文数书稿平面向量的数量积及平面向量应用举例

1、称NAOB为向量a与向量b的夹角，记作2 b两个向量夹角e的范围是0,兀；第27节 平面向量的数量积及平面向量应用举例、考点考纲明确目标1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。4、 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。6、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。二、基础再现回归课本1 .向量数量积的定义(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量 a, b，如下图所示，作 OA鳥,OB鳥，则+ 4 兀 4.4当a,

2、 b =时，a与b垂直,2C 44当日=0时，a与b 同向hb ；当日=180时,反向 。(2) 个向量在另一个向量上的射影：,b cos日叫做向T 呻T 彳如图所示，OA=a, OB=b,过B作BB1丄OA于B1，则CB1II量b在向量a方向上的射影。注意:II向量b在向量a方向上的射影是数量当9为锐角时它为正值当8为钝角时它为负值I1*1特别地，当0 =90时它等于 0;当0 =0时它等于b ;当9 =180时它等于-b。(3)向量的数量积II44已知两个向量a和b，它们的夹角为0 ,II注意：余弦值有关:acosQ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作两个向量的数量积是一个数量，这个数量

3、的大小与两个向量的长度及其夹角的当 o0c9o时，abo ； 当0 =90时，a石=0 ；当 90 0 180 时,(4)向量数量积的性质：若e是单位向量，则eg =aje = OcosT (:a丄b= a，b =0 ；（可以解决有关向量垂直的问题）h-一 2+a a =殳=|a|2 ；（可以进行数量积的运算， 求向量的模）%b工0）；（可以求两向量的夹角，同时也建立了向量与三角的联系）对任意两个向量a, b，有IIa b，当且仅当a / b时等号成立(5)律，即：一般地,向量数量积的运算律：4给定向量a, b和实数A，有:交换律：a b =b ；仏a) b = a 仏b)=A(a ”b)；分

4、配律：a e +c） = a七+a c。注意：数量积的运算只适用于交换律、加乘分配律和数乘结合律，但不适合乘法结合呻Ha2.平面向量数量积的坐标表示 ：（1）平面向量数量积的坐标表示:44if已知两个非零向量a =(Xi ,yi)b =(X2, y2)，则a= Xj”X2+ yiy2即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。(2) 向量模的坐标表示： 设 A(Xi,yi )B(X2,y2 ),A, B两点间的距离公式是2 2Xi)+(y2 yi)；若a =(x, y卜则a =x2 +y2(3)两个向量夹角的余弦公式：设a =(Xi,yi ), b =(X2,y2 )是两个非零向量，日是a

5、与b的夹角，则有：la mJx2 +y2 .cos 9 =xiX2 +yiy2(4)两个向量垂直与平行的充要条件:设 a =(Xi,yi、b)，则： a 丄b=帀=0 二人X2 + y1y2 =0 ；4 444 斗 a / b(b H0)u a =zb(入亡 R 戸 5 X* =0。(5)直线的方向向量:4把与直线I共线的向量m称为直线I的方向向量.设直线方程为：y =kx +b，则直线的方向向量为 m=(1,k )；设直线方程为：Ax+By + C = 0 ,则直线的方向向量为 m =(B,A).3 .向量的应用：(1) 平面几何中的向量问题：向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可

6、以用图形简明地表示，而图形 的性质又可以反映到向量的运算上来.(2) 向量在物理中的应用：由于物理学中有很多矢量，因此在其研究过程中若引入向量的基本方法，可以收到较 好的效果.I(3)与非零向量a同向的单位向量：4i.二、二基检测知己知彼_i. 已知向量 a= (-3 ,3 ) , b =(x, 4),若a 丄 b，则 x=()A.4答案：BB. 4C.6D. 6解析：a -3x-12=0即 x=-42. ( 04,全国)已知a, b均为单位向量，它们的夹角为60，那么p+31等于（）.(B)府(C )辰；(D) 4.答案：C9f o解析： |a +3br =(a + 3b)2-I- 2T!2

7、-I- -I-百=a +6ab + 9b =10 + 6| a|b |cos60 =13A la +3b|=3.已知向量a =(1, 1), b=(2, n)，若 |a + b|= a b，则 n =()A、答案：-3B、一1解析:= (1,1) , b=(2, n) A a+ b=(3,1 +n)|a + b|=a baJ32+(1+ n)2=2 + n 可得：n=34.已知向量a , b 满足 a = 1,=2, a_b=1，贝y a与b的夹角大小是JI答案：-3解析：根据公式cosT =巴|a|何兀A 9 =3II5 .已知向量a ,b满足a=1,社2 , a与b的夹角为60答案：734

8、 4a b解析：考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图 呻 TH *44 FTTa =OA, b =OB, a -b =OA -OB = BA,由余弦定理得： 四、典例研究提升能力考点一、平面向量的数量积运算及向量的模例题1已知|a|= 3, |b|= 4, a与b的夹角为4求：(1)(3a 2b) (a-2b);(2)|a + b|.解：(1) a b=| a| |b|3；!-cos4=3X 4X (返)=6返2 2a2 = 9, b2 = 16.- (3 a 2b) ( a 2b) = 3 8a b + 4=3X 9 8X ( 6空)+ 64 = 91 +

