高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1-1.1.2 平均变化率、瞬时变化率——导数（一） 苏教版选修2-2

1、1.1.1平均变化率 1.1.2瞬时变化率导数(一,第 1章1.1导数的概念,1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 设函数yf(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可 用式子 表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的_ _，习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；

2、类似地，y .于是，平均 变化率可以表示为,答案,平均,变化率,f(x2)f(x1,2.求平均变化率 求函数yf(x)在x1，x2上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量x_； (2)求函数值的增量y,x2x1,f(x2)f(x1,答案,答案,思考(1)如何正确理解x，y? 答案x是一个整体符号，而不是与x相乘，其值可取正值、负值，但x0； y也是一个整体符号，若xx1x2， 则yf(x1)f(x2)，而不是yf(x2)f(x1)， y可为正数、负数，亦可取零,答案,2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案如图所示： yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是 曲线yf(x)在区间x1，x

3、2上陡峭程度的 “数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”， 越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率， 若函数yf(x)图象上有两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，则 kAB,答案,知识点二瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度 把物体在某一时刻的速度称为 .做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数ss(t)描述，设t为时间改变量，在t0t这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是s ，那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度 ， 即,瞬时速度,s(t0t)s(t0,答案,一般地，如果当

4、t无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的 . 一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率,瞬时变化率,答案,思考(1)瞬时变化率的实质是什么？ 答案其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢. (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； 联系：

5、当x趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值,答案,知识点三导数的概念 1.函数yf(x)在x0处的导数 设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时， 比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处 ，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的 ，记作f(x0)A或 常用符号“”表示“无限趋近于”，于是简记为“当x0时,可导,导数,2.导函数 如果函数yf(x)在区间(a，b)内每一点都可导，则称f(x)在区间(a，b)内可导，此时f(x)构成一个新的函数，称这个函数为yf(x)的导函数，简称为导数,答案,思考(

6、1)如何理解f(x)在x0处不可导,2)f(x)在区间(a，b)内的导函数与f(x0) (x0(a，b)有何联系与区别？ 答案f(x)在区间(a，b)内的导函数f(x)是x的函数式，f(x0)是函数f(x)在x0处的导数，为一个定值,返回,题型探究 重点突破,解析答案,反思与感悟,题型一求平均变化率 例1求函数yf(x)2x23在x0到x0 x之间的平均变化率，并求当x02，x 时该函数的平均变化率. 解当自变量从x0变化到x0 x时，函数的平均变化率为,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1(1)已知函数yf(x)2x21的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y)，则 _,解析yf(1x)f

7、(1)2(x)24x,2x4,解析答案,解析答案,题型二实际问题中的瞬时速度 例2一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s). (1)求此物体的初速度,所以当t0时，v3. 即物体的初速度为3 m/s,解析答案,2)求此物体在t2时的瞬时速度,即此物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反,t1,故t0时，其值为1,3)求t0到t2时的平均速度,即t0到t2时的平均速度为1 m/s,反思与感悟,反思与感悟,作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，t趋近于0，指时间间隔t越来越小，但不能为0，t，s在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近

8、于一个确定的常数,解析答案,跟踪训练2已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s gt2，其中g为重力加速度，g9.8米/平方秒(s的单位：米). (1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度,解当t在区间3,3.1上时，t3.130.1(秒,解析答案,2)求t3秒时的瞬时速度,所以t3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒,解析答案,题型三函数在某点处的导数,从而y|x12,反思与感悟,反思与感悟,解析答案,因对导数的概念理解不到位致误,例4设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)已知，求下列各式的值,易错易混,解析答案,返回,防范措施,解析答案,错因分析在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式.如(1)中x的改变量为xx0(x0 x)，(2)中x的改变量为2h(x0h)(x0h,防范措施,防范措施,防范措施,自变量的改变量x的值为变后量与变前量之差,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.在求解平均变化率时，自变量的变化量x应满足_. x0; x0； x0; x可为任意实数,解析答案,2.沿直线运动的物体从时间t到tt时，物体的位移为s，那么当t0时， 的物理意义为_,t时刻物体的瞬时速度,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,