第七章第6讲空间向量及其运算

1、课本温故追报求源第6讲空间向量及其运算-4：教材回顾夯实基础)知识梳理1. 空间向量的有关定理a, b(bM0), a/ b的充要条件是存在唯一的实b不共线，那么向量 P与向量a，b共面的充要条(1) 共线向量定理：对空间任意两个向量 数入使得a= ?b.共面向量定理：如果两个向量a,件是存在唯一的有序实数对(X, y),使p= xa+ yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量P,存在有序实数组X, y, z，使得p= xa+ yb+zc.其中a, b, c叫做空间的一个基底.2. 两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1) 两向量的夹角：已知两个非

2、零向量a, b,在空间中任取一点 0,作OA = a, OB= b,则/ AOB叫做向量a与b的夹角，记作a, b.通常规定0 =，则称向量a, b互相垂直，记作 a丄b.(2) 两向量的数量积：两个非零向量 a, b的数量积a b= |a|b|cos a, b. (3 )向量的数量积的性质： a e= |a|cos ; a丄 b? a b= 0; |a|2= a a = a2; |a b|三|a|b|.(4)向量的数量积满足如下运算律： (扫)b= X a b); a b= b a(交换律); a (b+ c) = a b+ a c(分配律).3. 空间向量的坐标运算(1) 设 a = (a

3、i, a2, a3), b= (bi, b2, b3). a+ b= (ai + bi, a2 + B, a3 + b3), a b= (ai bi, a2 b2, a3 b3),入 a=(入 1,入 a2,入 a3), a b= a丄bi+ a_2b_2+,入 b, a2=入 2, a3=入 b(入 R), a baibi + a2b2 + a3b3a丄 b? aibi + a2b2 + a3b3= 0,cosa， b=|al =/a?+a2+ a3 乂 1+b2+ b2 .yi, Zi) , B(X2 , y2, Z2),a / b? ai =设A(xi,贝yAB = OB OA = (x

4、g X, y? Vi, Z2 Zi).做一做1. 已知 a= ( 2, 3, i), b= (2, 0, 4), c= ( 4, 6, 2),则下列结论正确的是()A . a / c, b / cB. a / b, a丄 cC. a / c, a丄bD .以上都不对解析：选 C. c= ( 4, 6, 2) = 2a,.a / c.又 a b= 0，故 a丄 b.2. 若向量a,b,c是空间的一个基底，向量m = a +b,n= ab,那么可以与m, n构成空间另一个基底的向量是 ()A . aB. bC. cD. 2a解析：选C. a+ b, a b分别与a, b, 2a共面,它们分别与a

5、+ b, a b均不能构成一组基底.要点整合1. 辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别.共线向量定理中a / b?存在唯一的实数 入 R,使a= ?b易忽视0.(3) 共面向量定理中，注意有序实数对(X, y)是唯一存在的.(4) 向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a b) c= a (bc)不一定成立.2. 建立空间直角坐标系的原则(1) 合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直.(2) 尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.3. 利用空间向量坐标运算求解问题的方法 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；一线段的长度，一： 异面直线所

6、成的角， 行转化.做一做3.在直三棱柱 AC1所成的角等于(A. 30C. 60解析：选C.不妨设求两点间距离或某 般用向量的模来解决； 解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进ABC-A1B1C1 中，右/ BAC = 90, AB= AC = AA1,)则异面直线 BAi与所示，则 B(0, - 1 , 0),BAi= (0, 1, 1),AC1= ( 1, 0, 1), cos BA1, AC1BA1AC1B. 45D. 90AB = AC = AA1 = 1,建立空间直角坐标系如图Ai(0, 0, 1), A(0, 0,

7、 0), Ci( 1 , 0, 1),C_ _ _ 1=臥1|屁1込 xV2 = 2, = 60 ,异面直线BA1与AC1所成的角等于604.已知A(3, 2, 1), B(1 , 0, 4)，则线段AB的中点坐标和|AB|分别是 解析：设P(X, y, z)是AB的中点，贝UT 1 T10P= 2(0A + OB) = 2(3 , 2, 1) + (1 , 0, 4)5=(2, 1, 2),dAB=|AB|=7 ( 3 1) 2+( 2 0) 2+( 1 4) 2=Zi7.答案：(2, 1 , 2)，浙7宀貢疵菩诵T%煮荚f：考点一 _空间向量的线性运算N, P分别是+ NC1.AB= b,

