高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 新人教版必修4

1、2.2平面向量的线性运算 2.2.1向量加法运算及其几何意义,知识提炼】 1.向量的加法 (1)定义：_的运算. (2)法则：_和_. (3)规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a. 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a+b=b+a. (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c,求两个向量和,三角形法则,平行四边形法则,即时小测】 1.思考下列问题. (1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向

2、量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向,2.对任意四边形ABCD，下列式子中不等于 的是( ) 【解析】选C.A中， ，B中， ， C中， ，D中,3.如图，在正六边形ABCDEF中 =_. 【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到 答案,知识探究】 知识点1 向量的加法 观察图形，回答下列问题： 问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解,总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边

3、形法则只适用于两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同,2.向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即 (2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0,知识点2 向量加法的运算律 观察图形，回答下列问题： 问题1：向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗？ 问题2：向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量相加，这种说法对吗？ 问题3：向量加法的交换律

4、和结合律对多个向量还成立吗,总结提升】 1.对向量加法交换律的说明 在图1中的平行四边形ABCD中， ，则 故a+b=b+a.即向量加法满足交换律. 当向量a，b至少有一个为零向量时，交换律显然成立，当a，b为非零向量且共线时,1)当a，b同向时，向量a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；向量b+a与b同向，且|b+a|=|b|+|a|，故a+b=b+a. (2)当a，b反向时，不妨设|a|b|，a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|；b+a与a同向，且|b+a|=|a|-|b|，故a+b=b+a,2.对向量加法的结合律的说明 在图2中， 所以 =(a+b)+c， =a+(b+c

5、)，从而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法满足结合律. 3.向量加法运算律的推广 向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立，恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的.如在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c,题型探究】 类型一 向量的加法及几何意义 【典例】如图1，图2，图3所示，求作向量和,解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或

6、平行四边形法则进行,解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作 =a，然后作 =b，则 =a+b,方法一：(三角形法则)：如图(3)所示，作 =a， =b，则 =a+b，再作 =c，则 =(a+b)+c，即 =a+b+c,方法二：(平行四边形法则)：由于a，b，c不共线，如图(4)所示在平面内任取一点O，作 =a， =b， 以 为邻边作OADB， 则对角线 =a+b，再作 =c， 以 为邻边作OCED.则 =a+b+c,方法技巧】作向量和的法则选取策略 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”.即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向

7、量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合. (3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便,变式训练】如图， 已知向量a，b，c，求作向量a+b或a+b+c,解析】方法一：在平面内任意取一点O，作 =a， =b，则 =a+b(如图1). 方法二：在平面内任意取一点O，以OA，OB为邻边作OACB，且 =a， =b，连接OC，则 =a+b(如图2,在平面内任意取一点O(如图3)，作 =a， =b， =c，则 =a+b+c,误区警示】做向量相等时要注意使向量所

8、在直线平行，模相等，即方向相同、模相等.不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点,类型二 向量加法及运算律 【典例】1.设a=0，b是任意非零向量，则在下列结论中，ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|.其中正确的序号为_. 2.化简下列各式： (1) (2,解题探究】1.典例1中解题的依据是什么？进行何种处理？ 提示：依据向量平行、向量加法及|a+b|与|a|+|b|的关系进行解答. 2.典例2中，向量加法混合运算时，应该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？ 提示：向量相加首尾相接的形式

9、,解析】1.因为a=0，所以0b ，正确；0+b=b，正确； |0+b|=|0|+|b|，正确. 答案： 2.(1) (2,方法技巧】向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序,变式训练】如图，在平行四边形ABCD中， (1) =_. (2) =_. (3) =_,解析】(1) (2) (3) 答案,类型

10、三 向量加法的实际应用 【典例】1.作用在同一物体上的两个力F1=60N，F2=80N，当它们的夹角为90时，则这两个力的合力为_. 2.在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向,解题探究】1.典例1中，求这两个力的合力的实质是什么？ 提示：求这两个力的合力就是求向量F1+F2. 2.典例2中，水流速度及船实际航行的速度可用向量加法的什么法则？ 提示：因为航行方向与水流方向不共线.所以需要利用向量加法的平行四边形法则对有关向量进行运算,解析】1.如图所示： 表示力F1， 表示力F2， 以OA，OB为邻边作平行四边形

11、OACB，则 是F1和F2的合力. 在AOC中，| |=60，| |=| |=80且OAAC， 则 即合力的大小为100 N. 答案：100 N,2.作出图形如图： 船速v船与岸的方向所成角度为，由图示可知v水+v船=v实际，结合已知条件，可知四边形ABCD为平行四边形,在RtABC中， =v水=10 m/min， =v船=20 m/min， 所以cos = ，所以=60，即船行进的方向与水流方向成120角,延伸探究】 1.(改变问法)若将本例2条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少千米,解析】如图所示： 表示水流速度， 表示船在静水中的速度， 则 表示船的实际速度.则 =0.6 km/

12、h， =1.2 km/h，AOB=120，则CBO=60， 又因为AOC=BCO=90，所以 =0.6 km/h，所以船的实际航程为0.6 3 km=1.8 km,2.(改变问法)或本例2条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值,解析】如图所示： v水= ，v船= ， 则 表示实际速度， 在RtABD中，tanBAD= 所以，船的实际行进的方向与水流的方向所成角的正切值为2,方法技巧】 1.应用向量解决平面几何问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向

13、量问题. (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线，相等等概念回答原问题,2.与向量相关的实际问题的处理策略 (1)力的合成是一类典型的向量求和问题. (2)解题时先要根据题意作出相应的图形，再利用平行四边形或三角形知识解题. (3)最后将向量问题还原为实际问题作答,补偿训练】在重300 N的物体上系有两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30，60(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小,解析】在如图所示的平行四边形中， AOC=30，BOC=60，在AOC中， ACO=60，CAO=90，所以 = cos 30= N，所以与铅垂线成60角的绳子拉力是 150 N，成30角的绳子拉力是 N,易错案例 向量加法的应用 【典例】小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_ km/h,失误案例,错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是误将船的实际速度看成了静水速加河水的流速,自我矫正】如图： 设船在静水中的速度为v1=10 km/h，河水的流速为v2=10