第10章 稳恒磁场

1、精选文档第十章 稳恒磁场问题10-1 你能说出一些有关电流元激发磁场与电荷元激发电场有何异同吗？解 电流元激发的磁场与电荷元激发的电场是两个基元场.由毕奥萨伐尔定律定律得电流元激发的磁场为 由电荷元电场强度公式得电荷元激发的电场为相同点： 这两个场的大小都与场点到“元”（电流元、电荷元）的距离平方成反比；这两个场都是矢量场，满足叠加原理.相异点： 电荷元产生的电场呈球对称，其方向与的方向相同或相反；电流元产生的磁场不具有球对称性，其方向垂直于与 组成的平面，遵从右手螺旋法则.另外，的大小与电荷元的电量成正比，而的大小不仅与的大小成正比，还与其方向有关.10-2 在球面上铅直和水平的两个圆中通以

2、相等的电流，电流流向如图所示.问球心处磁感强度的方向是怎样?解 由右手螺旋法则可知，铅直的圆中电流在处产生的磁场方向垂直于铅直面向里；水平圆中电流在处产生的磁场方向垂直于水平面向下；并且这两个圆产生的磁感应强度大小相等。所以球心处总的磁感应强度斜向里，与竖直向上方向的夹角为.10-3 电流分布如图所示,图中有三个环路1、2和3. 磁感强度沿其中每一个环路的线积分各为多少？解 由安培环路定理可知环路1 环路2 环路3 10-4 “无限长”载流直导线的磁感强度可从毕奥-萨伐尔定律求得.你能否用安培环路定律来求得呢? 如果可以,需要作哪些假设条件呢?解 “无限长”载流直导线周围的磁场分布呈轴对称，距

3、离导线相等处的场点磁感强度大小相等. 取以直导线为中轴线、半径为的同心圆为积分路径，积分方向与直导线中电流方向遵从右手螺旋定则. 由安培环路定律可得 在此解法中需要场点距直导线的距离为有限. 10-5 如图所示,在一个圆形电流的平面内取一个同心的圆形闭合回路,并使这两个圆同轴,且互相平行.由于此闭合回路内不包含电流,所以把安培环路定理用于上述闭合回路可得 由此结果能否说在闭合回路上各点的磁感强度为零?解 不能，不仅与磁感强度的大小有关，还与磁感强度与积分路径的夹角有关. 当时，也成立.10-6 如图所示,设在水平面内有许多根长直载流导线彼此紧挨着排成一行,每根导线中的电流相同. 你能求出邻近平

4、面中部、两点的磁感强度吗？、两点附近的磁场可看作均匀磁场吗？解 由于导线数目甚多，且电流分布均匀，相当于一个无限大带电平面. 由对称性可知，在平面中部附近各点的磁感强度大小相等. 设各导线中的电流为，单位长度的导线数目为. 如图所示，取长为的矩形回路，回路内所包含的电流为，且使、边与磁场平行，、边与磁场垂直，所以由安培环路定律可知 可见当导线电流、导线分布密度一定时，在平面中部附近的场强可以视为均匀磁场. 10-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，电子运动的路径不发生偏转，我们能否说这个区域没有磁场？解 由洛仑兹力可知，电子进入磁场是否受力偏转与电子进入磁场时的速度方向有关，若电子进入磁场时

5、初始速度方向与磁场方向平行，即此时虽然磁感强度不为零，但电子运动路径不会发生偏转. 10-8 方程中的三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？解 由右手螺旋法则可知 中 ，力与粒子速度，与磁感强度始终正交，与可以有任意角度.10-9 气泡室是借助于小气泡显示在室内通过的带电粒子径迹的装置，如图是气泡室中所摄照片的描绘图，磁感强度的方向垂直平面向外，在照片的点处有两条曲线，试判断哪一条径迹是电子形成的？哪一条是正电子形成的？解 由可知向右偏离的径迹是正电子形成的, 向左下偏离的径迹是电子形成的.10-10 在磁场中，若穿过某一闭合曲面的磁通量为零，那么，穿过另一非闭合曲面的磁

