4辅助线作法--运用角平分线

1、三.借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2：（06郑州市中考题）如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.中考应用：（06北京中考）如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2

2、）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。说明：遇到相关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形：过角平分线上一点作两边的垂线段练习：如图22，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例6： 如图23，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：因为角平分线所在的直线是这个角的对称轴，所

3、以在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就能够了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例7： 如图24，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在ABC中，AD平分BAC，过点D作DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形所以，我们能够过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 图25例11 如图26，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DE

4、BD于D，交BC于点E求证：CD=BE练习：1如图27，在ABC中，B=90，AD为BAC的平分线，DFAC于F，DE=DC求证：BE=CF 2已知：如图28，AD是ABC的中线，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求证：（1）AD是BAC的平分线；（2）AB=AC 图283在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ 图294如图30，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 图305 已知，E为ABC的A的平分线AD上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 6如图32，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 求证：A+C=1807如图33所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C求证：AD+BC=AB 8已知，如图34，ABC中，ABC=90，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=AE 9ABC中，AB=AC，A=100，BD是B的平分线求证：AD+BD=BC 10如图36，B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）A9 B8 C7 D6 图3611如图37，ABC中，AD平分BAC，AD交BC于点D，且D是BC