8、 AD = c, M , 试用a, b, c表示以下各向量：(1)AP;AN;IMP如图所示，在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，设AAi= a, AAi, BC, CiDi 的中点，Bl解 P是CiDi的中点， AP = AAi + AiDi + DiP=a+AD + 2diCi1 71=a+ c+ 2AB= a + c+ 2b.(2) / N是BC的中点，.關=A + AB + BN=a+ b+ gBC171=a+ b+ 2AD = a+ b+2c.(3) / M是AAi的中点， MP = MA + Ap= 2a1A+ Ap1 1 =2a + (a+c+ 2 b)1 1 =2a +

9、 2b+ c.7771 77又 NCi = NC + CCi = 2BC + AAi1 771=2AD + AAi = 2 c+ a.MP + NCi11131_=(2 a+ 2 b+ c) + (a+ 2c)=尹 + 2b+ 2 c.规律方法用已知向量表示某一向量的方法：用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来.僵璽1.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，O为AC的中点.HH : :u Ih Ik /r JB*:Af1 f 1 f(1)化简 A1O2Ab2Ad =.用

10、Ab, Ad, AXj表示OC1,则 OC1 =.解析：(1)A?O 1AB 1AD = A?O 1(AB + aD)= a/O Ao= a1o + OA =心. (2)(00= Ac=(AB + AD).fff 1 f ff.OC1= 0C+ CC1 = 2(AB + AD) + AA11 f 1 f f=2AB + 2AD + AA1.答案：心 2aB + 1aD + AA1考点二共线、共面向量定理的应用 已知E, F, G, H分别是空间四边形 ABCD的边AB, BC, CD , DA的中点,求证：F, G, H四点共面;=EF+EH,由共面向量定理的推论知，E,F, G, H四点共面

11、.(1)E,(2)BD /平面 EFGH.证明(1)连接BG(图略), 则 EG= EB + Bgf 1 ff=EB+ 2(BC + BD)=EB+ BF + EH(2) 因为 EH = AH AE1 f 1 f 1 f f1 f=2AD 2AB = 2(AD AB) = 2BD , 所以 EH / BD.又EH?平面EFGH ,BD?平面 EFGH , 所以BD /平面EFGH .规律方法在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解， 向已知向量靠近.常见的向量处理方法见下表：三点(P , a , B)共线空间四点(M

12、, P, a , B)共面pa = PB且同过点PMP= xMA + yMB对空间任意一点 O , 0P = OA + tAB对空间任意一点 0, OP = OM + xMa + yMB对空间任意一点 0, Op = xOA+ (1- x)OB对空间任意一点 0, 0p= xoM + yoA + (1 - X-y)OB個制2.已知A, B, C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM 1 =3(OA + OB + OC).(1) 判断mA , MB , MC三个向量是否共面；(2) 判断点 M是否在平面 ABC内.解：(1)由题知 OA+ OB + OC = 3oM ,oA - O

13、M = (oM - OB)+ (OM - OC),即 MA = BM + CM = - MB - MC ,MA , MB , MC 共面.由(1)知，Ma , MB, MC共面且基线过同一点 M, M , a , B , C四点共面，从而点 M在平面 ABC内. 考点三空间向量的数量积与坐标运算(高频考点)通过近几年高考试题可以看出，试题以空间向量的运算为主，特别是数量积的运算及其 应用，更是考查的热点.高考中对空间向量的数量积的考查主要有以下三个命题角度：(1) 空间向量的数量积的运算；(2) 线与线垂直问题；(3) 线段长度问题.已知空间三点 A( 2, 0, 2), B(- 1, 1,

14、2), C(-3, 0, 4).设 a = AB, b= AC.(1)求a和b的夹角0的余弦值；若向量ka + b与ka-2b互相垂直，求 k的值.解/ a(-2 , 0 , 2) , B( - 1 , 1 , 2) , C(- 3 , 0 , 4) , a = Ab, b= AC , a = (1, 1 , 0) , b= (- 1, 0 , 2).a b 1 + 0 + 0ViPC0S 0=丽=屁 V =- 10 ,a和b的夹角0的余弦值为一 好(2) / ka+ b= k(1, 1, 0)+ ( 1, 0, 2) = (k- 1, k, 2),ka-2b= (k+ 2, k,- 4)且(

15、ka + b)丄(ka- 2b),2 2(k 1, k, 2) (k + 2, k,- 4) = (k- 1)(k + 2) + k - 8 = 2k + k- 10= 0.5解得k=-2或k= 2.规律方法(1)空间向量数量积的计算方法： 定义法：设向量 a, b的夹角为0,贝U a b= |a|b| s 0. 坐标法：设 a= (X1, y1, Z1), b= (X2, y2, Z2)，贝U a b= X1X2 + y1y2 + Z1Z2.(2)数量积的应用：a b 求夹角：设向量a, b所成的角为0,则cos 0 =厂石,进而可求两异面直线所成的角.|a |b| 求长度(距离)：运用公式