6、通量是否也为零呢？解 不一定. 磁场为有旋无源场，由磁场中的高斯定理可知，穿过任一闭合曲面的磁通量必为零，即；而穿过一非闭和曲面的磁通量不一定为零，例如处于均匀磁场中的半球面，磁感强度的方向与半球面中轴线平行，则穿过此半球面的磁通量为.10-11 安培定律中的三个矢量，哪两个矢量始终是哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？解 由右手螺旋法则可知中, 安培力与、安培力与磁感强度始终是正交的, 与之间可以有任意角度.10-12 如图，把一载流线圈放入一永久磁铁的磁场中，在磁场的作用下线圈将发生转动.（1）图（）中的线圈怎样转动？（2）图（）中的线圈由上往下看是顺时针在转动，问磁铁哪一边

7、是极，哪一边是极？（3）图（）中的线圈由上往下看是反时针在转动，问线圈中电流的流向怎样？解 (1) 图（）中的线圈由上往下看是反时针转动.（2）图（）中左边磁铁是极,右边磁铁是极.（3）图（）中线圈电流是顺时针. 10-13 如均匀磁场的方向铅直向下，一矩形导线回路的平面与水平面一致，试问这个回路上的电流沿哪个方向流动时，它才处于稳定平衡状态？解 载流回路在磁场中会受到磁场的作用. 要矩形导线回路处于平衡状态，则要求整个导线回路所受合力及磁力矩都为零. 由于回路为矩形，无论电流流向如何，它所受合外力均为零. 同时要使回路所受磁力矩也为零，由可知，载流线圈的方向必须与磁感强度的方向相同，回路所受

8、的磁力矩才为零，即电流方向与磁感强度方向应遵从右手螺旋定则. 10-14 如图所示，有两个圆电流和平行放置，这两个圆电流间是吸引还是排斥?解 圆电流产生的磁场与产生的磁场方向相反, 它们之间相互排斥.10-15 若在上题两圆电流和之间放置一平行的圆电流（如图），这个圆电流如何运动？解 由各圆电流产生的磁场方向可知,圆电流和相互吸引, 圆电流与相互排斥,所以圆电流向移动.121习题10-1 如图所示，两根长直导线互相平行的放置，导线内电流大小相等均为，方向相同，求图中、两点的磁感强度的大小和方向（图中）.解 由无限长带电直导线在距离其处的磁感强度大小为可知，两导线在点产生的磁感强度大小相等为 由

9、右手螺旋法则可知它们的方向相反，由磁场的叠加可得点的磁感强度同理点的磁感强度为 其方向沿水平向左.10-2 已知地球北极地磁场磁感强度的大小为. 如图所示,如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发, 此电流有多大? 流向如何?解 设赤道圆电流为，地球半径为。由教材可知，圆电流轴线上距圆心处（地球北极）的磁感强度 由上式可知，此电流大小为 由于地磁场由南极指向北极，由右手螺旋法则可知，此圆电流的流向应为自西向东.10-3 如图所示,几种载流导线在平面内分布,电流均为,它们在点的磁感强度各为多少?解 （1）图（a）中的载流导线可看作两根直导线和一段圆弧形导线组成。场点在两根直导线的延长线上，有，

10、这两根直导线在点产生的磁场为零。所以此时点处磁感强度由圆弧电流激发，即 由右手定则可知方向垂直纸面向外.（2）点磁感强度可看作是一圆电流和长直电流在此处的叠加，圆电流在点产生的磁感强度垂直纸面向里，长直电流在点产生的磁感强度垂直纸面向外，总的磁感强度为 方向垂直纸面向里.（3）点磁感强度可看作是一半圆电流和两根长直电流在此处的叠加，点总的磁感强度为方向垂直纸面向外.10-4 如图所示,半径为的木球上绕有密集的细导线, 线圈平面彼此平行,且以单层线圈覆盖住半个球面,设线圈的总匝数为,通过线圈的电流为. 求球心处的磁感强度.解 如图所示，以球心为原点、半球中轴线为轴建立直角坐标系。由于导线均匀绕在

