机械控制工程基础 自动控制原理第五章 系统的稳定性

1、自动控制原理,1,第五章,系统的稳定性,第一节,稳定性的基本概念,第二节,Routh,劳斯）稳定判据,第三节,Nyquist,稳定判据,第四节,系统的相对稳定性,第五章,系统的稳定性,第一节,稳定性的基本概念,一、稳定性的概念,系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消,除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态,或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之,如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或,发生持续振荡，则系统是不稳定的,系统的稳定性是系统的固有属性，只与系统结构参,数有关，与外部作用无关,第五章,系统的稳定性,二、系统稳定的条件,线性定常系统的微分方程一

2、般式为,d,n,d,n,1,d,a,0,n,x,o,t,a,1,n,1,x,o,t,a,n,1,x,o,t,a,n,x,o,t,dt,dt,dt,m,m,1,d,d,d,b,0,m,x,i,t,b,1,m,1,x,i,t,b,m,1,x,i,t,b,m,x,i,t,n,m,dt,dt,dt,在非零初始条件下进行拉氏变换得,M,s,N,s,X,o,s,X,i,s,D,s,D,s,第五章,系统的稳定性,二、系统稳定的条件,M,s,N,s,X,o,s,X,i,s,D,s,D,s,上式中,M,s,b,0,s,b,1,s,D,s,a,0,s,a,1,s,n,m,m,1,b,m,1,s,b,m,n,1,a

3、,n,1,s,a,n,M,s,G,s,系统的传递函数,D,s,N,s,与初始条件有关的,s,多项式,第五章,系统的稳定性,二、系统稳定的条件,系统的零输入响应,X,i,s,0,时,为,N,s,X,o,s,D,s,上式中,D(s)=0,是系统的特征方程,D,s,a,0,s,a,1,s,n,n,1,a,n,1,s,a,n,0,n,若特征根,p,i,各不相同，则,N,s,p,i,t,x,o,t,L,X,o,s,L,A,i,e,D,s,i,1,1,1,第五章,系统的稳定性,二、系统稳定的条件,N,s,p,i,t,x,o,t,L,X,o,s,L,A,i,e,D,s,i,1,若系统所有特征根,p,i,的实

4、部小于零，则有,1,1,n,lim,x,o,t,0,t,此时系统为稳定系统,否则系统为不稳定系统,系统稳定的充要条件,系统特征方程的全部特征根均具有负实部,第五章,系统的稳定性,第二节,Routh,劳斯）稳定判据,线性系统稳定的充要条件是,其特征方程的所有,特征根均具有负实部,因此，判别系统稳定性需要,求特征根，当系统阶次较高时，求解较为困难。为,此,Routh,提出用特征方程的系数来判别根的正负,第五章,系统的稳定性,一、系统稳定性的必要条件,若系统特征方程为,D,s,a,0,s,a,1,s,n,n,1,a,n,1,s,a,n,n,a,1,n,1,a,2,n,2,a,n,1,a,n,a,0,

5、s,s,s,s,a,0,a,0,a,0,a,0,a,0,s,p,1,s,p,2,s,p,n,0,若使全部特征根,p,1,p,2,p,n,均具有负实部，必须满,足,1,特征方程的各项系数,a,0,a,1,a,2,a,n,都不为零,2,特征方程的各项系数,a,0,a,1,a,2,a,n,的符号都相同,第五章,系统的稳定性,二、劳斯稳定判据,设系统的特征方程为,a,0,s,a,1,s,n,n,1,a,n,1,s,a,n,0,系统稳定的充要条件是,特征方程式的全部系数,为正,且,由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素,均为正,若不满足，则不稳定,劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应,特征方程位于

6、右半,s,平面上根的个数,劳斯表的构造,D,s,a,0,s,a,1,s,s,n,s,n,1,s,n,2,s,1,s,0,n,n,1,a,2,s,n,2,a,n,1,s,a,n,0,a,0,a,2,a,4,a,1,a,3,a,5,b,1,g,1,b,2,b,3,a,1,a,2,a,0,a,3,b,1,a,1,a,1,a,4,a,0,a,5,b,2,a,1,表中,1,最左一列元素按,s,的幂次排列，由高到低，只起标识作,用，不参与计算,2,第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入,3,从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到,劳斯判据的应用,1,判断系统的稳定性,例,5-1,设有下列特征方程

7、,D,s,s,4,8,s,3,17,s,2,16,s,5 = 0,试用,劳斯判据判别该系统的稳定性,解,劳斯表,s,4,1 17 5,8 16 0,s,3,2,s,1,s,s,0,劳斯判据的应用,2,判断系统的稳定性及,s,右半平面根的数目,例,5-3,设有下列特征方程,D,s,s,4,2,s,3,3,s,2,4,s,5 = 0,试用劳,斯判据判别该系统的稳定性及特征方程的正实部根的数目,解,劳斯表,s,4,1 3 5,2 4 0,1,6,5,5,s,3,2,s,1,s,s,0,第一列元素,符号改变了,2,次，系统不稳定，且,s,右半平,面有,2,个根,劳斯判据的应用,3,劳斯判据的特殊情况,

8、第一种：劳斯数列中某一行的第一列元素为零，但该,行其余元素不全为零,第二种：劳斯数列中某一行的元素全部为零,例,5-3,系统的特征方程为,D,s,s,4,2,s,3,s,2,2,s,1 = 0,试用劳斯判据判别系统的稳定性,解：系统的劳斯表为,s,4,s,3,2,s,1 1 1,2 2 0,0,s,1,s,0,用一个很小的正数,来,代替第一列为零的项,从而使劳斯,表继续下去,例,5-4,设某线性系统的闭环特征方程为,D,s,s,6,2s,5,8s,4,12,s,3,20,s,2,16,s,16 = 0,试用劳斯判据判断系统稳定性,解,该系统的劳斯表如下,s,6,s,5,1 18 20 16,2

9、 12 16 0,s,4,s,3,2,12 16 0,0 0 0,s,2,s,1,s,0,用全零行的上一行的系数构成一个辅助,方程，对辅助方程求导，用所得方程的,系数代替全零行，继续劳斯表计算,劳斯判据的应用,4,分析参数变化对稳定性的影响,例,5-5,系统方框图如下，试确定使系统稳定时,K,的取值,范围,R,s,C,s,K,s,s,1,s,2,解：系统特征方程式,s,3,s,2,s,1,s,0,s,3,3,s,2,2,s,K,0,要使系统稳定，劳斯表中第,一列元素均大于零,1 2,3,K,6,K,3,K,0,K,6,5,确定系统的相对稳定性,例,5-6,系统特征方程为,D,s,2,s,3,10,s,2,13,s,4 = 0,判断该系统的稳定性，并检验有几个根在垂直线,s,1,的,右边,解,1,s,3,2 13,劳斯表中第一列元素均,为正,系统在,s,右半平面没有,根，系统是稳定的,S,1,1,s,s,2,s,1,10 4,12.2,s,0,4,2,令,s,1,s,1,坐标平移,得新特征方程为,2,s,1,3,4,s,1,2