特训“2+1+2”压轴满分练(四)理

1、1.已知函数f（x）=F-1-“2+ 1+2”压轴满分练（四）n + 2nln x（m0，0w nwe）在区间1, e内有唯一零点,则m+i的取值范围为（）A.j e+ 2 e e2 + e + 1, 2B.D., eI1,尹 1解析：选 A f （ X）= m x当 0v nWenm+ n x ,，m,当 n= 0 时，f(x) = xv 0 ,x时，令f （x）= 0，则x=nv 0,所以函数f（x）在1 , e上单调递减，由函数f （x）在区间1 , e内有唯一零点,ImT-1 0,m- e- env 0,得仁v 0,jm-1 0,即! mI一一1 nv 0,le|m- 1 0,(m-

2、e- enW 0,又 mt0,0 w nW e,1 0,m- eenv所以m 0,0,m eenW 0 ,(1)或m 0,L0W nw e,L 0w nw e,所以m n满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则n + 2 n- m+ 1 _ m-亍表示点（m n）与点（一1， 2）所在直线的斜率,ffl-l r图（1）Ji=p当m n满足不等式组e+ 2 e=h 11+12十，en= 0,得卅,故选A.2.已知P为双曲线C:2 2x ya2 b2= 1(a0，b 0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于 A B两点.若点A, B分别位于第一、四象限，O为

3、坐标原点，当AP = 2Pb时， AOB勺面积为2b,则双曲线C的实轴长为（）32A. 7168C-84D-4解析：选 A 设 A（xi，yi）， B（X2, y2）， P（x，y）， 1由 AP = 2PB，当m n满足不等式组（2）时，m+1的最小值在 A点处取得，根据 pL e m+1in=e,2,m= e + e,所以最小值为n= e,得(x Xi,y yi) = 2(X2 x, y2y),2则 x = 3x1+ 3X12,2 1y = 3y1 + 3y2,21 、l?1 +0 X2 2 所以一1 ab2易知点A在直线bby=-x上，点B在直线y = -x上,aab则 y1 = ：X1

4、, y2 =abax2,/2 1 仙 b 、騎+3X2丿拧1372丿所以 一2一- _总一-=1 ,a-b2即時1+3町铮隊0=,2. 2化简可得a2= 8x1x2.9，卄、L,、” /口2sin / AOxios / AOx 2tan / AOx由渐近线的对称性可得 sin /AOB= sin 2 /Agsin 2/aO+cos2/AO= tan2/AO+12ba2ab=b2 + a2,所以 AOB勺面积为 1| OAI OBsin / AOB=+ y2x2+ y2 x sin / AOB_ 1=2+紆2 f b 2abX2 +r ” bv?=X1X2. ab；x 2 aJ b2+ a2=9

5、a2x8ab229 2 ab b + a 9=8a xx= 8ab= 2b,得a = 16,所以双曲线 C的实轴长为 眷” _ I 3223. 已知数列an共 16 项，且 a1 = 1, a8= 4.记关于 x 的函数 fn(x) = 3X anx + (an 1) x,3n N*.若X = an+1（1wnW 15）是函数fn（x）的极值点，且曲线y = f8（x）在点（af8（ai6）处的切线的斜率为15，则满足条件的数列an的个数为.2 2解析：fn(X)= X 2anX + an 1= X (a + 1) X (an 1)，令 fn(x) = 0,得 X =an +1 或 X = a

6、n 1,所以 an + 1 = an+1 或 an 1 = an+1(1 w nW 15)，所以 | an+1 an| = 1(1 w nw 15),22又 f8(x) = X 8x + 15,所以 a16 8a16 + 15= 15,解得 a16= 0或恥=8,当 a16= 0 时，a8 a1= (a2 a + (a3 a?) + (a a?) = 3, 得 ai+1 ai(1 w i w 7, i N*)的值有 2 个为一1,5 个为 1 ；由 a16 a8= (a9 as) + (a a?) + (aw a15) = 4,得 ai +1 ai(8 w i w 15, i N)的值有 6

7、个为一1,2 个为 1.所以此时数列an的个数为C7CU 588,同理可得当ai6= 8时，数列an的个数为C2C8= 588. 综上，数列an的个数为2C7c8= 1 176.答案：1 1762 x224. 已知椭圆C討討1(ab0)的左、右焦点分别为F1 , F2，左顶点为A,离心率为，点B是椭圆上的动点， ABF面积的最大值为 出求椭圆C的方程; 设经过点F1的直线I与椭圆C相交于不同的两点 M N,线段MN的中垂线为I .若直线I 与直线I相交于点P,与直线x= 2相交于点Q,求|MN的最小值.解：(1)由已知得e= = ,即a2= 2c2.2.2 2 .a = b + c，- b=

8、c.设B点的纵坐标为yo( yoM 0),则 SAABF= 2(a c) y0| 0 ,消去x,2m1y1+y2=，y1y2=2由弦长公式，得|MN = VT+m|y1 y2|=2 边.又yP=今=* ,、2m+ 2 XP= myP- 1=三,ym+ 2 | PQ=寸 1+m | xp 2| =V1+m 2m + 6m+ 2，2m+6 j_PQ_ = 2m+6 =虫m+ 3 衣 |w= 22(时+7吕)2,当且仅当=2二，即m=1Yqm+1时等号成立,当Z 1,即直线I的斜率为土1时，縣取得最小值2.5.已知函数 f(x) = xin x+ax+ 1, a R.(1)当x0时，若关于x的不等式

9、f(x)0恒成立，求a的取值范围;当 n N*时，证明：亦土V (In 2) 2+ (n | + + fnn+ 1 y nn 丿 V n+1.解:(1)由 f (x) 0,得 xIn x +ax+1 0( x 0),即一aw In x + 1 恒成立，即一 aw(1 n x +XVx/111x1令 F(x) = In x+ x( x 0)，贝y F，(x) = - p =厂x x 函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1 ,+8)上单调递增,函数F(x) = In x + -的最小值为 xF(1) = 1,一aw 1，即a一1, a的取值范围是1 ,+8).证明：品为数列I n+1n + 2【勺前n项和,沽为数列氐才的前n项和,只需证明V(In字V即可.V n 丿 n n+1由(1)知，当a= 1 时，xinx x +1 0,即卩 In1x 1 -x1,得 In 也1 nn 1n+ 1 =，f n+1、 f 1 n 2、丿申卜n +n+2 .现证明In也 L_L_ n /Vn n+1即2lnn +11ri+ 1 nn 筋心+ 1 fyjn+ 1n市.(*)现证明2ln1XVx x(x 1),1构造函数 G(x) = x - 2ln x( x 1),x212 x 2x+ 1则 G(x)