线性代数复习典型例题-文档资料

1、1,线 性 代 数,2,例12,解,3,注,1,2,4,计算 n 阶行列式,解,将第 列都加到第一列上,得,5,特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把 第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算,6,爪形行列式,特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式,7,范德蒙德(Vandermonde)行列式,从最后一行开始,每行减去上一行的 倍,8,按最后一列展开再提取每列的公因子,9,10,11,例5,证明 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆,设方阵 A 满足,证,12,例6,设 A , B 和 A+B 均可逆,证明 也可逆,并求其逆,证

2、,13,例7,设A为3阶方阵 ,求,解,14,设 即有初等矩阵 使得,问,作一次行变换,再作一次行变换,继续,考虑对 作行变换,求逆矩阵的初等变换法,15,解矩阵方程,解,例12,16,17,18,证,19,5) 设 A 是 n 阶方阵,其中 都是方阵,则称A为分块对角矩阵,20,时， 有无穷多解,时， 无解,时， 有无穷多解,问 a , b 为何值时, 方程组有解, 无解,解,21,解：系数矩阵是方阵首选行列式法,问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解,22,分析：当 时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项

3、。再用初等行变换法加以判别,当 时，方程组有唯一解,当 时,当 时， ，方程组无解,当 时， ，方程组有无穷多解,23,通解为,24,向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果,按定义,转换为方程组,用矩阵的秩,方程组,25,存在不全为零的数 使,按定义,转化为方程组,齐次方程组,用矩阵的秩,把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关,证明向量组线性相关性的基本方法,向量方程,26,7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关,P101推论2,由它构成的n阶矩阵的行列式,t 取何值时,下列向量组线

4、性相关 ,解,记,当 t = 5 时, 上面向量组线性相关,例4,27,设 线性无关, 问 满足什么条件,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题, 就是矩阵乘法的关系。P104,则,例6,28,设,要讨论上面方程组何时有非零解,由,29,线性相关,30,另证,由于 是列满秩矩阵, 故,31,例7,重要结论,设向量组 能由向量组,线性表示为,且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是,证法一(适用于一般的线性空间)设,32,求向量,一个最大无关组,并把其余,向量用该最大无关组表出,矩阵的秩=,线性无关吗,是最大无关组吗,阅读书P109例3,33,34,是右边的最大无关组,是左边的最大无关组,

5、总结,矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系,引理2,35,注: 以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了,向量组的秩与矩阵秩的关系,三秩相等定理,36,证(以前证过,证明齐次方程组的解集,是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间,37,定义,设 是一向量组, 称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,特别地, 由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为 A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A,38,六、正交矩阵,A 是正交矩阵,39,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,4-1

6、,向量 可由A的列向量组,线性表示,40,对于齐次方程组,1,A的列向量组线性无关,2,A的列向量组线性相关,推论1,当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3) 必有非零解,41,证明,设 , 首先证明,利用这一结论,证,重要结论,42,求一个齐次方程组, 使它的基础解系为,记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知,然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可,解 得基础解系,设所求的齐次方程组为 , 则,解,43,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方程组的通解,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组的通解为,44,第1