9、 4822(2)| a + b| 2 = (a+ b)2 = a2 + 2a - b + b2=9+ 2X ( 6返)+ 16 = 25 12 应2I a + b| = 25-12/2即时练习：已知(1)a=4II求a与b的夹角日；4 4求 a +b ；b=3,(2t3(2a.H61.解：（1）T 屮T T若 AB =a, AC =b,，作 MBC，求 MBC 的面积。 riT T L呻扌Ta|=4, b =3,(2a-3b U2a + b ) = 61,/. 4 a -4aLb-3b|暮a b二 cos 日=(2) a +b|V =61= ah-6.急一2 0，180,心曲=(a +b )

10、=+2aLb+|b2=42 +2X(-6 )+32 =13(3) 计算a,b的夹角的正弦，再用面积公式求值由知 N BAC =0 =120,AB胡=4,囲訥=3,aBqaCSi”3呼皿规律总结：1 .向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式ab= |a| |b|cosB来计算,二是利用 a b=X1X2 + yiy 2来计算;2. 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方 法：(1)|a|2 = a2 = a a；(2)|a b|2 = (a b) 2 = a2 2a b+ b2考点二、平面向量之间的夹角问题斤一、.4 M 4 呻M 彳例二、已知单位向量 6|与62的夹角

11、为60，且a =26 +62, b =301+262,I I4 4求：(1)ab ；II(2) a与b的夹角。解：因为6, 62是夹角为60的单位向量，所以6_e=j61j62cos60 =1x1 咒！ =1.”.a Lb =( 261 +62 M -36 +2e2 ) = 661 + 6i_e2 +2e22=-6 eT62又易求得4,/. COSOt =r_7= 2 =综上，知lb=-7, a =120：2即时练习：(2007广东文)已知AABC三个顶点的直角坐标分别为 A(3 , 4)、B(0 , 0)、C(C ,0) (1)若 ABLAC =0，求 c 的值;(2)若c =5，求sin

12、/ A的值解：(1) AB=(3,/)7=( C-3,-4)由 A B AC -3( g3)+16=2525(3=得 c = 3 AB=(3TAC =(2厂4)cosNA =BLAC -6+16 _ABAC5 辰 75规律总结：已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为0 ，贝U：当0 0当 0 =90：时，=0 ； 当 90：180 时，aL 0考点三、平面向量间的平行与垂直及其应用例三：已知向量 OA=(cosa,sina) (a 引兀,0).向量 m = (2,1) , n = (0, J5),丄(OA- n).)求向量OA ；)若 cos( P - 巧=,0 P 兀，求 cos(2a P

13、).10解:(l)v OA =(cosa ,sin a), OA n = (cosa ,sin a +75), / m 丄(OA -n), m(OAn)=0,g卩 2s i(+ f)00+7 =由联立方程解得，cosa OA十寥当55逅2“) cos(PF=-即 cosP帀，0P sin10又；sin 2a =2sinMos2團迹)=4 ,555243cos2a =2cos a 1=2咒一一1=一5525 近 42502347 2cos(2a P) =cos2a cos P +sin2 sin P =-汉(一)+ x510510即时练习:求过点A(42),且平行于向量a=(3,1 )的直线方程

14、。解：设点P(x,y )是所求直线上的任意一点，则TP =(x+1,y2).“ T 呻.AP / a,/. (x+1 )3(y2) = 0,即X-3y+ 7=0.故所求直线的方程为：x-3y+ 7=0.规律总结:1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件:/ b? a= A b? x1 y 2 x 2 y 1 = 0(b 工0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件:a 丄b? a 七=0? x1x2 + y1y2= 0.五、想一想 议一议 改一改（易错、易漏题的改正）在心ABC中，a =5,b =8,C =60,则 BC CA 的值为 (A 20B -20C 2

15、oJ3D -2OJ3解： /BC,CA) =C =60。. BC CA = BC CA cosCBCCA) =5X8X Q J = 2O。即答案：A想一想：上面的做法对不对？如果不对，请写出正确的做法。上面的做法是错误的，正确答案如下: 解：向量间的夹角是共始点由题意可知（BC,CA=120。，故 BC CA= BC iCA cos(BC,CA) =5X8X L1-20/I 2丿答案：B六、高考真题开拓视野1.（2009浙江卷文）已知向量a = （1,2）, b = （2, 3）.若向量c满足（c + a） /b , c丄（a + b），A- (9,7)B. (-3-7)C.黑)答案：B解析：

16、不妨设 C =(m,n)，则 a+ c = (1 + m,2 + n )a + b=(3T)，对于（c+a）/b，则有443(1+m) =2(2 +n)；又c 丄 a4b ),则有 3m - n = 0,则有 m = -2. （ 2010辽宁文数）（8）平面上77-,n =-93T 屮T 片O, A, B三点不共线，设 OA = a, OB = b ,则也OAB的面积等于（）(A2b42耳,2ab+ (a b)2(B) J(C)aibhabr(D)答案:C.H-.14 r21 T 彳 J:S 农AB =2la llb|si n ca,b xj a|b| 屮cos =-|a|bH11.4OK32

