均值不等式练习题

1、利用均值不等式求最值的方法一. 均值不等式2 21. (1)若 a, R，则 a2 + b2 2ab (2)若 a, R，则 aa(当且仅当 a = b 时取“=”)-222. (1)若a,b亡 R*，则2 若a,b亡R*，则a + b ab （当且仅当a = b时取“=”）若a,b亡R，则ab 2 (X当且仅当X = 1时取“=”）；若X C 0，贝U X +丄2即x+12或x+ - 2 （当且仅当a = b时取“=”）若ab H0，则ababa+b2或a+b-2 (当且仅当a=b时取“=”)baba4.若a,b壬R，则（竺竺）2 匚艺（当且仅当a = b时取“=”）2 2注：（1）当两个正

2、数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们 的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.、配凑1.凑系数例 1.当 0 C X C 4 时，求 y = x(82-X）的最大值。解析：由 0 x 4知，82 X aO ,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x + （82 X）= 8为定值，故只需将 y = x（82 x）凑上一个系数即可。1 1 2x+82x 2y =x(

3、8 2x) =2x (82x) () =82 2当且仅当2x =8 -2x，即X = 2时取等号。所以当x= 2时，y=x（82 X）的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。512.凑项例2.已知，求函数4f（x）=4x 2+斫5的最大值。解析：由题意知4X-50故需对4x - 2进行凑，首先要调整符号，又（4x-2） 二 不是定值,4x 5项才能得到定值。=-(5-4x+3 -1时y 2J(x +1) - +5=9 x+1（当且仅当X = 1时取“=”号）。当X +1 0,即卩X 1时y 3 + 2血 b2b a，而 竺 与

4、一的积为定值，即可用均值不等式b2b a评注：本题巧妙运用“ 1 ”的代换，得到t = 3 +竺+上a b求得t二1 +1的最小值。a b三、换元例5.求函数yJx +22x +5的最大值。2t2 +1解析：变量代换，令 t = Jx +2 ，贝y X =t2 2（t 0）,则y =当 t = 0 时，y = 0当t0时，y= 一1 =也呎2阿1 4t=时取等号。2max评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而 为构造积为定值创造有利条件。四、取平方 I 15例6.求函数y =+ J5 -2x(- XV-)的最大值。解析：注意到2x-1与5-2X

5、的和为定值。y2 =(j2x-1 +J5-2X)2= 4+2j(2x-1)(5-2x) 4+(2x -1) +(5-2x) =8又yO，所以Ocy3)的最小值。x 33.求函数y =9(X 1)的最小值。X -14.已知X 0, y 0，且1 +丄=9，求x + y的最小值。x y4参考答案:1. (32. 53. 84.-9新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)典题精讲10 x 0，因而不能直接使用基本不等式，需分1(1)解法一： 0x 0.3例1( 1)已知y=x(1-3x)的最大值；可考虑把括号内外 x的系数变成互为相反数；(2)x 0与x 0讨论.、113x +(1

6、3x厂 y=x(1-3x)=- 3x(1-3x)奇:331函数取得最大值丄.121解法二： 0 X 0.3x + Lx3:2112 .2丄=12当且仅当x= - -x,即x=-时,36(2)解：当x0时，由基本不等式，得y=x+ - 2=2，当且仅当x=1时，等号成立.X X当x 0, (-x)+ 2当且仅当-x=(X)-X,即x=-1时，等号成立. y=x+ -二2. x1y=x+ 的值域为(-8-2: U： 2,+ 8).x绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要 注意等号成立的条件是否具备.综上，可知函数变式训练1当x-1时,1求f(x

7、)=x+ 的最小值.x+1思路分析：x -1= x+11 0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.x+1解： x -1, x+1 0. f(x)=x+ 丄=x+1 +x+1x+1-1 2 kx +1) 11=1.(X + 1)1当且仅当x+1= ，即 x=0时取得等号.x+1-f(X)min = 1.变式训练2求函数y= X Px +3的最小值.X2 +1t 叫2阳=2,当且仅当t,即t=1时，等号成立.t思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求 解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令 t=x2+1，则

8、 t 1且 x2=t-1.1 =t+ +1. ttx4 + 3x2 +3 = (t -1)2 +3(t -1) +3 t2 +t +1 x2 +1=t9当x=0时，函数取得最小值3.1 9求x+y的最小值.例 2 已知 x 0,y 0，且一+ =1 ,x y思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下 面给出三种解法，请仔细体会 .“啲代换”，解法一：利用 x+y=(x+y)(丄+- )=10+x/ x 0,y 0, x+空打兀亟=6.y Vx y当且仅当9x= ，g卩y=3x时，取等号y又-+x=1, x=4,y=12.当x=4,y=12时，

