立体几何解答规范解答

1、13.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面ABCD PD=DCE是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点PA/ 平面 EDB PB丄平面EFD证明证明求二面角C PB- D的大小.(1)(2)(3)方法一：(1) 证明：连结 AC AC交BD于0,连结EO底面ABCD是正方形点0是AC的中点在 PAC中，E0是中位线，而E0 平面EDB且 PA所以，PA / 平面EDB(2) 证明：/ PD丄底面 ABCD且 DC PA / E0 平面EDB底面ABCDDiFPD n Jtt SPDB 营 DF =陪叽二面用CPDDflWtJ谕爭 PD DC PD=DC可知 P

2、DC是等腰直角三角形，而 DE是斜边PC的中线, DE PC.同样由PDL底面ABCD 得 PD丄BC底面 ABCD是正方形，有 DCL BC BC丄平面PDC而 DE 平面 PDC BC DE*由和推得DE 平面PBC而 PB 平面 PBC DE PB又EF PB且DE EF E，所以PB丄平面EFD. Eii 山、一丿仃出iTju l_ f TiTiji.Fti i： 2? 50- DE 丄只丄口3.ABC 葩应畏尢a.刊=-JPD1=品=-/C=-a.DE 5在 JfrAfyTZS -Em jRE = 二=DF -JGa方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC(1)证明：

3、连结 AC AC交BD于G,连结EGa a依题意得 A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, 八2 2底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故点G的坐标为(？，a, 0)且2 2PA (a, 0,a), EG (|, 0,|).PA 2EG，这表明 PA/EG+而EG平面EDB且 PA 平面EDB PA/平面EDB(2)证明；依题意得 B(a, a, 0)， PB (a, a, a).又 DE (0, a, |)，故PB DE 0 PB DE+ 由已知EF PB ,且EFDEE，所以PB 平面EFD(3)解：设点F的坐标为(x0, y0,z。)，PFPB，则(x, y,Zo

4、a)(a,a, a)+从而 xa, y a, z(1)a .所以FE ( X0,a ay,Z0)a,(11)a, ( ga)*由条件EFPB知,FEPB0,即2 /1a (1)a2a3,1 22)a2a)，且 fe (0，解得a3,a3,2|)2 2 aa2a2介PB FD0333a点F的坐标为(一,3即PBFD，故EFD 是二:面角C PB- D的平面角+22 22aa aa FEFD，且91896- cos EFDFE FD|FE |FD |663,2 2 a a2 a、62 2 2a a 4a、6| FE | .a , |FD |一 一a ,V 936366 1 1,9993a2EFD所

5、以，二面角 C-PB D的大小为3(2010年全国高考课标全国卷文科18)(本小题满分12 分) 如图，已知四棱锥 P ABCD的底面为等腰梯形， AB / CD, AC BD ,垂足为H , PH是四棱锥的高。(I)证明：平面 PAC 平面PBD ;(n)若 AB 6APB ADB60 ,求四棱锥P ABCD的体积。【解析】(1)因为PH是四棱锥P-ABCD 的高。所以ACPH,又 ACBD,PH,BD都在平PHD内,且 PHI BD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.6分因为ABCE为等腰梯形，ABPCD,ACBD,AB= . 6 .所以HA=HB= 3 .因为APB= AD

6、R=60所以PA=PB= 6 ,HD=HC=1.可得PH=.3.A等腰梯形ABCD勺面积为S=-AC x BD = 2+3.9分2所以四棱锥的体积为叫x (2+.3 ) -3=十，2分【考题再现】(本题满分12分)如图，已知四棱锥 P ABCD勺底面 为等腰梯形，AB/ CD ACL BD垂足为H, PH是四棱锥的高，E为AD 中占I 八、(1)证明：PEL BC; 若/ APB=Z ADB= 60,求直线 PA与平面PEH所成角的正弦值.规范解答解：以H为原点，HA、HB、HP所在直 线分别为x轴，y轴，z轴，线段HA的 长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0), B(0,1

7、,0).丄(2 分)(1)证明：设 C(m,0,0), P(0,0, n)(mv 0, n 0),1 m则 D(0 , m,0) , E(2, 2, 0).f 1 mf可得 PE= , m， n), BC= (m , 1,0).f f m m因为 pebc= mm+0=0, 所以PE丄BC.解题程序/ 11第一步：识图分析几何体，找出确定几/A何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中必浑一 H J的数量关系第二步：建系设点(E)匚2(4分)3 I (6 分)由已知条件及(1)可得m=33, n= 1,则 P(0,0,1).f3fBC=(,1,0), AP= ( 1,0,1)a m岳=建4 IBC W因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为Q (12 分)因为本题中有三条直线 两两垂直，可建立空间直 角坐标系，从而确定点的 坐标.第三步：求向量坐标(| 24 )用终点坐标减去起点坐 标写出所需要的向量坐标.第四步：计算或证明(3 -5)利用证明两个非零向量 垂直的充要条件和向量 夹角的余弦公式进行计 算和证明利用向量解决空间几何中的问题应注意以下几点(1) 建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴，同时,方 法 指 导使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内，这样可以比较方便的写出