D c)(xyd2?x,dxf(,y)f?dy(xy)dx)(?xxy 则1)y(Dxc132 日星期五月年20191018 上页 目录 返回 下页 极坐标系情形: 若积分区域为 则 ?)?(rD2?)dyf(x,D?)?

18、(r?)sin(?frcos,rdrd1oD 33 日星期五月年20191018 目录 上页 返回 下页 课外练习2 习题P146-147 8 2(1)(3); 4(2)(4); 5; 6; 8(4); 10(2); 11(3). 34 日星期五18 月年201910 上页目录 返回 下页 思考与练习 D 由其中 1. 计算21?y?3x,x. 所围成,xy?4?y2)yyxln(?1?(fx,y)?4 令 解:2x?4y?DD?D?D) (如图所123)xxf(?,y)?f(,y, 显然,上在D1Dxo12)y(?fx,)xf(,?y,在D上21x?2?y?I?xln(yd)?ydx?1D12?0?yy1yx?ln(?)dxdD235 10年2019日星期五18月 上页 目录 返回 下页 交换积分顺序2. 积分域如图: 提示?cos?rar?arccos?rarrarccosaa?Ird?drf(,)r0arccos?a36 月年20191018 日星期五 上页 目录 返回 下