9、x+y取得最小值16.解法二：由 1+9 =1,得 x=yx yy 9/ x 0,y 0,.y 9.yy 9 +999x+y= +y=y+ =y+1=(y-9)+ +10.y-9y-9 y-9y-9/ y 9,. y-90. y9+9 胡(y_9)旦=6. y-92)y-99当且仅当y-9=丄一，即y=12时，取得等号，此时 x=4. 当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由y-919+ =1，得 y+9x=xy,x y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y- 9) 伽对匕-1)(y-9) =16,19当且仅当x-1=y-9时取得等号.又一+=1,X y x

10、=4,y=12.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察，学会变形，另外解法二，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误： r;冷专,即;/b W 历6. x+y2xy 2X 6=1 . x+y 的最小值是 12.19产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是1 = 9，不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目X y中连续运用了两次基本不等式，但是两个基本不等式等号成立的条件不同

11、，会导致错误结论a b变式训练 已知正数a,b,x,y满足a+b=10, + =1 , x+y的最小值为18,求a,b的值.x y思路分析：本题属于“ 1的代换问题.解：x+y=(x+y)( a+ b)=a+bx +3丫+&=10+氐 +x y y xy x x,y 0,a,b 0, -x+yi0+2Vab=i8，即 Jab=4.又 a+b=10,(a =2,或a=8, ib=8ib=2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+ 的最小值(0 x 1).Ig x思路分析：/ 0 x 1,4Igx 0, 0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负Ig x号变正数.

12、44解： 0 x 1,.lgx 0, 0.Ig xIg x(-Igx)+(-)TTx)(而)=4.44- lgx+W4. f(x)=3+lgx+ w$4=-1.Ig xlg x1x=时取得等号1004当且仅当lgx=，即Ig x则有 f(x)=3+lgx+Ig x(0V x 1)的最小值为-1.黑色陷阱:变式训练本题容易忽略0 x1这一个条件.511已知x ,求函数 y=4x-2+ 的最大值.44x5思路分析:5求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ，则4x-5 0.45 x - , 4x-5 0.411. cy=4x-5+ +3=- (5-4x)+ +34x55-4x解:十4x) gg1当

13、且仅当5-4x=，即 x=1时等号成立.5-4x所以当x=1时，函数的最大值是3变式训练2当x 0,/当 x 3 时，3 -2x 8+23-2X3-2X 82*2x=4,当且仅当3_2x2=一，即x=-时取等号3-2X2235于是y冬4+ =-,故函数有最大值2 2例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成图 3-4-1(1) 现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2) 若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度 最小？思路分析：设每间虎笼长为 x

14、 m，宽为y m，则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而则是在 xy=24的前提下来求 4x+6y的最小值.解：(1 )设每间虎笼长为 x m，宽为y m，则由条件，知 4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为 S,则S=xy.方法一：由于 2x+3y2 J2xx3y =2 J6xy ,2727- 2 J6xy 18得 xy w，即 S 0,.Ov y 6.3 3S=xy=(9- y)y= (6-y)y.2 2/ 0 y 0. sw3 (6-y)+y 2=272 2 2 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时

15、，可使面积最大.由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为I,则l=4x+6y.方法一 ： 2x+3y2 J2x ty =2 J6xy =24, l=4x+6y=2(2x+3y) 48当且仅当 2x=3y 时，等号成立. 由f23y,解得尸6,lxy=24,ly=4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小 24方法二：由xy=24，得x=y l=4x+6y=96+6y=6(16+y) y y11616 6 X2X y =48，当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时 x=6.V yy可使钢筋总长最小.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意

16、：(1) x,y都是正数；(2) 积xy (或x+y )为定值；(3) X与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池 (平面图如图3-4-2所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过 16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.思路分析：在利用均值不等式求最值时 进行求解.解：设污水处理池的长为 X米,则宽为于是总造价 Q(x)=400(2x+2 X 200=8

17、00(x+当且仅当图 3-4-2，必须考虑等号成立的条件，若等号不能成立，通常要用函数的单调性200 米(0 Xw 16,w 16),-. 12.5 W X 800 XX 324 +16 000=44 800,X1 X324吐x= (X0),即 x=18 时等号成立 而 18疋:12.5,16: , Q(x) 44 800.XQ(x)在12.5,16上的单调性.下面研究对任意 12.5X2 0,X1X2 162v 324.1 1Q(x2)-Q(x 1)=800 : (x2-X1)+324( 一 -): X2X1=800 X(X2 X1)(X1X2 -324) Q(X1). Q(x)在12.5,16上是减函数. Q(x) Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45 000元. 问题探究问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第n层