《复合梯形公式》

1、整理ppt,1,从积分和式到求积公式 插值型求积公式 求积公式的代数精度 复合梯形公式 MATLAB求积分命令,第五章 数值积分与数值微分,整理ppt,2,椭圆周长计算,x =a cos t y =b sin t,0 t 2,椭圆积分,整理ppt,3,x = a sin cos y = b sin sin z = c cos,D= (，) |0 2, 0,思考题: 椭球面的面积计算,椭球面积的积分表达式？ 对二重积分的计算问题？ 三维体积的离散数据计算,整理ppt,4,积分和式的计算: f (x)Ca, b单增, 令 h = (b a)/n, xk = a + kh, (k = 0,1,2,n

2、,近似计算,整理ppt,5,4.8612e+004 4.8660e+004 4.8683e+004 4.8695e+004 4.8701e+004 4.8704e+004 4.8706e+004 4.8707e+004 4.8707e+004,4.8803e+004 4.8755e+004 4.8731e+004 4.8719e+004 4.8713e+004 4.8710e+004 4.8709e+004 4.8708e+004 4.8708e+004 4.8708e+004,a=7782.5 c=972.5,P.170人造卫星的轨道长度计算,整理ppt,6,数值求积公式的一般形式(机械求积

3、公式,Rf 为数值求积公式余项, x0, x1, , xn为求积 结点; A0, A1, , An为求积系数,矩形公式: 取A0 =(b a,特别地， 时分别称为左矩公式，中矩公式，右矩公式,整理ppt,7,梯形公式: 取A0 =A1 =(b a )/2,Simpson 公式 取A0 = A3 =(b a )/6， A1 =2(b a )/3,整理ppt,8,整理ppt,9,插值型求积公式: 在 a，b上取 a x0 x1 x2 xnb 作Lagrange插值,令,插值求积法,整理ppt,10,插值型求积公式的余项,例2 梯形公式的误差余项,即,整理ppt,11,例3取 x0 =a, x1 =

4、0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b a,A0= (b-a)/6 A1=2(b-a)/3 A2= (b-a)/6,著名的 Simpson 公式,整理ppt,12,定义: 若一个求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,m)能精确成立，但对f(x)= xm+1不精确成立，则称该公式具有m次代数精度。 令机械求积公式对f(x)= xi(i=0,1,.,n)精确成立，那么得线性方程组 当节点xk (k=0,1,.,n)给定且互异时，系数Ak可由上式确定,整理ppt,13,定理：(n+1)个节点的求积公式为插值型的充要条件是该公式至少有n次代数精度,类似有: Simpson公式具有

5、3阶代数精度,例. 矩形公式 代数精度为0,整理ppt,14,解: 取f(x)= 1, x, x2 令求积公式准确成立,容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立. 因此这一公式只具有2次代数精度,整理ppt,15,取等距结点xj = a + jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度,Newton-Cotes公式代数精度至少为n,整理ppt,16,复合梯形求积公式,将积分区间a,b n 等分.令h=(b-a)/n . xj=a+jh,整理ppt,17,整理ppt,18,取,递推，

6、得,给定允许误差界0,当,时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值,整理ppt,19,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); t=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2); n=1;h=pi/2;e=1;k=0; while e0.01 s=0.5*(t+h*sum(f(.5*h:h:pi/2); e=abs(s-t);t=s; n=2*n;h=h/2;k=k+1 end 4*t,ans=4.8707e+004, (循环次数k= 2,复合梯形公式计算,将程序第二行改为t=0.5*pi*f(pi/2)用积分部分和式计算,循环次数k=13,整理ppt,20,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); T=4*quad(f, 0, pi/2) Ans=4.8707e+004,MATLAB求定积分命令quad(fun, a, b,高阶求积分命令q = q