圆锥曲线大题综合测试(含详细答案

1、圆锥曲线22a2Ja21设椭圆M :2+=1 (a)的右焦点为Fi,直线I ：X=_ 与x轴交于点A，若OFi=2FiA (其中Oa2Ja22为坐标原点).(1)求椭圆M的方程;(2 )设P是椭圆M上的任意一点， EF为圆N：x2 +(y - 2=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)求PE ”PF的最大值.2 .已知椭圆E：务+占=1(a Ab 0 )的一个焦点为Fi(-J3,0),而且过点hLZ31a bI 2丿(I)求椭圆E的方程；(n)设椭圆E的上下顶点分别为 A1,A2, P是椭圆上异于As，A2的任一点，直线PAP分别交x轴于点N,M , 若直线OT与过点M,N的圆G相切，切点

2、为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.3、已知圆0：x2 +y2 =2交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F,若P是圆02上一点,连结PF,过原点0作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.（I ）求椭圆C的标准方程；（n）若点P的坐标为（1,1）,求证：直线PQ与圆0相切;（川）试探究：当点P在圆0上运动时（不与A B重合）,直线PQ与圆0是否保持相切的位置关系 ？若是,请证明；若不是,请说明理由.24 设 A(Xi,yi),B(X2,y2)是椭圆 每+仝X2y） =0，椭圆的离心率aXd y.x22 =1（a Ab0）上的两点，满足 （，竺）（丄bbab

3、短轴长为2, 0为坐标原点.2（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F （0, c）, （c为半焦距），2 25、直线I: y = mx + 1，双曲线C: 3x - y = 1，问是否存在 m的值，使I与C相交于A , B两点，且以AB为直径 的圆过原点2 26已知双曲线C：笃_爲=1(a0,b0)的两个焦点为F1(-2 , 0),F2( 2, 0),点P(3,J7)在曲线C上。(1)求a b双曲线C的坐标；(2)记0为坐标原点，过点Q(0,2)的直线I与双曲线C相交于不同两点 E,F,若 OEF的面积为22 , 求直线I的方程。7.已知椭圆C:X + 7=1(0)经过点A(2,

4、1)，离心率为 匝，过点B(3, 0)的直线I与椭圆C交于不同的两 a b2点M , N . (1)求椭圆C的方程;(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kA +kAN为定值.10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在X2 V22&已知椭圆Cj :牙厂=1（a ：bA0）的离心率为，直线I:y = x + 2j2与以原点为圆心、以椭圆 6的短半 ab2轴长为半径的圆相切。（I）求椭圆C1的方程；（n）设椭圆C1的左焦点为Fi,右焦点为F2,直线11过点Fi，且垂直于椭圆的长轴，动直线 12垂直11于点P

5、,线段PF2的垂直平分线交12于点M，求点M的轨迹C2的方程；（川）若AC、BD为椭圆Ci的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.2 29设F是椭圆C：笃+每=i（ab0）的左焦点，直线I为其左准线，直线I与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长a b轴,已知 |MN I =8,且 |PM I =2| MF |.求椭圆C的标准方程；求三角形ABF面积的最大值.（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A B 求证：/ AFM=/ BFNy轴上的截距为 m(mH0) , l交椭圆于A、B两个不同点(1 )求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA、MB与x轴始终

6、围成一个等腰三角形。2 2xV11已知椭圆C :ab= 1(ab0)，左、右两个焦点分别为Fi、F2，上顶点A(0,b)，也ARF?为正三角形且周长为6.(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(2)O为坐标原点，P是直线RA上的一个动点，求IPF2 I + IPOI的最小值，并求出此时点 P的坐标.12如图，设P是圆X2 +y2 =2上的动点，PD丄x轴，垂足为D, M为线段|PD|=J2|MD|，点 A、Fi 的坐标分别为(0, J2 ) , (- 1 , 0)。(1) 求点M的轨迹方程；(2) 求|MA|+|MF 1|的最大值，并求此时点M的坐标。2X213.如图，在平面直角坐标系 xOy中。

