利用导数研究存在性与任意性专题

1、利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数研究不等式恒成立问题典例设f(x)exa(x1)(1)若xR，f(x)0恒成立，求正实数a的取值范围；(2)设g(x)f(x)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲线yg(x)上任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围解(1)因为f(x)exa(x1)，所以f(x)exa由题意，知a0，故由f(x)exa0，解得xln a故当x(，ln a)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(ln a，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的最小值为f(ln a)eln aa(ln a1)al

2、n a由题意，若xR，f(x)0恒成立，即f(x)exa(x1)0恒成立，故有aln a0，又a0，所以ln a0，解得0a1所以正实数a的取值范围为(0,1(2)设x1，x2是任意的两个实数，且x1x2则直线AB的斜率为k，由已知km，即m因为x2x10，所以g(x2)g(x1)m(x2x1)，即g(x2)mx2g(x1)mx1因为x1x2，所以函数h(x)g(x)mx在R上为增函数，故有h(x)g(x)m0恒成立，所以mg(x)而g(x)exa，又a10，故g(x)exa2a2a而2a2()2(1)213，所以m的取值范围为(，3方法点拨解决该类问题的关键是根据已知不等式的结构特征灵活选用

3、相应的方法，由不等式恒成立求解参数的取值范围问题一般采用分离参数的方法而第(2)问则巧妙地把直线的斜率与导数问题结合在一起，命题思路比较新颖，解决此类问题需将已知不等式变形为两个函数值的大小问题，进而构造相应的函数，通过导函数研究其单调性解决对点演练已知f(x)xln x，g(x)x2ax3(1)若对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(2)证明：对一切x(0，)，ln x恒成立解：(1)由题意知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x

4、)0，h(x)单调递增所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即实数a的取值范围是(，4(2)问题等价于证明xln x(x0)又f(x)xln x(x0)，f(x)ln x1，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf设m(x)(x0)，则m(x)，当x(0,1)时，m(x)0，m(x)单调递增，当x(1，)时，m(x)0，m(x)单调递减，所以m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，f(x)m(x)恒成立，即xln x恒成立即对一切x(0，)，ln x恒成立二、利用导数研究存

5、在性与任意性问题典例设f(x)xln x，g(x)x3x23(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x由g(x)0，解得0x；由g(x)0，解得x0或x又x0,2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，又g(0)3，g(2)1，故g(x)maxg(2)1，g(x)ming所以g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)m

6、in1M，则满足条件的最大整数M4(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，x，则h(x)12xln xx，易知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0所以函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间1,2上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以实数a的取值范围是1，)方法点拨等价转化法求解双参数不等式双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转

7、化法本例第(1)问是“存在性”问题，转化方法是：如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，则可转化为Mg(x1)g(x2)max，即求解使不等式Mg(x)maxg(x)min成立时的M的最大取值；第(2)问是“恒成立”问题，转化方法是：如果对于任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)成立，则可转化为在区间上，f(x)ming(x)max，求解得到实数a的取值范围对点演练已知函数f(x)ln xax1(aR)(1)当0a时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)x22bx4当a时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围解：(1)因为f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)，令f(x)0，可得两根分别为1，1，因为0a，所以110，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减(2)a，13(0,2)，由(1)知，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)等价于g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值，(*)又g(x)(xb