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文档简介
1、整理ppt,1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法,整理ppt,本节内容,1. 线性方程组的同解变换; 2. 矩阵的初等变换; 3. 初等矩阵; 4. 用初等行变换求逆矩阵,整理ppt,线性方程组的同解变换,同解变换,就是变换后的线性方程组与原线性方程组同解。 初等变换就是线性方程组的同解变换。 定理:设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程组,则新方程组与原方程组同解。(证明看课本第9页,整理ppt,矩阵的初等变换,定义:以下三种变换称为矩阵的初等变换: 1. 对换矩阵的两行(或两列); 记为 2. 以任意数 乘以矩阵的某一行(或列)每个元; 记为 3. 某一行(或列)的每个元乘以同一常数加到
2、另一行(或列)的对应元上去. 记为 矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为AB。 习惯上在箭头的上面写出行变换,下面写出列变换,整理ppt,消元法解线性方程组,消元法的基本思想是:反复利用同解变换将方程组化为阶梯形状。 在消元法求解过程中,只涉及到对方程组的系数与常数的运算。因此只考虑对方程组的系数与常数组成的矩阵进行变换即可。相应的,对矩阵进行类似的变换叫做矩阵的初等变换,整理ppt,矩阵的初等行变换的定义,完全对应着方程组的同解变换。因此,对矩阵进行初等行变换使其成为阶梯形矩阵的过程,实际上就是对方程组进行同解变换使其变为阶梯形状的过程。 例:解线性方程组,整理ppt,先将方程组的系数与等式右
3、边的常数组成一个34的矩阵,然后对矩阵进行初等行变换,整理ppt,变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。 或 注意:在对矩阵进行初等变换时,只能进行行变换,不能进行列变换!因为矩阵列变换对应的并不是线性方程组的同解变换,整理ppt,初等矩阵,定义:由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初等矩阵。 由于初等变换有三种类型,所以对应的初等矩阵就有三种类型。 (1)对调I的两行(或两列); (2)非零数乘以I中的某行(或某列); (3)某行(或列)的若干倍加到另一行(或列)。 初等矩阵都是可逆的,并且,根据逆矩阵的定义,容易验证以上各式。 同时,上面等式表明:初等矩阵的逆仍然是初等矩阵,整
4、理ppt,初等矩阵的性质,定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. 用初等矩阵左乘某矩阵,相当于对该矩阵进行相应的初等行变换;用初等矩阵右乘矩阵,相当于对该矩阵进行相应的初等列变换;反之亦然。 若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的,那么可以记为BPAQ,其中P、Q为初等矩阵的乘积 定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. 定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵. 定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积,证明1.3,1.4,1.5,整理ppt,用初等行变换求逆矩阵,原理:可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积,设 则 上式表明,对矩阵
5、A与I进行相同的行变换,在把A化为单位阵的同时,就把I化为了A的逆矩阵。 做法:将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵,对大矩阵进行行变换,在A部分成为I的时候,原来的I部分就成为A的逆,整理ppt,例题,设 ,求 解,整理ppt,小结,本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号,初等矩阵的记号; 2. 初等矩阵的性质; 3. 用初等行变换求逆矩阵,整理ppt,作业,P34 1.7(2)(5) 1.10,整理ppt,初等变换,线性方程组的初等变换有三种: 1. 互换两个方程的位置; 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数; 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍. 初等变换是可逆的,即用同类型的变
6、换可将新方程组变为原方程组。 注意:变换过程中方程组中方程的个数不变,返回,整理ppt,互换两个方程的位置,返回,整理ppt,方程两边同乘以一个非零常数c,返回,整理ppt,一个方程加上另一个方程的k倍,返回,整理ppt,对调I中的两行(或两列,对调I的两行 对调I的两列,返回,整理ppt,非零数乘以I中的某行(或某列,非零数乘以I的行 非零数乘以I的列,返回,整理ppt,某行(或列)的若干倍加到另一行(或列,返回,整理ppt,初等矩阵左乘相当于行变换初等矩阵右乘相当于列变换,整理ppt,返回,整理ppt,矩阵的初等变换,定义:以下三种变换称为矩阵的初等变换: 1. 对换矩阵的两行(或两列); 记为 2. 以任意数 乘以矩阵的某一行(或列)每个元; 记为 3. 某一行(或列)的每个元乘以同一常数加到另一行(或列)的对应元上去. 记为 矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为AB。 习惯上在箭头的上面写出行变换,下面写出列变换,返回,整理ppt,初等矩阵的性质,定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. 用初等矩阵左乘某矩阵,相当于对该矩阵进行相应的初等行变换;用初等矩阵右乘矩阵,相当于对该矩阵进行相应的初等列变换;反之亦然。 若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的,那么可以记为BPAQ,其中P、Q为初等矩阵的乘积 定理1.
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