7、椭圆C : 一 + y =1的右焦点为F，右准线为I。2(1)求到点F和直线I的距离相等的点 G的轨迹方程。(2)过点F作直线交椭圆C于点A, B，又直线OA交I于点T ,若0T = 2OA，求线段AB的长;(3)已知点M的坐标为(Xo,yo )X0 H0 ,直线OM交直线学+ yoy =1于点N，且和椭圆C的一个交点为点 P ,是否存在实数 A ,使得Op2 =kOM ON?,若存在，求出实数 入；若不存在，请说明理由。圆锥曲线答案1 解：（1）由题设知， A（, 0）, F1（2,0）,Ja2 -2由 OF1 + 2AF1 = 0，得 J a2 -23分解得a2 =6 .=15分21.2所

8、以椭圆M的方程为M :6(2)方法1:设圆N:x2+(y-2；2=1的圆心为N ,则 PE ”PF =(N1 NP)NF NP 卜6分=(NFNP)f NFNP) 7分=Npnfnp1 -8分从而求PE ”PF的最大值转化为求 Np2的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点，设卩（怡，y0 ）,10分2 2所以 X +也=1，即 X02 =6 -3V02.6 211分因为点 N(0,2 )，所以 NP =X02 +(y0 -2 2 = -Ny。+1 f +12-12分因为所以J2, J2 ，所以当丫0 = -1时，NP取得最大值12.13分PE ”PF的最大值为11 -(I)可知 a(0,1),A

9、2(0,1 )，设 P(x0,y0),X,令 y = 0,得 Xn =;y。-1 X0直线 PA： y -1 =X0Vc +1直线 PA2： v+1 =X,令 v =0,得 XmX0则 |OM | JON 戶-XoXoXo2Vo T Vo+1Vo2-114分2而 X + Vq2 =1,即 x： = 4(1 - V )-.|OM4取线段MN勺中点Q连接GQ,GM ,GO , r =|GM |OT2 -OG2 -GM 2 =(OQ2 +QG2) -(MQ2 tQG2)= OQ2 -MQ2 =(|OQ + MQ |)(|OQ|-|MQ |) |OT| = 2.即线段OT的长为定值2.| |ON 1=

10、 4=|OM14分| qON |= 43 7.（14分）解:（I ）因为a =逅e=逅，所以c=1,则b=1,22所以椭圆C的标准方程为 +y22(n ) P(1,1), kPF =2, 心Q = 2, 直线 OQ的方程为 y=-2x,点 Q(-2,4)7 分- kpQ = 1,又 kop =1,二 koP 丄 k PQ = -1,即 OP! PQ故直线 PQ与圆O相切10分(川)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切 证明：设 P(Xo,yo)( X)北虫)，则 y； =2-x2,所以 kPF11分yoXo,k OQXo +1yo所以直线OQ的方程为y =所以点Q(-2,2 Xo +

11、212分yoyo所以kPQyo -2Xo +2yo2yo -(2 Xo +2)2-Xo-2 XoXo +2(Xo +2) yo(Xo +2) yo_空,又koP yoXo所以kOP丄kpQ=V,即OP PQ故直线PQ始终与圆O相切.14分4 9 解: (1) 2b=2.b=1,e 仝=疋aA.2 -a =2.e = V3椭圆的方程为2y 2+ X = 1.(2 分)(2)设AB的方程为y = kx + (3由 y214+ x2 =1(k2 +4)x2 +273kx _1 =0x4 +x-W3k-1MX尸右k2 +4(4 分)X1X20= b2+= X1X2 +丄(kx1 + 73)(kx2 +

12、 V3) = (1a4+ Jx1X2 +(X1 +X2)+-444k2 +4(k2：4)+尿-2愿+3,解得k=244 k2 +4(7 分)(3 )当A为顶点时,B必为顶点.Saaob=1(8 分)B不为顶点时，设 AB的方程为y=kx+by = kx +b+ x2 =12kb=(k2 +4)x2 +2kbx + b2 -4 = O得至y為 +x2 =k2 +4b2 4X1X2k2 +4X1X2迤=O = X1X2 + (kxb)(kxbU o代入整理得4:2bk4( 11 分)S =2|b|x1 -X2Eibij(xnx1X2b|J4k2一心16-际k2 +4=12|b|所以三角形的面积为定

