相似三角形-等积式-比例式

1、专题：相似三角形的判定相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如图，ABC中，ACB=900，

2、AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DEDF。 分 析：我们将此等积式变形改写成比例式得： ，由等式左边得到CDF，由等式右边得到EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为CDE是公共角，只需证明DCE=F就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则DCE=A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例2如图，已知ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CFBA，BF交AD

3、于P点，交AC于E点。 求证：BP2=PEPF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明PECPCF，问题就能解决了。 证 明：例3如图，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 求证： 。 分 析：比例式左边AB，AC在ABC中，右边DF、AF在ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 证明：BAC=90，

4、ADBC， ADB=ADC=BAC=900， 1+2=900，2+C=900， 1=C， ABDCAD， ， 又E是AC中点，DE=EC， 3=C，又3=4，1=C， 1=4，又有F=F， FBDFDA， ， （等比代换） 二、双垂直条件下的计算与证明问题： “双垂直”指：“RtABC中，BCA=900，CDAB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论： （1）ADCCDBACB （2）由ADCCDB得CD2=ADBD （3）由ADCACB得AC2=ADAB （4）由CDBACB得BC2=BDAB （5）由面积得ACBC=ABCD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。 例4如图，

5、已知RtABC中，ACB=900，CDAB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长： （1）AC=3，BC=4； （2）AC= ，AD=2； （3）AD=5，DB= ； （4）BD=4，AB=29。 分 析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。 解：RtABC中，ACB=90，CDAB于D， （1）AC=3，BC=4，由勾股定理得AB= =5， AC2=ADAB，AD= = ， BD=AB-AD=5- = ， CDAB=ACBC， CD= （或利用CD2=ADBD来求） （2）AC= ，AD=2，AC2=ADAB， CD= ， BD=AB-AD，B

6、D= -2= ， BC2=BDAB，且BC0， BC= （3）AD=5，DB= ，且CD2=ADBD， CD= =12 AB=AD+BD= AC2=ADAB， AC= =13 BC2=BDAB， BC= （4）BD=4，AB=29，BC2=BDAB， BC= =2 ， AD=AB-BD=29-4=25， AC2=ADAB， AC= =5 ， CD2=ADBD， CD= =10 例5已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC= CD，FGAE于G。 求证：AG=4GE。 分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k

7、 (k0)，则EC= BC=k, FC= CD= AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2，EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得RtAFE，又因为FGAE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。 证 明：AB：BC=5：6， 设AB=5k, BC=6k (k0), 在矩形ABCD中，有 CD=AB=5k, BC=AD=6k, B=C=D=900, EC= BC, EC= 6k=k,BE=5k, FC= CD, FC= 5k=3k, DF=CD-FC=2k， 在RtADF中，由勾股定理得

8、AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2， 同理可得AE2=50k2, EF2=10k2， AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2, AEF是Rt（勾股定理逆定理）， FGAE，AFEFGE， EF2=GEAE，AE= =5 k GE= = k, 4GE=4 k, AG=AE-GE=5 k- k=4 k, AG=4GE. 例6已知：如图，RtABC中,ACB=900，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F。 求证：AEBFAB=CD3。 证 明：RtABC中,ACB=90，CDAB， CD2=ADBD， CD4=AD2BD2， 又 RtADC中，DEAC，RtBDC中

9、，DFBC， AD2=AEAC，BD2=BFBC， CD4=AEBFACBC， 又 ACBC=ABCD， CD4=AEBFABCD， AEBFAB=CD3 说明：本题几次用到直角三角形中的重要等积式。请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。测试选择题 1如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形40cm2，SABESDBA15，则AE的长为（） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 2如 图，在ABCD中，E是BC上的一点， AE交BD于点F，已知BEEC31，SFBE18，则SFDA的大小为（ ）。 A. 24 B. 30 C. 32 D. 12