17、 i2耳b-(ab)2= (2,0) , Ib =1 则 |a + 2b|=()3. ( 2009辽宁卷)平面向量a与b的夹角为60, a(A )/3(B) 2/3(C) 4(D)12答案：B解析：由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a2+ 4a- b + 4b2= 4+4X2X1 cos60 + 4= 12a + 2b = 2/3七、强化训练当堂巩固1.若向量a =(3,m), b =(2, -1),吐=0 ,则实数m的值为()(A)(C)答案：解析：322Da b=6m=0所以 m =632(D) 62若非零向量a, b满足|a|斗b|,(2a+b) b =0,贝U a与b的夹角为

18、( )A. 300 答案：CB. 600C. 1200 D.1500解析： |aHb| (2a+b) b =0 - f 2I- -*12a b+b =2|a|b| cosH + |b|2 = 0可得：COST1 0 b,兀e= 120(A) 75(B) J10(C) 5(D) 25答案：C 解析：由 a+b=5j2知(a+b) 2=a2+b2+2ab=50,得 |b|=5 选 C 4.已知向量 a =(1,3),b =(4,2),若a 丄(b+Xa),其中 a 亡 R,则 a1答案：5解析： a= (1,3),b= (4,2) b +Aa = (4+扎,2-3Q/ a丄 b + ha二(4 +

19、 A)咒1 +(2 -3a)咒(一3) =0 即 Z5 .I4a&片 * 厂已知向量a和向量b的夹角为30o ,|a|=2,|b|=73，则向量4b_Ia和向量b的数量积答案：3解析：考查数量积的运算。ab=2 晅=326.已知平面向量 AB =a,AC =b,|a| = 4,|b|=3上BAC = P,(2a-3b)(2a + b)=61.(1 )求P的大小;(2)求ABC的面积.-22解：(1)原式展开得：4a 4a b -3b =61|a|=4,|b|=3代入得 a b = -6|aMb| 2d一(2) S,ab-|AB| i AC| sin p =33 八、课后练习题组一平面向量的数量

20、积运算及向量的模1 11. （2010安徽文数）设向量a = （1,0）,b =（,）,则下列结论中正确的是（2 2(A)a = b(B) aLb =(C) a/ /b 答案：.D(D) a b与b垂直1解析：a-b=(,2(a-b)Lh =0,所以a-b与b垂直.2.（2010天津文数）如图,在 ABC中, AD 丄 AB , BC=73 BD ,詬 I =1，则（D）73答案:解析:AC AD 斗 AC I *1 AD |cos/ DAC =| AC | cos/ DAC =| AC |sin / BAC=BCsin B =.3设点M是线段BC的中点，点A在直线】AM=（BC外,2BC=1

21、6,iab+ac=i7bTcl 贝 y（A） 8答案：C(B) 4(C)272解析：由 BC = 16,得 I BC| = 4lAB+ACjABACT BC 1= 4IJ 4a与b的夹角为60 ,而 AB+AC=2|AM4. （2010江西）已知向量a , b满足2=1,则a 一彳=答案：731-73解析：考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图 呻 T片斗 tTt亠a =OA, b = OB, a b = OA OB = bA，由余弦定理得：5.设向量 OA =(3, J3 卜 OB =(cos0,sin 0)，其中 O0 .求：（1 ）若,求tan日的值;-

22、* 2（2）求 AOB面积的最大值.解：依题意得，AB =oB-OA =(COS0 3,sin8+J3 ),所以AB= (cos9 -3 +(sin 日 + 丽)= 13-6cos8+2s/3sinQ =13 ,所以 J3sin 9 =3cos0 .因为COS0工0 ,所以tan 0 = J3 .,兀兀(2)由 00 ,得NAOB=日+ .2 6sin ZAOB1所以Sj林OB =2=丄咒2735in b + -KVssin +兰 2I 6丿I 6丿所以当0= 时， AOB的面积取得最大值 J3 .3题组二平面向量之间的夹角问题呻 片 耳 耳耳 44446.若laUbZcp+b且C丄a,则向量

23、a与b的夹角为（A. 300B. 600C. 1200D. 1500答案：c44解析： c丄a且C = a +ba c = 0= a (a +b) =0= a + a b = 0niai2+ |a II b I cos = 0cos= 1207.已知 a =1,6,Oxb-a)=2，则向量兀A.-6答案：C解析：因为由条件得 a b-a=2,所以 a b=2 + a =3 = a bcosa =1%6xcosa,31 -TT所以COSa =-，所以a =2 3&已知a =4川=3, (2a -3b 輕a +b )=61.II求：（1）求a与b的夹角0 ；求a +h求 a +b ;T 4 +43)若 AB =a, AC =b,，作 MBC，求 MBC 的面积 解:(1) T 14