随机变量2.2离散型随机变量.ppt

1、第二章 随机变量,随机变量及其分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布,2.1.1随机变量的概念,在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念,2.1 随机变量及其分布函数,一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数,另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关， 但可引进一个变量来表示试验的各种结果,即试验结果可以数值化,试验结果与数值有关的例子,4. 观察一只灯泡的使用寿命,5.测量某零件尺寸时的测量误差,1. 观察掷一颗骰子出现的点数,2. 连续射击, 直至命中时的射击次数,3.某射手连续射击了30次, 他击中目标的次数,试验结果看起来

2、与数值无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例子,在投篮试验中，用0 表示投篮未中，1 表示罚篮命中，3 表示三分线外远投命中，2 表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化,2. 在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头的一面 朝上，0 表示另一面朝上，则随机试验的结果也可 数值化,这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为,X,定义一个实值函数 X(), 将,称这种定义在样本空间上的实值单值函数X=X()为随机变量,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律,2)随机变量的取值具有一定的概率规律,

3、随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数,说明,1)随机变量与普通的函数不同,有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来,如：用 X 表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则 X 是一个随机变量,事件 收到呼叫 X 1,没有收到呼叫 X=0,3)随机变量与随机事件的关系,随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等表示,随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母，等表示,随机变量的分类,离散型,离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫

4、做离散型随机变量,观察掷一颗骰子出现的点数,随机变量 X 的可能值是,随机变量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6,非离散型,其它,实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,随机变量 X 记为“击中目标 的次数,则 X 的所有可能取值为,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差,则 X 的取值范围为 (a, b),实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命,连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个或某些区间,叫做连续型随机变量,则 X 的取值范围为

5、,我们重点研究离散型和连续型随机变量，因它们都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点,学习时要注意它们各自的特点及描述方法,称为X的分布函数,1)F(x)是普通函数，定义域,2.1.2 随机变量的分布函数,1.定义,注意,值域0,1,2)分布函数的几何意义,设X是一个随机变量， x 是任意实数，函数,例. 往一个半径为2米的圆盘上射击，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数,解,1） 若 x 0, 则 是不可能事件，于是,2,X,若0 x 2,由题意，有,3） 若

6、, 则 是必然事件，于是,0 1 2 3,1,F(x,x,综上，X的分布函数为,2.分布函数的性质,分布函数都有如下性质,1) F (x) 是一个单调不减函数,0 1 2 3,1,F(x,x,即 F (x) 是右连续的,反之,若某个实值函数具有上述性质,则它一定是某个随机变量的分布函数,说明：有的课本定义分布函数为,这时，分布函数左连续,设X是一个离散型随机变量，其可能取值为 x1, x2 ,为描述随机变量 X ，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率,2.2 离散型随机变量,说明,定义,2.2.1 离散型随机变量分布律的定义及性质,用这两条性质判断 一个数列是否是概 率分布,概

7、率分布,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,解：依据概率分布的性质,欲使上述数列为概率分布，应有,例1：设随机变量 X 的概率分布为,确定常数 a,从中解得,这里用到了幂级数展开式,例2：袋子中有依次标有-1，2，3的球1个、2个、1个，从中任取一球，X表示所取球的标号,求X的分布律和分布函数，并求,X pk,1 2 3,当x-1 时,0,x,X,1,x,解,由古典概率得：X的分布律为,当,满足X,x的X取值为X=-1,x,X,1,x,当,满足X,x 的X取值为X =-1,或2,X pk,1 2 3,同理当,1 0 1 2 3 x,1,o,o,o,设离散型随机变量X 的概率分布为 pk =

8、P X=xk , k=1,2, X 的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,另解,注意：已知离散型随机变量的分布律，求分布函数时，区间端点应该放在左端点；求X取值在某个区间的概率一般用分布律，即,P24例2.6（2）解法 例2.7(3)答案有误,要注意区间端点,解,则有,例3,如何简单验证,2.2.2 常见离散型随机变量的分布,1. 两点分布或（0-1）分布,设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用= 1, 2 表示其样本空间。 P(1) = p , P(2) = 1-p,则称X服从参数p的两点分布, 记成 XB(1, p,即,例 4：200 件产品中，有196件正品，4件次品，今从中随

9、机地抽取一件，若规定,则 PX=1 = 196/200 = 0.98, PX=0 = 4/200 = 0.02 . 故 X 服从参数为0.98的两点分布,即 XB(1, 0.98,如果试验只有两种可能结果，称这样的试验为 伯努利试验, 将伯努利试验在相同的条件下独立地重 复n 次，则称这一串试验为 n重伯努利试验,1) n 重伯努利试验,2.二项分布,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验,2) 二项概率公式,若X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,设每次试验事件A发生的概

10、率均为p，则X的所有 可能取值为,下面来求事件X=k的概率,且两两互斥,称这样的分布为二项分布.记为,2)从次品率是p的产品中放回抽取n件，则其中次品的件数X服从 B(n,p),服从二项分布的随机变量很多，比如,1)n个人独立射击，设每个人击中目标概率都是p,则击中的人数X服从 B(n,p),则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解: 每答一道题相当于做一次Bernoulli试验,X：该生答对的题数，则,例5:一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能 答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测 至少能答对4道题的概率是多少,靠猜测答对每一道的题的概率均为1/4,例6:从次品率为p=0

11、.2的一批产品中，有放回抽取5次，每次取一件，分别求抽到的5件中恰好有3件次品以及至多有3件次品的概率,解,有放回抽取5次，可以看成是5重伯努利试验,p=0.2,X：抽到次品的件数，则,A=恰好有3件次品,B=至多有3件次品，则,练习：将一枚硬币连掷3次，求恰有2次出现正面及既出现正面又出现反面的概率,解,记为B,X：正面出现的次数，则,P27 例2.9,2.11,二项分布 B(n, p) 和两点分布B(1, p)之间的一个重要关系,设试验 E 只有两个结果: A 和,将试验 E 在相同条件下独立地进行 n 次，记 X 为 n 次独立试验中A出现的次数，则X B(n, p),X= X1+X2+

12、 +Xn,引入随机变量,则 Xi B(1, p,且 X1, X2 , , Xn相互独立,则有,设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2, 概率分布为,3. 泊松分布,其中0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X P(),易见,例7：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 =3 的泊松分布。求： (1). 一分钟内恰好收到3次寻呼的概率； (2).一分钟内收到2至5次寻呼的概率,解,1). PX=3 = (33/3!)e-3 0.2240； (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2!) + (33/3!) + (

13、34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家泊松引入的,二项分布与泊松分布的关系,定理1(泊松定理): 对二项分布 B(n,p), 当 n充分大, p又很小时,对任意固定的非负整数 k，有近似公式,例8：某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求:一天内没有出租车出现故障的概率,解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关, 于是, 观察400辆出租车是否出现故障就是做 400 次贝努利试验。设 X 表示一天内出现故障的出租车数, 则 X