11、半球面上，我们可以将半球分成一组薄圆盘，每一个圆盘可看作一个圆电流元。单位弧长上的线圈匝数为，每一个圆盘中的电流为 它在球心处产生的磁感强度为考虑到、，将上式积分可得球心处总的磁感强度为10-5 如图所示,一宽为的薄金属板, 其电流为,试求在薄板的平面上,距板的一边为的点的磁感强度.解 如图所示，以点为原点，建立坐标轴。我们可以将薄板分成宽度为的长直电流，且，它在点处所产生的磁感强度为 由于各长直电流在点处产生的磁感强度方向相同，故将上式积分可得总的磁感强度为 的方向垂直于纸面向里.10-6 如图所示, 载流长直导线的电流为. 试求通过矩形面积的磁通量.解 以直导线上一点为原点，以通过点的垂线

12、为轴. 则载流导线在距其处产生的磁感强度为 可见导线周围各点的磁感强度并不相同，我们可以通过积分来求通过矩形面积的磁通量，即 10-7 如图, 在磁感强度为的均匀磁场中,有一半径为的半球面, 与半球面的轴线夹角为. 求通过该半球面的磁通量.解 取半球面和球面截圆组成的闭合曲面，由磁场高斯定理可知 所以穿过半球面的磁通量为 10-8 已知裸铜线允许通过电流而不致导线过热，电流在导线横截面上均匀分布. 求（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度.解 （1）将导线看作半径为长直圆柱体，由于电流在导体内均匀分布，它产生的磁场也呈轴对称，取同心圆环为环路，对于半径为的环路，由安培环路定理

13、可得在导线内，半径为的圆环内的电流，则半径为的同轴圆柱面上各点的磁感强度为 在导线外，所以导线外部的磁感强度为 （2）由上问可知，在导线表面的磁感强度连续，所以表面的磁感强度为 10-9 有一同轴电缆，其尺寸如图所示. 两导体中的电流均为，但电流的流向相反，导体的磁性可以不考虑. 试计算以下各处的磁感强度：（1）；（2）；（3）；（4）. 画出图线.解 由于电缆中电流均匀分布，其产生的磁场也呈轴对称，取不同半径的同心环为积分环路，由安培环路定理有当时 ，磁感强度为 当时 ，磁感强度为 当时 ，磁感强度为当时 ，磁感强度为 其分布曲线如右. 10-10 设电流均匀流过无限大导电平面，其电流密度为

14、. 求导电平面两侧的磁感强度.解 导电平面内电流均匀分布，平面两侧的磁感强度大小相等，方向相反。如图所示，垂直于导电平面取矩形回路，并且使、均平行于矩形与导电平面的交线，. 回路内包含的电流.由安培环路定理，磁感强度沿回路的积分为又，、段路径与磁场垂直，所以上式为所以导电平面两侧的磁感强度大小为 10-11 设有两无限大平行载流平面，它们的电流密度均为，电流流向相反. 求（1）两载流平面之间的磁感强度；（2）两面之外空间的磁感强度.解 由上题结果可知,一无限大载流平面在两测的磁感强度大小为,方向相反.设两载流平面的电流流向如右图所示.由叠加原理得在两平面在之间磁感强度为 其方向垂直纸面向里.在

15、两平面之外，由于两平面在此区域内产生的磁场大小相等、方向相反，所以磁感强度 10-12 测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源产生质量为，电荷为的离子，离子初速很小，可看作静止. 经电势差加速后离子进入磁感强度为的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离的感光底片上. 试证明该离子的质量为 证明 离子经电势差加速后获得一定的初速度进入磁场，在磁场中会受在洛仑兹力的作用下作圆周运动. 由动能定理 可知，离子进入磁场的初速度为 由题意可知，离子作圆周运动的半径，所以有 由上述两式可得离子质量为 10-13 已知地面上空某处地磁场的磁感强度，方向向北。若宇宙射线中有一速率的质子垂直的通过该处，求：（