13、值(12 分)972226 .解：(1)依题意 c =2, 2-一2 =1且c =a 中b，解得:a ba2 =2,b2 =2 ,22X _y_所以双曲线方程为亠-J =12 24分(2)依题意可知，直线丨的斜率存在设直线 1 的方程为 y=kx+2 , E ( x-i, y1), F ( x2, y2),2 2由 y=kx+2 及 7-y-1 得(1k2)x24kx6 = 0,有两个交点，1k2H0，又 =16k2 +24(1-k2) aO , k2 3, Wk73，又且心2=占， I EF |=VJ(x1+x2)2-4nx2 = O点到直线的距离为 已=，又S = I EF I d = 2

14、,j1+k22J(令-岛 W， k=Q9分直线l的方程为y = 72x +2或 y = -72x +212分42 a27 .解：(1 )由题意得0，解得一1 k ,当1 +2k2 =k2 +2时,即k =1时取等号.9易知，当直线 AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S = 89 解：(1) / |MN I =8 a = 4又 I PM I = 2 IMF I 得又祚郦茅即F弔得鬥a0玄用或 晁韵鸟舍去)1=0= C或e=1(舍去) c22 2 2c=2 b =a -c =122椭圆的标准方程为x162+y =112当AB的斜率为0时,显然 NAFM =NBFN =0.满足题意当

15、AB的斜率不为0时，设A(Xi,yi), B(X2,y2), AB方程为X =my 8,代 入 =(48m)2椭 圆_4 咒144(3m22 2(3m + 4)y 48my +144=0 则程 整 理48mf = 2y13m +4y2得144 讨2 =23m +4 + 丿2= 2my1y2 6(y1 +y2)_ 0X, +2 X2 +2 my 6 my -6(my6)(my6)/. kAF +kBF =0,从而 ZAFM =ZBFN.综上可知：恒有 /AFM =NBFNzox172 m2 -A(3) SBF =8肿-jpAF =21 PF1 1 y2 yi =看 也7272厂 兰一=3j316

16、_2J3162 -4即m2 =28 (此时适合 0的条件)333/AaF十kBF =旦+ 4), yi72jm2 -4；= 2 3(m 3+16 37m+.Vm3jm2 _4 =-p46=Jm2 -4三角形abf面积的最大值是当且仅当10【解析】：|a= 2b则 41+ la2 b2取得等号(1)设椭圆方程为解得F： =8=1lb2 =2b2= 1(ab 0)2 2所以椭圆方程乞+1=18 2(2)因为直线丨平行于OM，且在y轴上的截距为 m又Kom =1，所以l的方程为：y =：x + m由y =1X + m22昇=122xl82 2X +2mx+2m 4=0因为直线l与椭圆交于A、B两个不

17、同点,M =(2m)2 4(2m2 4) aO,所以m的取值范围是(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2，只要证明 匕+ k2 =0即可设 A(N,y1),B(X2,y2)，则 k1 -巧,k2 =X! 2丫2-1x2 22 2 2由 X +2mx+2m 4 =0可得 x- +x-2m,x1x2m -4而 & 你2 - y T + y2 T _(y1 T)(X2 -2)+(y2 T)(X1-2) 勺2X1-2X2-2(X1 -2)(X2-2)(x2)(X2 -2)=0 故直线MA、MB与X轴始终围成一个等腰三角形。11解:(I)解：由题设得a =2ca + a + 2c = 6 a2 =

18、b2 +c2a = 2,b =(3 , c = 122故C的方程为=1.43解得:5分 离心率_ 12(2)直线F1A的方程为y = j3(x+1),设点0关于直线RA对称的点为M (x0, y0)，则r 一1X0X0 二2 (联立方程正确，可得分至y。_ 句X0iyLT-3(T 1)iy0 28 分)所以点M的坐标为(!，) P0| =|PM I，IIPF2I+IPO| =|PF2I+IPM I |MF2 ,10分| PF2 I +1 PO I的最小值为 I MF2 1= J(-3 1)2 +( -0)211分直线MF2的方程为y = 2-0一(x-1)31(12J 3即 y = -(x-1)512分r V3M y 一百(XT)二 y 2(x+1)2X = 一33，所以此时点P的坐标为IV3(-鸞)14分1 1(2为 +m(X2 -2)十(2%2 +口-1)(治-2)X1X2 +(m + 2)仕 +X2)4(m-1)(为-2)(X2-2)(捲2)(X2-2)2m2 -4 +(m + 2)