10、3如图，在正方形 ABCD中，点E在AB边上，且AEEB21，AFDE于G，交BC于F，则AEG的面积与四边形BEGF的面积比为（） A. 12 B. 14 C. 49 D. 23 4如图，ABC的底 边BCa，高ADh， 矩形EFGH内接于ABC，其中E、F分别在边AC、AB上，G、H都在BC上，且EF2FG。则矩形EFGH的周长是（ ）。 A. B. C. D. 5如 图，在ABC中，BADECAD， ，设EBD、ADC、ABC的周长依次为m1、m2、m3。那么 的值是( )。 A. 2 B. 4 C. D. 答案与解析答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D 解析：1解 BAD90，

11、 AEBD， ABEDBA。 SABESDBAAB2DB2。 SABESDBA15， AB2DB215， ABDB1 。设ABk，DB k， 则AD 。 S矩形40cm2， k2k40。 k2 。 BD k10，AD4 。 SABD BDAE20， 10AE20 AE4（cm）。故选A。 2C。 3分析易证ABFDAE。故知BFAE。 因AEEB21，故可设AE2x，EBx，则AB3x，BF2x。 由勾股定理得AF 。易证AGEABF。 可得SAGESABFAE2AF2（2x）2（ ）2413。 可得SAGES四边形BEGF49。故选C。 4分析：由题目条件中的EF2FG得，要想求出矩形的周长

12、，必须求出FG与高ADh的关系。由EFBC得AFEABC，则EF与高h即可联系上。 解：设FGx，则 EF2FG， EF2x。 EFBC， AFEABC。 又ADBC，设AD交EF于M，则 AMEF。 。即 。 。 解之，得 x 矩形EFGH的周长为6x 。 评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。若对题目再加一个条件：ABAC，那么还可证出FG2BGCH。通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。 5解析：由CADADE，得ACDE，ABCEBD，又BCAD，CC，ABCDAC。 ABCEBDDAC。即EBDDACABC。再利用相似三角形的周长比等于相似比即

13、可得出。中考解析例1（ 重庆市）如图，在ABC中，BAC90，D是BC中点，AEAD交CB延长线于点E，则结论正确的是（ ）（A）AEDACB（B）AEBACD（C）BAEACE（D）AECDAC 考点：相似三角形的判定 评析：思路：根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项。答案为C. 例2（河北省）已知：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DEBC，DE与AB相交于点E， EC与AD相交于点F。 （1）求证：ABCFCD； （2）若SFCD=5，BC10，求DE的长。 考点：相似三角形的性质、等腰三角形的性质 评析：思路：第1问因AD=AC，ACB=CDF，又

14、D是BC中点，EDBC，B=ECD，ABCFCD。 第2问利用相似三角形的性质，作AMBC于M，易知SABC=4SFCD。SABC=20，AM=4，又AMED， ，再根据等腰三角形的性质，及中点，可以求出DE。 证明：（1）DEBC，D是BC中点， EB=EC，B=1. 又AD=AC，2=ACB， ABCFCD. （2）方法一：过点A作AMBC，垂足为点M. ABCFCD，BC=2CD， ， 又SFCD=5，SABC=20. SABC= BCAM，BC=10，20= 10AM，AM=4. 又DEAM， . DM= DC= ，BM=BD+DM，BD= BC=5， ， DE= . 说明：本题也可运用ABCFCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角形等底、等高，则面积相等”，求出SABC=20. 方 法二：作FHBC，垂足为点H. SFCD= DCFH，又SFCD=5，DC= BC=5， 5= 5FH，FH=2. 过点A作AMBC，垂足为点M，ABCFCD， ，AM=4. 又FHAM， ，点H是DM的中点. 又FHDE， . HC=HM+MC= ， ，DE= . 例3（河南省）如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形。 （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPPDB？ （2）当ACPPDB时，求APB的度数。 考点：相似三角形的判定及性质。 评析：本题是一个