16、1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较.解 （1）如图，由可知，洛伦兹力的方向与的方向一致.（2）因为质子运动方向与磁感强度的方向垂直，所以质子受到的洛伦兹力的大小为 此质子受到的万有引力为，可见质子在此处受到的洛伦兹力远远大于它所受到的万有引力.10-14 如图所示，设有一质量为的电子射入磁感强度为的均匀磁场中，当它位于点时，具有与磁场方向成角的速度，它沿螺旋线运动一周到达点，试证、两点的距离为 证明 入射电子的速度可以分解为垂直于磁感强度方向的分量和平行于磁感强度方向的分量. 电子的运动可以分解成在垂直于磁感强度的平面内受到洛伦兹力所作的圆周运动和在平行于

17、磁感强度方向以匀速运动. 这两个运动的叠加轨迹是一等距螺旋线.在垂直于磁感强度方向的平面内，电子运动一周的时间、即圆周运动的周期为在水平方向，经过时间，电子运动的距离为 10-15 利用霍耳元件可以测量磁场的磁感强度，设一霍耳元件由一金属材料制成，其厚度为，载流子数密度为，将霍耳元件放入待测磁场中，测得霍耳电压为，测得电流为。求此待测磁场的磁感强度.解 由霍耳电压可知，待测磁感强度为 10-16 载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓度，来控制型或型半导体的载流子浓度. 利用霍耳效应可以测量载流子的浓度和类型. 如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面

18、，样品中通过的电流为，现测得霍耳电压为. 证明样品载流子浓度为 证明 半导体中载流子在磁场中受到洛仑兹力的作用会积聚在导体两侧面(两侧面相距为)，从而在侧面建立起电场，即霍耳电场，两侧面的电压为霍耳电压. 当载流子受到的洛仑兹力与电场力平衡时有 由载流子速度与电流的关系为 由上两式可知样品载流子的浓度为 10-17 一通有电流为的导线，弯成如图所示的形状，放在磁感强度为的均匀磁场中，的方向垂直纸面向里. 问此导线受到的安培力为多少？解 此导线可视为两段直导线和一段半圆弧. 由安培定律，两直导线受到的安培力大小相等、方向相反. 导线受到的安培力即半圆弧受到的安培力. 如右图所示，建立坐标系，在圆

19、弧上取一小段电流元，它所受到的安培力为 由对称性可知，圆弧导线受到的安培力在水平面上的分量为零，所以 其方向沿轴方向. 10-18 如图所示，一根长直导线载有电流，矩形回路载有电流. 试计算作用在回路上的合力. 已知，.解 由安培环路定理可知，长直导线在距离其处激发的磁感强度为 且在回路所在的区域磁场方向垂直纸面向里.由安培定理可知，矩形线框中上、下两边受到的力、大小相等方向相反，线框左、右两边受到的安培力大小分别为 所以线框受到的合力为其方向水平向左.10-19 一直流变电站将电压的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方. 已知两输电导线间单位长度的电容为，若导线间的静电力与安培力正好

20、抵消. 求（1）通过输电线的电流；（2）输送的功率. 解 （1）设两导线相距为，一导线在另一导线处激发的磁感强度为 则单位长度的导线受到的安培力大小为 又两导线单位长度上的电容为，电压为，则单位长度上的电荷为，一导线在另一导线处激发的电场强度为 所以单位长度的导线受到的电场力为 当导线受到的静电力与安培力抵消，即 所以输电线上的电流为 （2）由可知输送的功率为 10-20 如图所示，将一电流均匀分布的无限大载流平面放入磁感强度为的均匀磁场中，电流方向与磁场垂直，放入后，平面两侧磁场的磁感强度分别为和，求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向.解 设载流平面内电流密度为，由10-10题可知，无限大载流平面在其两侧所产生的磁感强度大小为，将此平面放入磁场中，由叠加原理可知，载流平面两侧区域的磁感强度分别为 由上