概率论与数理统计总结之第三章

1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1. 二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为：F(x,y) P(X x) (Y y) P(X x,Y y) ( x , y )称F(x, y)为X与Y的分布函数，或称 X与Y的联合分布函数FX (x) PX x P(X x,Ylim F(x,y)yFyW) PY y PX ,Y yxlim F(x, y)分布函数F(x, y)性质:1) F (x, y)是变量x和变量y的不减函数，(分别关于x和y有单调不减性)2) 0 F (x, y) 1,任意一边趋于-=0 .F( a, )=1 (用来确定未知参数).3) F(x,y) F(x

2、0,y) F(x 0,y 0)，即F(x, y)分别关于x右连续，关于y也右连续，4 )对于任意(X1,y),(xz,y2),x冷， y2,下述不等式成立(可用于判定二元函数F(x,y)是不是某二维随机变量的分布函数)：F(X2,yJ F(&yJ02. 二维离散型随机变量：定义：如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率 PX x,Y y Pij,i,j1,2,-为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y是联合分布律性质:1. Pj0,(i, j1.2.)2.Pij1x X yi y满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律注；

3、步骤：定取值,求概率，验证1.离散型随机变量X和Y的联合分布函数为 F(x, y)必，其中和式是对一切满足x, yi y的i,j 来求和定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X和Y的分布律X的边缘分布律：Pi?P(Xx)Pij,iji 1.2.丫的边缘分布律：0JP(Yyi)Pij,i1.2.的边缘分布iPi? 0,Pigip?j 0(i, j 1.2.)P?j 1i联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立比如；有放回的摸球，就是X，Y相互独立.不放回地摸球，是条件分布.3. 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度对比一维的：bx概率密度：f (x) f(x)dx 1，

4、分布律：P a x b f (x)dx,分布函数：F (x) f (t)dta二维：定义：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x, y),若存在非负可积函数f(x,y)，使得对于任意实数x,y有x yF(x, y)f(u,v)dudv，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f (x, y)称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质：1. F(x,y) 02.f(x, y)dxdy 1只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度3.已知(X,Y)的概率密度f (x,y)，则(X,Y)在平面区域D内取值的概率为：P( X,Y) D f (x, y)dxdy (作二重积分

5、)D(随机点(X,Y)落在平面区域D上的概率等于以平面区域4.若F(x, y)在点(x,y)连续，则有F( x, y)f (x, y)(连续就能根据分布律求概率密度D为底,以曲面z f(x,y)顶的典顶的体积)1)当求P(X Y)时，它只是一条线，所以：P(Xb2Y)=04ac0, 一个实根2)一个方程有无实根：2 2ax2 bx c 0，即求：b4ac0,无实根b24ac0,两个实根)x y均匀分布：定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S,且S 0,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1f(x,y) S,(x,y)0,其它两种特殊情形：D，则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布(或叫(X,

6、Y)在D上服从均匀分布，记作(X,Y) : Ud .1) D为矩形，a xb,c y d)时，f (x, y)(b a)(d c) a x b,c y d)0,其它2)D为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:f(x,y)定义:对连续型随机变量1R2 , x2 y2R2)0,其它(X,Y),分量X,Y的概率密度称为(X,Y)关于X或Y的边缘概率密度，记作fX (x), fY(y).X的分布函数：FX (x)F(x,)f (u,v)dv du(让Y趋于正无穷)Y的分布函数：FY(y)F( ,y)f (u,v)du dv(让x趋于正无穷)X的概率

7、密度：fX (x)f (x,y)dy,(x )Y 的概率密度：fY(y)f (x,y)dx,( y )(二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积 分)(X,Y)的概率密度:f(x, y)x yx yf(u,v)dudv f(u,v)dvdu二维正态分布:二维正态(X,Y)N (ui ,U2, i2)分布函数的性质2 2 1. (X) : N (Ui, 1 ) , (Y) : N(U2, 2 )边缘服从一维正态分布2. xy 0 X,Y独立(相关系数为0,则两个随机变量独立)3. (k1X k2Y) : N(u2)(线性组合按一维正态处理

8、)4. (kiX kzY, cX C2Y)服从二维正态(如：(X Y, X Y) 条件分布：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若 PY y；0，则称PX x I Y yjPXyjPY yj鱼i 12J 1I，J，Pj为在丫 yj条件下随机变量 X的条件分布律同样地，若PX x 0,则称PYyj I X为X x条件下随机变量Y的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)PX IyjP XXi关于Y的边缘概率密度为Pij .,jPi1,2,fy (y).若对于固定的y, fy(y)0,则称记为 PX x|Y=y或 fx丫 (x

9、 | y)，即f(x, y)为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fX|Y (x | y) f(x, y)仇卜)fv(y)称 X fX|v(x|y)dxx f (x,y)dx为在Y=y的条件下，x的条件分布函数 fv(y)x f(x y)Fx|Y(x|y) PX x|Y ydxfv(y)设F(x,y)及FX(x), FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有PX x,Y y=PXxPY y,即F(x, y)FX (x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，f (x, y), fx(x), fv(y)分别为(X,Y)的概

10、率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件等价于f(x,y) fx (x) fY (y)在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义：设F(x, y),Fx(x).FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数 x, y有F(x, y) Fx(x).Fy (y)，则称X与丫相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立，对任意实数x,y,事件X x,Yy相互独立)以上公式等价于：P(X x,Y y)FX(X x).FY(Y y)可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y随机变量独立，f (x).g(y)

11、连续，(通过函数作用)则f (x).g(y)也独立.(可类推至多个随机变量的情况 )2例:X,Y独立，则x2, y独立.2)如果 X1,X2.Xm，Y1,Y2.Ym相互独立，f (x)f 区).，区)和g(yj，g(y2).g(yj也相互独立如；x1x2与x3 x4,相互独立(没有相同项)放回抽样：样本总数为 xn，样本点为：正有几种选法，次有几种取法。不放回抽样：样本总数为x(x 1)(x 2).，样本点为：正有多少种取法，次有多少种取法第三节两个随机变量的函数的分布1. 离散弄随机变量的函数分布2. 两个连续型随机变量之和的概率z=x+丫的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为Fz(z)FZ z FX 丫 zf(x,y)dxdyx y zFz(z)公式法：令x=z-y(y =z-x)，得分布函数:Fz(z)f (x, z x)dxFz(z)f(zy,y)dy这里的积分区域:x+y z是直线x+y=z及其左下方的半平面zf (u y, y)dudy f (u y, y)dydu如果两个变量独立fz (z)Fz (z)fx (z y)fY(y)dyfz (z)Fz (z)fx(x), f,z x)dx对分布函数求导得z的概率密度为fz (z)Fz (z)f(z y,y)dyfz (z)Fz (z)f(x,z x)dx适用用两个