16、|a|2= a a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计 算问题.b= 0(a丰0, bM 0)，可将垂直问题转化为向量数量积的 解决垂直问题：利用 a丄b? a 计算问题.ABCD的每条边和对角线的长都等于 a,点E、F分别33&3. (1)已知空间四边形是BC、AD的中点，则AE - AF =(I 2CQa(2)已知 a= (cos 0 是.,1, sin 0 ),d.2b= (sin 0 ,1, cos 0 )，则向量a+ b与a b的夹角已知点A(1 , 2, 解析：(1)设AB = a,则|a 1= |b|= |c|= a，且a, b, c三向量两两夹角为 60.f 1f 1又

17、AE= 2(a + b), AF = c,f f 111故AE AF = 2(a + b) c= (a c+ b c)1 2 2 1 2 =4(a cos 604a cos 60) = a .2 2 2 2(2) / (a + b) (a b) = a b = |a| |b|2 2 2 2=(cos 0+1+sin 0) (sin 0+ 1 + cos 0)= 0,(a+ b)丄(a b)，即向量a+ b与a b的夹角为90.1), B( 1 , 3, AC= b, Ad = c,4), D(1, 1,1),若AP = 2PB,则|PD|的值是A. a2(3) 设 P(X, y, z),.AP

18、=(X 1, y 2, z 1).PB= ( 1 X, 3 y, 4 z),f f1由AP=2PB,得点P坐标为(3,又 D(1, 1 , 1). |PD|=-答案：(1)C (2)90 毎3 知能训练轻松闯关谓练促学强技提能1.已知点A（ 3，0，- 4），点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于（）A. 12B. 9C. 25D. 10解析：选D.点A关于原点对称的点B的坐标为（3 ,0 , 4),故 |AB| = |AB| =冷(-3-3) 2+( 0- 0) 2+( -4- 4) 2 = 10.2.(2014高考广东卷)已知向量a= (1,0, - 1),则下列向量中与A . (- 1

19、 , 1, 0)B. (1,- 1 , 0)C. (0, - 1, 1)D. (- 1, 0, 1)a成60夹角的是（）解析：选B.对于选项B，设b= （1, - 1, 0），贝y cos a,j ab 1X11 厂b =丽=72X72= 2.因为 0w a, bw 180,所以a, b= 60，正确.3.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE = AA1+ xAB + yAD，则x, y的值分别为（）1B . x= 1, y = 2111c. x = 2，y= 2D. x=2，y=1 1 1 11解析：选 C.女口图，AE = AA1 + A1E =

20、AA1+ 2人1。1 = AA1 + -(AB + AD),所以 x= 3, y =A . x= 1 , y= 14.在空间四边形 abcd 中，Ab - CD + Ac - Db + Ad - Bc =()A . - 1b . 0C. 1D .不确定解析：选 B.如图，令 AB = a, AC = b, AD = c,则 AB cd + AC db + AD B C = a (c b) + b ( a c) + c (b a) = a a b + b a b c + c b c a= 0.5.已知 AB= (1 , 5, - 2), bC = (3, 1, z),若 AB丄 bc , BP=

21、 (x- 1, y,- 3)，且 BP 丄 平面ABC,则实数x, y, z分别为()A33-值 4B40-4A. 7，7，47，7，4畔,-2 , 4D - 4 , 40, - 15解析：选 B. Ab丄BC, AB BC= 0, 即 3 + 5 2z= 0,得 z= 4.(X 1)+ 5y+ 6 = 0 , 则丫3 (X1)+ y12= 0 , 厂 40x=7 ,又 BP 丄平面 ABC,.B P 丄 AB, BP 丄 BC, BC= (3, 1, 4),解得ly=-6.在空间直角坐标系中，点 P（1, V2 ,羽）,过点P作平面yOz的垂线PQ,点Q在平 面yOz上，则垂足Q的坐标为.解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影， 所以垂足Q的坐标为（0 , 1 1 1 解析：如图所示， MN = 2(MB + MC) = 2(OB OM) + (OC OM) = (OB + OC 2OM) = 2(0B + OC OA) = 2( b + c a).1答案：2（ b + c a）9. （2015郑州模拟）已知a= （X, 求（1） a,